Barisan Geometri dan Aritmatika

Halo semuanya! Hari ini kita akan membahas soal tentang barisan geometri dan aritmetika. Diketahui tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dengan rasio lebih dari satu. Jika suku terakhirnya dikurangi lima, maka ketiga bilangan itu berubah menjadi barisan aritmetika dengan jumlah tiga puluh. Kita diminta untuk menentukan selisih antara suku ketiga dan suku pertama dari barisan aritmetika tersebut.

Mari kita definisikan variabelnya. Untuk barisan geometri, suku-sukunya adalah a, a r, dan a r kuadrat. Sedangkan untuk barisan aritmetika, suku-sukunya menjadi a, a r, dan a r kuadrat dikurang lima. Berdasarkan soal, jumlah barisan aritmetika ini adalah tiga puluh, sehingga persamaannya adalah a ditambah a r ditambah kurung buka a r kuadrat dikurang lima kurung tutup sama dengan tiga puluh.

Langkah pertama adalah mencari nilai a r. Dari jumlah barisan aritmetika tadi, kita dapatkan persamaan satu yaitu a ditambah a r ditambah a r kuadrat sama dengan tiga puluh lima. Kemudian, sifat barisan aritmetika adalah dua kali suku tengah sama dengan suku pertama ditambah suku ketiga, sehingga dua a r sama dengan a ditambah kurung buka a r kuadrat dikurang lima. Ini bisa kita tulis sebagai a ditambah a r kuadrat sama dengan dua a r ditambah lima. Jika kita substitusikan ke persamaan satu, didapat kurung buka dua a r ditambah lima kurung tutup ditambah a r sama dengan tiga puluh lima. Maka tiga a r sama dengan tiga puluh, sehingga nilai a r sama dengan sepuluh.

Langkah kedua, kita cari nilai r dan a. Karena a r sama dengan sepuluh, maka a sama dengan sepuluh per r. Masukkan ke persamaan a ditambah a r kuadrat sama dengan dua puluh lima, sehingga sepuluh per r ditambah sepuluh r sama dengan dua puluh lima. Persamaan ini bisa disederhanakan menjadi bentuk kuadrat yaitu dua r kuadrat dikurang lima r ditambah dua sama dengan nol. Hasil pemfaktorannya adalah dua r dikurang satu dikali r dikurang dua sama dengan nol. Karena syarat rasio r lebih dari satu, maka kita ambil r sama dengan dua.

Sekarang kita lihat hasil akhirnya. Dengan r sama dengan dua, maka nilai a adalah sepuluh dibagi dua sama dengan lima. Jadi, barisan aritmetikanya adalah lima, sepuluh, dan lima belas, yang didapat dari dua puluh dikurang lima. Pertanyaannya adalah selisih suku ketiga dan suku pertama, yaitu U tiga dikurang U satu. Maka, lima belas dikurang lima sama dengan sepuluh. Itulah jawabannya!

Bagaimana, cukup mudah bukan? Dengan memahami hubungan antara barisan geometri dan aritmetika, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan sistematis. Teruslah berlatih soal-soal seperti ini agar semakin mahir. Sampai jumpa di video pembahasan matematika selanjutnya dan tetap semangat belajar!