Geometri Bangun Ruang: Dimensi Tiga

Halo semuanya! Mari kita pelajari materi Sudut dalam Bangun Ruang. Di sini kita memiliki balok ABCD.EFGH dengan alas persegi berusuk 2 cm dan tinggi 1 cm. Terdapat titik P pada perpanjangan rusuk AB dengan perbandingan AB banding BP adalah 2 banding 1. Pertanyaannya, hitunglah nilai cosinus dari sudut HPG.

Langkah pertama, kita tentukan koordinat titik-titiknya agar lebih mudah. Kita misalkan titik A berada di (0,0,0) dan B di (2,0,0). Karena perbandingan AB banding BP adalah 2 banding 1, maka panjang BP adalah 1 cm, sehingga koordinat P adalah (3,0,0). Selanjutnya, koordinat H adalah (0,2,1) dan koordinat G adalah (2,2,1).

Langkah kedua, kita tentukan komponen vektor PH dan vektor PG. Vektor PH diperoleh dari koordinat H dikurangi P, yaitu (0-3, 2-0, 1-0) sehingga hasilnya adalah (-3, 2, 1). Sedangkan vektor PG didapat dari koordinat G dikurangi P, yaitu (2-3, 2-0, 1-0) yang menghasilkan (-1, 2, 1).

Langkah ketiga adalah menghitung perkalian titik atau dot product antara kedua vektor tersebut. Vektor PH dot vektor PG sama dengan negatif 3 dikali negatif 1, ditambah 2 dikali 2, ditambah 1 dikali 1. Hasilnya adalah 3 ditambah 4 ditambah 1, yang totalnya adalah 8.

Langkah keempat, kita hitung panjang masing-masing vektor. Panjang vektor PH adalah akar dari negatif 3 kuadrat ditambah 2 kuadrat ditambah 1 kuadrat, yang sama dengan akar 14. Sementara itu, panjang vektor PG adalah akar dari negatif 1 kuadrat ditambah 2 kuadrat ditambah 1 kuadrat, yang menghasilkan akar 6.

Terakhir, kita masukkan ke rumus nilai cosinus: cos teta sama dengan perkalian titik dibagi hasil kali panjang vektor. Cos teta adalah 8 per akar 14 dikali akar 6, yang menjadi 8 per akar 84. Jika disederhanakan menjadi 8 per 2 akar 21, atau 4 per akar 21. Dengan merasionalkan penyebut, kita dapatkan hasil akhirnya adalah 4 per 21 akar 21. Jadi, itulah nilai cosinus sudut HPG.