Propagasi Ralat: Menghitung Error Hasil Perkalian dan Pangkat

Untuk penjumlahan dan pengurangan, ralat mutlaknya dijumlahkan. Untuk perkalian, pembagian, dan pangkat, ralat relatifnya yang dijumlahkan, dan pangkat berlaku sebagai pengali. Dua aturan itu menutup hampir semua pengolahan data di praktikum Fisika Dasar dan Kimia Dasar. Di bawah ini keduanya dikerjakan tuntas pada percobaan yang hampir semua mahasiswa teknik lewati, yaitu menentukan percepatan gravitasi dari ayunan sederhana.

#Apa rumus propagasi ralat yang perlu dihafal?

Cukup empat baris. Tanda topi di sini berarti nilai hasil akhir, dan Δ berarti ketidakpastiannya.

Bentuk rumus	Yang dijumlahkan	Hasil
z = a + b atau z = a − b	ralat mutlak	Δz = Δa + Δb
z = a × b atau z = a ÷ b	ralat relatif	Δz/z = Δa/a + Δb/b
z = aⁿ	ralat relatif, dikali pangkat	Δz/z = n × (Δa/a)
z = k × a, dengan k konstanta	ralat mutlak, dikali konstanta	Δz = k × Δa

Perhatikan baris kedua dan ketiga. Di perkalian dan pembagian kamu tidak pernah menjumlahkan ralat mutlak, dan di pengurangan kamu tidak pernah menjumlahkan ralat relatif. Menukar keduanya adalah kesalahan paling umum di laporan, dan hasilnya bisa melenceng puluhan kali.

Baris terakhir menjelaskan kenapa 4π² atau bilangan 2 pada rumus tidak punya ralat. Konstanta matematika nilainya pasti, jadi ralat relatifnya nol dan tidak menyumbang apa pun.

#Bagaimana menghitungnya pada percobaan pendulum?

Rumus yang dipakai

g = 4π²L / T²

Dua besaran yang kamu ukur sendiri: panjang tali L dan periode T. Sisanya konstanta.

Misalkan hasil pengukuranmu seperti ini.

Panjang dari titik gantung sampai pusat bola diukur dengan meteran, hasilnya L = 1,000 m dengan ΔL = 0,001 m.
Waktu untuk 20 ayunan penuh diukur dengan stopwatch, hasilnya t = 40,12 s dengan Δt = 0,2 s.
Periode satu ayunan T = 40,12 ÷ 20 = 2,006 s, dan ΔT = 0,2 ÷ 20 = 0,01 s.

Sekarang hitung ralat relatif tiap besaran.

ΔL/L = 0,001 ÷ 1,000 = 0,1 persen

ΔT/T = 0,01 ÷ 2,006 = 0,50 persen

Karena L berpangkat satu dan T berpangkat dua, ralat relatif hasilnya

Δg/g = (1 × 0,1 persen) + (2 × 0,50 persen) = 1,1 persen

Nilai tengahnya

g = 4π² × 1,000 ÷ (2,006)² = 39,478 ÷ 4,0240 = 9,811 m/s²

Ralat mutlaknya 1,1 persen dari 9,811, yaitu 0,108. Dengan ralat relatif sekitar satu persen, kamu berhak menulis tiga angka berarti:

g = (9,81 ± 0,11) m/s²

Lihat kontribusinya. Panjang tali menyumbang 0,1 persen, periode menyumbang 1,0 persen. Sembilan puluh persen ralat akhirmu datang dari satu besaran, dan itu informasi paling berguna dari seluruh perhitungan ini.

#Kenapa ralat periode yang kecil tetap meledak setelah dikuadratkan?

ΔT cuma 0,01 s pada periode 2 s. Kelihatannya tidak ada apa-apa. Tapi T masuk rumus sebagai pangkat dua, jadi kontribusinya digandakan sebelum masuk ke hasil akhir.

Efeknya jauh lebih dramatis kalau kamu mengukur satu ayunan saja. Bandingkan dua skenario dengan stopwatch dan tangan yang sama.

Cara mengukur	Δt	ΔT	ΔT/T	Δg/g	Hasil akhir
1 ayunan	0,2 s	0,2 s	10 persen	20,1 persen	(10 ± 2) m/s²
20 ayunan	0,2 s	0,01 s	0,50 persen	1,1 persen	(9,81 ± 0,11) m/s²

Angka Δt-nya identik, 0,2 s di kedua baris, karena yang membatasi bukan stopwatch melainkan waktu reaksi tanganmu. Yang berubah hanya pembaginya. Mengukur 20 ayunan membagi ralat waktu dengan 20, dan karena T berpangkat dua, penghematan itu masuk ke hasil akhir dengan efek ganda. Satu keputusan prosedur sederhana memperkecil ralat dari 2 menjadi 0,11.

Ini juga alasan kenapa Δt sebaiknya tidak diambil dari resolusi stopwatch. Stopwatch digital menampilkan 0,01 s, tapi tidak ada manusia yang bisa menekan tombol dengan ketepatan 0,01 s. Pakai taksiran waktu reaksi yang jujur, sekitar 0,1 sampai 0,2 s, dan tulis alasannya di laporan.

