Membuktikan Identitas Himpunan: Cara Elemen dan Hukum Aljabar

Identitas himpunan dibuktikan dengan salah satu dari dua cara. Cara pertama adalah bukti elemen: tunjukkan bahwa setiap anggota ruas kiri pasti anggota ruas kanan, lalu tunjukkan arah sebaliknya. Cara kedua adalah rantai hukum aljabar himpunan, dengan nama hukum ditulis di setiap baris. Diagram Venn hanya alat bantu untuk menebak jawabannya, dan di banyak kelas matematika diskrit tidak dihitung sebagai bukti.

Artikel ini mengerjakan identitas yang sama dengan kedua cara, supaya kamu bisa melihat bagian mana yang dinilai dosen di masing-masing cara.

#Apa yang sebenarnya harus ditunjukkan?

Dua himpunan $X$ dan $Y$ sama jika dan hanya jika $X \subseteq Y$ dan $Y \subseteq X$ . Pernyataan $X \subseteq Y$ sendiri berarti

\forall x (x \in X \to x \in Y)

Jadi membuktikan $X = Y$ sama dengan membuktikan dua implikasi: anggota sembarang $X$ ada di $Y$ , dan anggota sembarang $Y$ ada di $X$ . Kata kuncinya adalah "sembarang". Kamu tidak boleh memilih anggota tertentu seperti 1 atau 2, karena klaimnya berlaku untuk semua anggota.

Definisi yang dipakai terus-menerus di bawah:

$x \in A \cup B$ berarti $x \in A$ atau $x \in B$ .
$x \in A \cap B$ berarti $x \in A$ dan $x \in B$ .
$x \in A - B$ berarti $x \in A$ dan $x \notin B$ .
$x \in A ‾$ berarti $x \in U$ dan $x \notin A$ , dengan $U$ himpunan semesta. Sebagian buku menulis komplemen sebagai $A^{c}$ atau $A^{'}$ .

#Hukum aljabar himpunan yang boleh dipakai

Bukti aljabar hanya sah kalau setiap baris memakai hukum yang sudah disepakati di kelas. Daftar yang umum dipakai:

Nama hukum	Bentuk
Identitas	$A \cup \emptyset = A$ , $A \cap U = A$
Dominasi	$A \cup U = U$ , $A \cap \emptyset = \emptyset$
Idempoten	$A \cup A = A$ , $A \cap A = A$
Komplemen	$A \cup A ‾ = U$ , $A \cap A ‾ = \emptyset$
Komplemen ganda	$A ‾ ‾ = A$
Komutatif	$A \cup B = B \cup A$ , $A \cap B = B \cap A$
Asosiatif	$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ , sama untuk $\cap$
Distributif	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , dan dualnya
De Morgan	$A \cup B ‾ = A ‾ \cap B ‾$ , $A \cap B ‾ = A ‾ \cup B ‾$
Penyerapan	$A \cup (A \cap B) = A$ , $A \cap (A \cup B) = A$
Definisi selisih	$A - B = A \cap B ‾$

Hukum terakhir sering dilupakan, padahal hampir semua soal yang memuat tanda minus harus diawali dengan mengubah selisih menjadi irisan dengan komplemen.

#Bukti elemen untuk hukum De Morgan

Buktikan $A \cup B ‾ = A ‾ \cap B ‾$ .

Arah pertama, $A \cup B ‾ \subseteq A ‾ \cap B ‾$ . Ambil $x \in A \cup B ‾$ sembarang. Maka $x \notin A \cup B$ . Artinya tidak benar bahwa $x \in A$ atau $x \in B$ , sehingga $x \notin A$ dan $x \notin B$ . Dari $x \notin A$ diperoleh $x \in A ‾$ , dan dari $x \notin B$ diperoleh $x \in B ‾$ . Jadi $x \in A ‾ \cap B ‾$ .

Arah kedua, $A ‾ \cap B ‾ \subseteq A \cup B ‾$ . Ambil $x \in A ‾ \cap B ‾$ sembarang. Maka $x \notin A$ dan $x \notin B$ . Karena x tidak ada di A maupun di B, x juga tidak ada di gabungannya, sehingga $x \notin A \cup B$ . Jadi $x \in A \cup B ‾$ .

Karena kedua inklusi berlaku, kedua himpunan sama. Perhatikan bahwa langkah "tidak benar bahwa p atau q, sehingga bukan p dan bukan q" adalah hukum De Morgan versi logika. Bukti elemen pada dasarnya menerjemahkan soal himpunan menjadi soal logika proposisi, lalu kembali lagi.

