Solusi Persamaan Diferensial: y'' - 4y = 10

Halo semuanya! Hari ini kita akan menyelesaikan soal Persamaan Diferensial Orde dua. Kita diminta untuk mencari solusi umum dari y aksen dua kali dikurangi empat y sama dengan sepuluh. Konsep dasarnya, solusi umum y x terdiri dari penjumlahan y ha x yaitu solusi homogen, dan y pe x yaitu solusi partikular untuk nilai konstanta sepuluh.

Langkah pertama, kita cari solusi homogen y ha dengan mengasumsikan persamaannya sama dengan nol. Persamaan karakteristiknya adalah r kuadrat dikurangi empat sama dengan nol. Jika difaktorkan, kita peroleh r dikurang dua dikali r ditambah dua sama dengan nol, sehingga akarnya adalah r satu sama dengan dua dan r dua sama dengan minus dua. Jadi, solusi homogennya adalah y ha sama dengan c satu e pangkat dua x ditambah c dua e pangkat minus dua x.

Langkah kedua, kita tentukan solusi partikular y pe. Karena fungsi f x adalah konstanta sepuluh, maka kita asumsikan y pe sama dengan A. Artinya, turunan pertama dan keduanya adalah nol. Substitusikan ke persamaan awal, sehingga nol dikurangi empat dikali A sama dengan sepuluh. Dari sini, kita dapatkan nilai A sama dengan sepuluh per minus empat, atau minus dua koma lima.

Inilah solusi umum akhirnya. Kita cukup menjumlahkan y ha dan y pe yang sudah ditemukan. Hasilnya adalah y x sama dengan c satu e pangkat dua x ditambah c dua e pangkat minus dua x dikurangi dua koma lima.

Secara visual, jika nilai konstanta c satu dan c dua sama dengan satu, grafiknya akan membentuk kurva yang mendekati garis y sama dengan minus dua koma lima saat nilai x mendekati nol.

Itulah cara mencari solusi umum persamaan diferensial. Tetap semangat belajar dan sampai jumpa di pembahasan selanjutnya!