Limit dan Pendekatan Nilai Bilangan e

Halo semuanya! Hari ini kita akan membahas Analisis Numerik untuk pendekatan nilai e. Pertama, kita buktikan limit h mendekati nol dari dua tambah h per dua kurang h dipangkatkan satu per h sama dengan e. Misalkan L adalah limit tersebut, maka el en L sama dengan limit h mendekati nol dari el en dua tambah h dikurang el en dua kurang h per h. Menggunakan aturan L'Hopital, kita turunkan pembilang dan penyebut menjadi satu per dua tambah h dikurang negatif satu per dua kurang h per satu. Hasilnya adalah satu per dua ditambah satu per dua sama dengan satu. Karena el en L sama dengan satu, maka L sama dengan e pangkat satu atau e. Terbukti!

Selanjutnya bagian b, kita hitung nilai N h menggunakan rumus dua tambah h per dua kurang h dipangkatkan satu per h untuk beberapa nilai h. Untuk h sama dengan nol koma nol empat, nilainya sekitar dua koma tujuh satu delapan enam tiga lima lima tiga empat. Untuk h sama dengan nol koma nol dua, nilainya adalah dua koma tujuh satu delapan tiga tujuh nol satu satu satu. Dan untuk h sama dengan nol koma nol satu, hasilnya adalah dua koma tujuh satu delapan tiga nol tiga tujuh enam satu.

Sekarang bagian d, kita tunjukkan bahwa N h adalah fungsi genap dengan membuktikan N negatif h sama dengan N h. Jika kita masukkan negatif h ke dalam rumus, kita peroleh dua dikurang h per dua ditambah h dipangkatkan negatif satu per h. Dengan membalik pecahan di dalam kurung, pangkatnya menjadi positif satu per h, yang tepat sama dengan rumus N h semula. Jadi, kesimpulannya N h adalah fungsi genap.

Masuk ke bagian c, kita gunakan ekstrapolasi Richardson orde O h pangkat tiga. Karena N h adalah fungsi genap, maka koefisien ganjil seperti K satu dan K tiga adalah nol. Persamaan e menjadi N h ditambah K dua h kuadrat ditambah K empat h pangkat empat dan seterusnya. Rumus ekstrapolasi untuk h dan h per dua adalah E satu h sama dengan empat dikali N h per dua dikurang N h, lalu dibagi tiga.

Mari kita hitung untuk h sama dengan nol koma nol empat. Masukkan nilai yang sudah kita cari: empat dikali N nol koma nol dua dikurang N nol koma nol empat, lalu dibagi tiga. Hasil perhitungannya adalah dua koma tujuh satu delapan dua delapan satu enam tiga tujuh. Jika dibandingkan dengan nilai eksak e yaitu dua koma tujuh satu delapan dua delapan satu delapan dua delapan, hasilnya sangat akurat.

Asumsi ekstrapolasi ini benar karena N h adalah fungsi yang simetris atau genap. Hal ini menyebabkan error atau galat berkurang secara signifikan dalam proses ekstrapolasi.

Demikianlah langkah-langkah pendekatan nilai e. Dengan metode numerik ini, kita bisa mendapatkan hasil yang sangat teliti. Sampai jumpa di video selanjutnya!