Lingkaran Satuan dan Bukti Limit Trigonometri

Halo semuanya! Kalau kalian bertemu soal matematika dengan gambar lingkaran seperti ini, jangan panik. Mari kita bedah cara menjawab soal trigonometri pada lingkaran satuan ini dengan mudah.

Pertama, pahami konsep lingkaran satuan di mana jari-jari r sama dengan satu. Titik P yang membentuk sudut teta memiliki koordinat kosinus teta koma sinus teta. Karena titik Q adalah proyeksinya, maka koordinat Q adalah kosinus teta koma nol. Ingat juga, panjang garis tegak A B adalah tangen teta.

Untuk sub-soal pertama tentang perbandingan luas, kita bandingkan luas segitiga A O P, luas juring, dan luas segitiga A O B. Rumusnya adalah setengah dikali satu dikali sinus teta, kurang dari atau sama dengan setengah dikali satu kuadrat dikali teta, kurang dari atau sama dengan setengah dikali satu dikali tangen teta.

Setelah semua ruas dibagi dengan setengah, kita mendapatkan pertidaksamaan sinus teta kurang dari atau sama dengan teta, kurang dari atau sama dengan tangen teta. Inilah yang menjadi dasar Teorema Apit pada limit trigonometri!

Masuk ke soal aljabar koordinat, kita substitusi nilai a, b, c, dan d. Persamaannya menjadi kosinus teta tambah sinus teta dikuadratkan, ditambah kosinus teta dikuadratkan. Setelah dijabarkan dan menggunakan identitas sinus kuadrat teta tambah kosinus kuadrat teta sama dengan satu, hasilnya adalah satu tambah sinus dua teta tambah kosinus kuadrat teta.

Untuk soal ketiga, luas juring A O P dicari dengan rumus setengah dikali r kuadrat dikali teta. Karena jari-jari r adalah satu, maka luas juringnya murni menjadi satu per dua teta atau setengah teta.

Kesimpulannya, semua soal ini bisa dijawab dengan cepat jika kalian paham posisi titik kosinus dan sinus pada lingkaran satuan. Semoga bermanfaat dan selamat belajar teman-teman!