Eliminasi Gauss-Jordan untuk Sistem Persamaan 3 Variabel

Cara eliminasi Gauss Jordan untuk matriks SPL adalah mengubah matriks augmented menjadi bentuk eselon baris tereduksi, lalu membaca jawabannya langsung dari kolom terakhir tanpa substitusi balik. Bedanya dengan metode lain, prosedur ini tidak pernah mentok: kalau sistemnya punya solusi tunggal, hasilnya kelihatan; kalau solusinya tak hingga atau tidak ada solusi sama sekali, matriksnya juga memberi tanda yang jelas. Di bawah ada satu contoh tuntas dan dua kasus yang biasanya bikin panik di ujian.

#Tiga operasi baris yang boleh dipakai

Hanya ada tiga operasi baris elementer, dan semua langkahmu harus salah satu dari ketiganya.

1. Menukar posisi dua baris.
2. Mengalikan satu baris penuh dengan konstanta yang tidak nol.
3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain.

Sasarannya adalah bentuk eselon baris tereduksi, yang punya empat ciri: setiap baris tak nol diawali angka 1 (disebut pivot), kolom tempat pivot berdiri berisi nol di semua baris lain, pivot baris bawah selalu lebih ke kanan daripada pivot baris atasnya, dan baris yang isinya nol semua diletakkan paling bawah.

Eliminasi Gauss berhenti sebelum tahap itu, yaitu hanya sampai bawah pivot bernilai nol, lalu dilanjutkan substitusi balik. Gauss-Jordan meneruskan sampai atas pivot juga nol, sehingga tidak ada substitusi lagi.

#Contoh tuntas: sistem dengan solusi tunggal

Ambil sistem ini.

x + y + z = 6 2x - y + 3z = 9 x + 2y - z = 2

Tulis sebagai matriks augmented. Garis tegak cuma pemisah, isinya ruas kanan.

[ 1  1  1 |  6 ]
[ 2 -1  3 |  9 ]
[ 1  2 -1 |  2 ]

Nolkan kolom pertama di bawah pivot. Baris kedua dikurangi dua kali baris pertama, baris ketiga dikurangi baris pertama.

[ 1  1  1 |  6 ]
[ 0 -3  1 | -3 ]
[ 0  1 -2 | -4 ]

Baris ketiga sudah punya angka 1 di kolom kedua, jadi tukar baris dua dan tiga supaya pivot berikutnya tidak perlu dibagi.

[ 1  1  1 |  6 ]
[ 0  1 -2 | -4 ]
[ 0 -3  1 | -3 ]

Baris ketiga ditambah tiga kali baris kedua.

[ 1  1  1 |  6 ]
[ 0  1 -2 | -4 ]
[ 0  0 -5 | -15 ]

Baris ketiga dibagi negatif lima, dan di sini z sudah terbaca.

[ 1  1  1 |  6 ]
[ 0  1 -2 | -4 ]
[ 0  0  1 |  3 ]

Sampai titik ini metode Gauss akan menyuruh substitusi balik. Gauss-Jordan lanjut membersihkan atas pivot. Baris kedua ditambah dua kali baris ketiga, baris pertama dikurangi baris ketiga, lalu baris pertama dikurangi baris kedua.

[ 1  0  0 |  1 ]
[ 0  1  0 |  2 ]
[ 0  0  1 |  3 ]

Jawabannya x = 1, y = 2, z = 3. Masukkan ke persamaan ketiga untuk memeriksa: 1 + 4 - 3 = 2, dan itu cocok.

#Keluaran pertama yang bikin panik: baris nol seluruhnya

Sekarang sistem yang berbeda.

x + y + z = 6 2x + y + 3z = 14 3x + 2y + 4z = 20

Setelah baris kedua dikurangi dua kali baris pertama dan baris ketiga dikurangi tiga kali baris pertama, lalu baris ketiga dikurangi baris kedua:

[ 1  1  1 |  6 ]
[ 0 -1  1 |  2 ]
[ 0  0  0 |  0 ]

Baris ketiga habis. Artinya persamaan ketiga tidak membawa informasi baru, karena dia memang hasil penjumlahan dua persamaan di atasnya. Sistem ini punya solusi tak hingga banyaknya, bukan tidak punya solusi.

Lanjutkan ke eselon tereduksi. Baris kedua dikalikan negatif satu, lalu baris pertama dikurangi baris kedua.

[ 1  0  2 |  8 ]
[ 0  1 -1 | -2 ]
[ 0  0  0 |  0 ]

Kolom ketiga tidak punya pivot, jadi z adalah variabel bebas. Tulis z = t dengan t bilangan real apa saja, lalu baca dua baris sisanya:

x = 8 - 2t y = t - 2 z = t

Cek dengan t = 3 menghasilkan x = 2, y = 1, z = 3, dan ketiga persamaan terpenuhi. Cek dengan t = 0 menghasilkan x = 8, y = -2, z = 0, dan ketiganya juga terpenuhi. Dua-duanya jawaban yang benar, karena solusinya memang satu garis, bukan satu titik.

