Barisan Bilangan Real

Halo semuanya! Mari kita perhatikan soal berikut ini. Kita diberikan sebuah barisan bilangan real a n yang didefinisikan melalui relasi rekurensi, dan tugas kita adalah mencari nilai suku ke lima puluh.

Relasi rekurensinya adalah a n tambah satu sama dengan dua dikali a n ditambah satu. Diketahui juga bahwa nilai dari suku ke empat atau a empat adalah sembilan. Tujuan utama kita di sini adalah menentukan nilai dari a lima puluh.

Langkah pertama adalah manipulasi aljabar karena barisan ini bukan aritmatika atau geometri murni. Dari persamaan a n tambah satu sama dengan dua a n ditambah satu, kita tambahkan satu di kedua ruas menjadi a n tambah satu ditambah satu sama dengan dua a n ditambah dua. Kemudian, kita faktorkan ruas kanan menjadi dua dikali, buka kurung, a n ditambah satu, tutup kurung.

Langkah kedua adalah mengidentifikasi barisan geometri. Jika kita misalkan sebuah suku baru u n sama dengan a n ditambah satu, maka persamaannya berubah menjadi u n tambah satu sama dengan dua dikali u n. Hal ini menunjukkan bahwa telah terbentuk barisan geometri dengan rasio r sama dengan dua.

Langkah ketiga, kita susun rumus suku ke n. Menggunakan titik awal suku ke empat, rumusnya adalah u n sama dengan u empat dikali r pangkat n minus empat. Substitusikan menjadi a n ditambah satu sama dengan, buka kurung, a empat ditambah satu, tutup kurung, dikali dua pangkat n minus empat. Karena a empat adalah sembilan, maka sembilan ditambah satu adalah sepuluh, sehingga a n ditambah satu sama dengan sepuluh dikali dua pangkat n minus empat.

Langkah keempat adalah penyederhanaan rumus. Kita pecah angka sepuluh menjadi lima dikali dua pangkat satu. Maka, a n ditambah satu sama dengan lima dikali dua pangkat satu dikali dua pangkat n minus empat. Menggunakan sifat eksponen, ini menjadi lima dikali dua pangkat n minus tiga. Jadi, rumus umum untuk a n adalah lima dikali dua pangkat n minus tiga, dikurang satu.

Terakhir, kita substitusikan n sama dengan lima puluh ke dalam rumus tersebut. Kita dapatkan a lima puluh sama dengan lima dikali dua pangkat lima puluh dikurang tiga, dikurang satu. Hasil penyederhanaannya adalah lima dikali dua pangkat empat puluh tujuh, dikurang satu.

Sebagai kesimpulan, karena nilainya sangat besar, kita biarkan jawabannya dalam bentuk eksponensial. Jadi, nilai a lima puluh adalah lima dikali dua pangkat empat puluh tujuh dikurang satu. Sampai jumpa di pembahasan soal berikutnya!