Barisan dan Deret: Karpet Sierpinski

Halo semuanya! Hari ini kita akan membedah soal menarik tentang pola fraktal Karpet Sierpinski dari museum Mathematikum di Jerman. Kita akan mencari jumlah persegi, luas, jumlah kotak putih, hingga keliling pada tahap ke-empat.

Perhatikan visualisasinya. Karpet ke-satu adalah persegi merah utuh. Pada karpet ke-dua, persegi dibagi menjadi sembilan bagian dan bagian tengahnya dicat putih. Proses ini berulang pada karpet ke-tiga untuk setiap bagian merah yang tersisa.

Untuk nomor satu, kita cari jumlah persegi merah. Karena setiap satu persegi dibagi menjadi sembilan bagian dan menyisakan delapan persegi merah, barisannya adalah u satu sama dengan satu, u dua sama dengan delapan, dan seterusnya. Maka u n adalah delapan pangkat n minus satu. Jadi, u empat adalah delapan pangkat tiga, yaitu lima ratus dua belas buah. Jawaban yang tepat adalah D.

Lanjut ke nomor dua tentang luas daerah karpet ke-empat. Misalkan luas awal adalah L. Karena setiap tahap luasnya menjadi delapan per sembilan dari sebelumnya, maka luas l empat adalah delapan per sembilan pangkat tiga dikali L, yang hasilnya adalah lima ratus dua belas per tujuh ratus dua puluh sembilan L.

Sekarang nomor tiga, kita hitung total kotak putih. Penambahan kotak putih setiap tahap mengikuti pola nol, satu, delapan, dan enam puluh empat. Jadi, total kotak putih pada karpet ke-empat adalah jumlah seluruhnya, yaitu nol tambah satu tambah delapan tambah enam puluh empat, sama dengan tujuh puluh tiga buah.

Terakhir nomor empat, menghitung total keliling. Jika panjang sisi awal adalah s, keliling k n dirumuskan sebagai delapan pangkat n minus satu dikali empat kali s per tiga pangkat n minus satu. Untuk k empat, hasilnya adalah delapan pangkat tiga dikali empat s per dua puluh tujuh, atau dua ribu empat puluh delapan per dua puluh tujuh s.

Itulah pembahasan lengkap kita. Ternyata konsep barisan geometri sangat seru ya jika diterapkan pada pola fraktal. Sampai jumpa di video selanjutnya!