Barisan Aritmatika dan Geometri

Halo semuanya! Hari ini kita akan belajar tentang Barisan Geometri dan Aritmatika. Pada barisan geometri x, y, z, berlaku sifat y sama dengan x kali r dan zet sama dengan x kali r kuadrat. Sementara itu, pada barisan aritmatika a, b, c, berlaku selisih yang sama, sehingga dua b sama dengan a tambah c.

Mari kita perhatikan contoh soal UTBK berikut. Diketahui tiga bilangan x, y, zet membentuk barisan geometri dengan jumlah total dua puluh satu. Jika x, y kurang dua, dan zet kurang sepuluh membentuk barisan aritmatika, dan rasionya adalah bilangan bulat positif, berapakah nilai r tersebut?

Langkah pertama, gunakan sifat aritmatika. Dari jumlah bilangan, kita peroleh x tambah zet sama dengan dua puluh satu dikurang y. Karena barisan barunya adalah x, y kurang dua, dan zet kurang sepuluh, maka berlaku dua dikali dalam kurung y kurang dua sama dengan x tambah dalam kurung zet kurang sepuluh, atau dua y kurang empat sama dengan x tambah zet dikurang sepuluh.

Selanjutnya, substitusikan x tambah zet sama dengan dua puluh satu dikurang y ke dalam persamaan tadi. Kita dapatkan dua y kurang empat sama dengan dua puluh satu dikurang y dikurang sepuluh. Setelah disederhanakan, tiga y sama dengan lima belas, sehingga kita temukan nilai y sama dengan lima.

Langkah kedua adalah mencari rasio r. Karena y sama dengan lima dan y sama dengan x kali r, maka x adalah lima per r. Lalu, zet adalah x kali r kuadrat yang sama dengan lima r. Substitusikan kembali ke persamaan jumlah awal, sehingga lima per r tambah lima tambah lima r sama dengan dua puluh satu.

Persamaan tersebut bisa kita tulis menjadi lima per r tambah lima r sama dengan enam belas. Kalikan kedua ruas dengan r untuk mendapatkan lima tambah lima r kuadrat sama dengan enam belas r. Pindahkan ruas sehingga terbentuk persamaan kuadrat lima r kuadrat dikurang enam belas r tambah lima sama dengan nol.

Faktorkan persamaan tersebut menjadi lima r kurang satu dikali r kurang lima sama dengan nol. Akar-akarnya adalah r sama dengan satu per lima atau r sama dengan lima. Karena syarat pada soal menyatakan bahwa r harus bilangan bulat positif, maka nilai yang kita ambil adalah r sama dengan lima. Jadi, rasio barisannya adalah lima.

Itulah cara menyelesaikan soal gabungan barisan dengan menggunakan substitusi dan persamaan kuadrat.

Semoga penjelasan ini membantu persiapan ujian kalian. Sampai jumpa di video berikutnya!