#Satu identitas, dua cara: A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)

#Cara elemen

Arah pertama. Ambil $x \in A - (B \cup C)$ sembarang. Maka $x \in A$ dan $x \notin B \cup C$ . Dari $x \notin B \cup C$ diperoleh $x \notin B$ dan $x \notin C$ . Sekarang $x \in A$ dan $x \notin B$ , jadi $x \in A - B$ . Begitu juga $x \in A$ dan $x \notin C$ , jadi $x \in A - C$ . Kesimpulannya $x \in (A - B) \cap (A - C)$ .

Arah kedua. Ambil $x \in (A - B) \cap (A - C)$ sembarang. Maka $x \in A - B$ dan $x \in A - C$ . Dari yang pertama, $x \in A$ dan $x \notin B$ . Dari yang kedua, $x \notin C$ . Karena x tidak ada di B maupun di C, $x \notin B \cup C$ . Bersama $x \in A$ , diperoleh $x \in A - (B \cup C)$ .

Kedua inklusi terbukti, jadi identitasnya benar.

#Cara aljabar

\begin{matrix} A - (B \cup C) & = A \cap B \cup C ‾ & definisi selisih \\ = A \cap (B ‾ \cap C ‾) & De Morgan \\ = (A \cap A) \cap (B ‾ \cap C ‾) & idempoten \\ = (A \cap B ‾) \cap (A \cap C ‾) & asosiatif dan komutatif \\ = (A - B) \cap (A - C) & definisi selisih \end{matrix}

Baris ketiga terlihat aneh karena justru menambah A. Tujuannya menyediakan satu salinan A untuk masing-masing komplemen. Trik idempoten seperti ini muncul setiap kali satu himpunan perlu "dibagi" ke dua tempat.

Kalau dibandingkan, cara elemen lebih panjang tetapi hampir tidak mungkin salah langkah, karena setiap kalimat bisa dicek langsung dengan definisi. Cara aljabar lebih ringkas, tetapi satu hukum yang dilompati atau salah sebut sudah cukup untuk dipotong nilainya.

#Dua contoh aljabar lain yang sering keluar di UTS

Buktikan $A \cup (A ‾ \cap B) = A \cup B$ .

\begin{matrix} A \cup (A ‾ \cap B) & = (A \cup A ‾) \cap (A \cup B) & distributif \\ = U \cap (A \cup B) & komplemen \\ = A \cup B & identitas (dengan komutatif) \end{matrix}

Buktikan $(A \cap B) \cup (A \cap B ‾) = A$ .

\begin{matrix} (A \cap B) \cup (A \cap B ‾) & = A \cap (B \cup B ‾) & distributif \\ = A \cap U & komplemen \\ = A & identitas \end{matrix}

Pola keduanya sama: distributif untuk mengumpulkan sebuah himpunan dengan komplemennya, lalu hukum komplemen mengubah pasangan itu menjadi $U$ atau $\emptyset$ .

#Cara membantah identitas yang salah dengan contoh penyangkal

Soal "buktikan atau bantah" sering memuat identitas yang terlihat masuk akal tetapi salah. Untuk membantahnya, cukup satu contoh penyangkal: himpunan konkret yang membuat kedua ruas berbeda.

Klaim: $A - (B - C) = (A - B) - C$ .

Ambil $A = {1, 2, 3}$ , $B = {2, 3}$ , $C = {3}$ .

$B - C = {2}$ , sehingga $A - (B - C) = {1, 3}$ .
$A - B = {1}$ , sehingga $(A - B) - C = {1}$ .

Ruas kiri memuat 3, ruas kanan tidak. Klaimnya salah.

Cara menemukan contoh seperti ini adalah membuat tabel keanggotaan. Isi 1 kalau x anggota himpunan dan 0 kalau bukan. Baris dengan x di luar A tidak perlu ditulis, karena kedua ruas pasti 0.

x di A	x di B	x di C	A − (B − C)	(A − B) − C
1	0	0	1	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	1	1	0

Dua baris berbeda. Baris terakhir adalah elemen 3 pada contoh di atas, yaitu anggota ketiga himpunan sekaligus. Baris kedua memberi contoh penyangkal lain: $A = {1}$ , $B = \emptyset$ , $C = {1}$ .

