Menyelesaikan Aljabar Barisan Geometri

Halo teman-teman! Mari kita bedah soal barisan geometri berikut ini. Diketahui u satu, u dua, u tiga, dan seterusnya memenuhi dua persamaan, yaitu u tiga dikurang u enam sama dengan x, serta u dua dikurang u empat sama dengan y. Tugas kita adalah menentukan nilai dari x per y.

Langkah pertama, ingat kembali konsep barisan geometri. Rumus suku ke-n adalah u n sama dengan a dikali r pangkat n minus satu. Di sini, variabel a melambangkan suku pertama, dan variabel r melambangkan rasio barisan tersebut.

Sekarang kita jabarkan persamaannya. Persamaan u tiga dikurang u enam sama dengan x menjadi a r kuadrat dikurang a r pangkat lima sama dengan x. Lalu, u dua dikurang u empat sama dengan y menjadi a r dikurang a r pangkat tiga sama dengan y. Maka, bentuk pecahan x per y dapat kita tuliskan sebagai a r kuadrat dikurang a r pangkat lima, dibagi a r dikurang a r pangkat tiga. Selanjutnya, mari kita faktorkan.

Kita faktorkan pembilang menjadi a r kuadrat dikali satu minus r pangkat tiga, dan penyebut menjadi a r dikali satu minus r kuadrat. Sederhanakan a r kuadrat per a r menjadi r, sehingga menyisakan r dikali satu minus r pangkat tiga per satu minus r kuadrat. Gunakan identitas aljabar: satu minus r pangkat tiga sama dengan satu minus r dikali satu plus r plus r kuadrat, dan satu minus r kuadrat sama dengan satu minus r dikali satu plus r.

Setelah substitusi identitas tadi, kita coret faktor satu minus r pada pembilang dan penyebut. Kita dapatkan r dikali satu plus r plus r kuadrat, dibagi satu plus r. Kalikan r ke dalam kurung untuk mendapatkan hasil akhir r pangkat tiga ditambah r kuadrat ditambah r, per r plus satu. Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah pilihan C.

Sangat mudah, bukan? Dengan menguasai rumus dasar geometri dan teknik faktorisasi aljabar, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan cepat. Sampai jumpa di pembahasan soal matematika seru lainnya!