#Keluaran kedua: baris nol dengan ruas kanan tidak nol

Ganti satu angka saja di sistem tadi, ruas kanan persamaan ketiga jadi 21.

x + y + z = 6 2x + y + 3z = 14 3x + 2y + 4z = 21

Operasi yang sama menghasilkan:

[ 1  1  1 |  6 ]
[ 0 -1  1 |  2 ]
[ 0  0  0 |  1 ]

Baris ketiga berbunyi 0x + 0y + 0z = 1, yang mustahil. Sistem ini tidak punya solusi dan pengerjaanmu berhenti di situ. Tidak ada gunanya melanjutkan ke eselon tereduksi.

Rangkumannya begini, dan tabel ini yang sebaiknya kamu hafal menggantikan prosedurnya:

#Kenapa kuliah memakai cara ini padahal Sarrus lebih cepat

Untuk matriks 3x3, aturan Sarrus memang lebih cepat dihitung. Masalahnya ada dua.

Pertama, Sarrus menghitung determinan, bukan solusi. Determinan hanya memberi tahu apakah solusinya tunggal. Kalau determinannya nol, Sarrus dan aturan Cramer sama-sama bungkam, padahal justru di situlah pertanyaan yang sulit berada: tak hingga atau tidak ada solusi. Gauss-Jordan membedakan keduanya tanpa alat tambahan.

Kedua, Sarrus tidak punya versi 4x4. Trik diagonal yang kamu gambar untuk matriks 3x3 tidak berlaku di ukuran lain, dan ini salah satu kesalahan paling sering di ujian aljabar linear. Alternatifnya adalah ekspansi kofaktor, yang jumlah sukunya tumbuh seperti faktorial: 4x4 sudah 24 suku, 5x5 jadi 120 suku. Jumlah operasi eliminasi hanya tumbuh seperti pangkat tiga dari ukuran matriks, jadi selisihnya makin jauh.

Bonusnya, prosedur yang sama dipakai untuk mencari rank matriks dan invers matriks. Materi satu, pemakaian tiga, dan itu alasan dia muncul di awal silabus.

Kalau matriks jadi materi yang paling sering kamu tunda, atur dulu ritme belajarnya lewat strategi belajar UAS dan UTS mahasiswa, dan rapikan catatan langkah-langkahnya dengan cara membuat catatan kuliah efektif.

#Kesalahan yang sering terjadi

Lupa mengubah kolom ruas kanan. Setiap operasi baris berlaku untuk baris penuh termasuk angka di sebelah garis tegak. Kalau ruas kanan tertinggal, jawabanmu akan rapi tapi salah.

Mengerjakan dua operasi sekaligus dalam satu langkah. Menulis baris kedua dikurangi baris pertama dan baris pertama dikurangi baris kedua secara bersamaan tidak sah, karena baris pertama yang dipakai di operasi kedua sudah berubah. Kerjakan satu per satu dan tulis operasinya di samping matriks.

Membagi dengan pivot yang bernilai nol. Kalau posisi pivot kebetulan nol, tukar dengan baris di bawahnya dulu. Menukar baris tidak mengubah solusi sama sekali.

Menukar kolom. Menukar baris berarti menukar urutan persamaan dan itu aman. Menukar kolom berarti menukar urutan variabel, dan hampir semua orang lupa mengembalikannya saat menulis jawaban.

Menyimpulkan variabelnya nol dari baris nol. Baris nol tidak berbunyi z = 0. Dia berbunyi persamaan ini tidak membawa informasi, sehingga ada variabel bebas.

Pindah ke kolom berikutnya padahal di bawah pivot masih ada angka bukan nol. Bentuk eselon mensyaratkan kolom pivot bersih sebelum kamu lanjut ke kanan.

#Pertanyaan yang sering muncul

#Apa bedanya eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan?

Gauss berhenti di bentuk eselon baris, yaitu hanya bawah pivot yang nol, lalu diselesaikan dengan substitusi balik. Gauss-Jordan melanjutkan sampai atas pivot juga nol, sehingga jawabannya terbaca langsung. Hasil akhirnya sama.

#Kalau ada baris nol, apakah sistemnya tidak punya solusi?

Justru sebaliknya. Baris yang semuanya nol termasuk ruas kanannya menandakan solusi tak hingga. Yang menandakan tidak ada solusi adalah baris nol dengan ruas kanan bukan nol.

#Berapa banyak variabel bebas yang akan muncul?

Jumlah variabel dikurangi jumlah pivot. Sistem tiga variabel dengan dua pivot punya satu variabel bebas, jadi solusinya ditulis dengan satu parameter.

#Bisa dipakai kalau jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah variabel?

Bisa, dan ini kelebihan utamanya. Matriks augmented tidak harus persegi. Determinan, Sarrus, dan aturan Cramer semuanya menuntut matriks persegi, sedangkan eliminasi tidak.

#Hasil saya pecahan tapi kunci jawabannya bilangan bulat, apakah salah?

Belum tentu. Urutan operasi yang berbeda bisa melewati angka pecahan di tengah jalan dan tetap bermuara ke jawaban yang sama. Masukkan hasilmu ke ketiga persamaan awal. Kalau ketiganya terpenuhi, jawabanmu benar apa pun jalannya.