#Jumlah langsung atau akar kuadrat, mana yang dipakai?

Ada dua konvensi dan keduanya sah.

Ralat maksimum menjumlahkan langsung, seperti semua hitungan di atas. Hasilnya agak pesimistis karena mengasumsikan semua kesalahan kebetulan searah.

Ralat kuadratik mengakarkan jumlah kuadrat, karena kesalahan acak lebih mungkin saling meredam. Untuk kasus pendulum di atas, akar dari (0,1² + 1,0²) menghasilkan 1,005 persen, hampir sama dengan 1,1 persen tadi.

Kedua hasil berdekatan karena ada satu suku yang mendominasi. Begitu satu kontributor jauh lebih besar dari yang lain, pilihan konvensi hampir tidak berpengaruh. Pilih satu sesuai modulmu, tulis di bagian metode, lalu pakai konvensi yang sama di semua tabel. Yang jadi masalah bukan pilihannya, melainkan mencampur keduanya dalam satu laporan.

#Kesalahan yang sering terjadi

Menjumlahkan ralat mutlak pada perkalian. Misalnya menulis Δ(v) = Δs + Δt untuk v = s ÷ t. Satuannya saja sudah tidak masuk, meter ditambah sekon.
Lupa pengali pangkat. T² mendapat pengali dua, akar mendapat pengali setengah, dan pangkat tiga pada volume mendapat pengali tiga.
Memberi ralat pada konstanta. Nilai π dan 4 tidak punya ketidakpastian, jadi jangan ada suku Δπ di tabelmu.
Mengambil Δt dari resolusi stopwatch alih-alih dari waktu reaksi.
Mengurangkan dua bilangan yang berdekatan. Ini yang paling sering tidak disadari. Massa zat yang ditimbang sebagai selisih (125,3 ± 0,1) g dan (124,8 ± 0,1) g menghasilkan (0,5 ± 0,2) g, ralat relatif 40 persen dari dua pengukuran yang masing-masing hanya 0,08 persen. Timbang langsung kalau bisa, atau pakai massa yang lebih besar.
Mencampur konvensi maksimum dan kuadratik di tabel yang berbeda dalam satu laporan.
Menentukan angka berarti hasil akhir dari jumlah desimal kalkulator, bukan dari ralat relatifnya. Dasar pembulatannya dibahas di cara menghitung ketidakpastian praktikum.

Satu kebiasaan yang membedakan laporan bagus: setelah dapat Δg, tulis satu kalimat tentang besaran mana yang paling menyumbang ralat dan apa yang akan kamu ubah kalau percobaannya diulang. Bagian pembahasan itu yang paling sering kosong, padahal paling mudah diisi begitu angka kontribusinya sudah ada di depanmu. Pola pencatatan data mentah dan hasil olahan yang rapi di logbook bisa kamu contek dari cara membuat catatan kuliah efektif.

#FAQ

#Kalau rumusnya mengandung sin, cos, atau logaritma, bagaimana?

Pakai bentuk umumnya, Δz = |dz/dx| × Δx. Untuk z = sin θ, berarti Δz = |cos θ| × Δθ, dan Δθ harus dalam radian, bukan derajat. Ini yang sering terlewat di percobaan pembiasan cahaya.

#Apakah menambah jumlah ayunan selalu memperkecil ralat?

Sampai titik tertentu saja. Ralat waktu memang terbagi n, tapi ayunan yang terlalu banyak membuat amplitudo meredam dan periodenya ikut berubah, sehingga muncul kesalahan sistematis yang tidak terlihat di rumus propagasi. Dua puluh sampai lima puluh ayunan biasanya titik yang masuk akal.

#Ralat relatifku 20 persen. Laporanku jelek?

Angkanya memang besar, tapi yang dinilai adalah apakah kamu tahu dari mana angka itu datang. Laporan yang menulis 20 persen dan menunjukkan bahwa penyumbangnya adalah waktu reaksi tangan lebih bagus daripada laporan yang menulis 0,5 persen tanpa bisa menjelaskan asalnya.

#Kenapa ralat relatif tidak berubah kalau nilainya dikali konstanta?

Karena nilai dan ralatnya dikali angka yang sama, jadi perbandingannya tetap. Ini berguna untuk konversi satuan: mengubah meter ke sentimeter tidak mengubah ralat relatifmu sedikit pun.

#Kalau satu besaran mendominasi ralat, besaran lain boleh diabaikan?

Secara praktis iya, dan itu dipakai di banyak jurnal. Tetap tulis nilainya di tabel supaya terlihat bahwa kamu sudah memeriksanya, lalu sebutkan bahwa kontribusinya kurang dari sepersepuluh penyumbang utama.

#Bagaimana kalau hasil akhirku dari rata-rata tiga kali pengulangan percobaan?

Dua sumber ralat harus dipisah dulu. Propagasi mengurus ketidakpastian dari alat ukur, sedangkan sebaran antar pengulangan diurus dengan standar deviasi rata-rata. Ambil yang lebih besar di antara keduanya, dengan logika yang sama seperti pengulangan titrasi di cara menghitung normalitas dan titrasi.