Tabel ini juga menunjukkan identitas yang benar. Ruas kiri bernilai 1 tepat ketika x di A dan (x tidak di B atau x di C), sehingga

A - (B - C) = (A - B) \cup (A \cap C)

Kamu bisa memeriksa keempat baris sendiri. Hasilnya cocok di semuanya.

#Kenapa diagram Venn tidak diterima sebagai bukti?

Ada tiga alasan yang biasa diberikan dosen.

Gambar tidak menuliskan argumen. Dosen tidak bisa menilai langkah mana yang benar dan mana yang salah dari arsiran.
Diagram Venn yang rapi hanya ada untuk sedikit himpunan. Untuk empat himpunan atau lebih, gambar yang memuat semua kemungkinan irisan sudah sulit dibuat dengan lingkaran, dan identitas umum untuk n himpunan tidak bisa digambar sama sekali.
Gambar mudah menipu. Gambar dengan himpunan bagian, misalnya B di dalam A, hanya menunjukkan satu kasus khusus, padahal identitas harus berlaku untuk semua kasus.

Tabel keanggotaan pada bagian sebelumnya adalah versi tertulis dari ide yang sama, dan sejumlah buku teks matematika diskrit menerimanya sebagai metode bukti untuk identitas dengan sedikit himpunan. Kalau ragu, tanyakan ke dosen metode mana yang dinilai, atau pakai cara elemen yang selalu diterima.

#Kesalahan yang sering terjadi saat membuktikan identitas himpunan

Hanya membuktikan satu arah inklusi. Membuktikan $X \subseteq Y$ saja belum menunjukkan $X = Y$ .
Memakai anggota konkret sebagai bukti. "Misalkan $x = 2$ " hanya memeriksa satu kasus. Yang benar "ambil $x \in X$ sembarang".
Salah menegasikan gabungan. Dari $x \notin B \cup C$ yang benar adalah $x \notin B$ dan $x \notin C$ , bukan "atau".
Melompati hukum asosiatif dan komutatif di bukti aljabar, lalu menulis dua langkah dalam satu baris tanpa nama hukum.
Memakai komplemen tanpa semesta yang jelas. $A ‾$ baru bermakna setelah $U$ ditentukan.
Mencampur $\in$ dan $\subseteq$ . $x \in A$ membicarakan anggota, ${x} \subseteq A$ membicarakan himpunan bagian.
Menulis identitas yang mau dibuktikan di baris pertama lalu mengolah kedua ruas sampai sama. Kalau tidak hati-hati, ini berarti mengasumsikan hal yang sedang dibuktikan. Mulai dari satu ruas dan berakhir di ruas lain.

Dasar logika di balik bukti elemen, termasuk cara menegasikan pernyataan berkuantor, dibahas di negasi kuantor dan kuantor bersarang. Kalau bab ini masuk materi UTS, strategi belajar UTS dan UAS membantu membagi waktu latihan. Untuk merapikan daftar hukum dan definisi menjadi satu lembar ringkasan, lihat cara membuat catatan kuliah yang efektif.

#FAQ

#Kapan sebaiknya memakai cara elemen, kapan cara aljabar?

Pakai cara elemen kalau soal tidak menyebut metode, atau kalau identitasnya memuat selisih dan komplemen yang membingungkan. Pakai cara aljabar kalau soal secara eksplisit meminta "dengan hukum aljabar himpunan".

#Apakah tabel keanggotaan sama dengan tabel kebenaran?

Bentuknya sama. Isinya 1 dan 0 untuk keanggotaan, bukan benar dan salah. Banyak buku menerimanya sebagai bukti untuk dua atau tiga himpunan, tetapi tanyakan ke dosenmu dulu.

#Bolehkah memakai tanda ⇔ dalam bukti elemen?

Boleh, asalkan setiap langkah memang berlaku dua arah. Bentuk $x \in X \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow x \in Y$ membuktikan kedua inklusi sekaligus. Kalau ada satu langkah yang hanya berlaku satu arah, rantainya putus dan kamu harus memisahkan kedua arah.

#Bagaimana membuktikan bahwa A ⊆ B tanpa membuktikan kesamaan?

Cukup satu arah: ambil $x \in A$ sembarang, lalu tunjukkan $x \in B$ . Tidak perlu arah sebaliknya.

#Apa itu prinsip dualitas?

Kalau sebuah identitas benar, identitas yang diperoleh dengan menukar $\cup$ dengan $\cap$ dan $U$ dengan $\emptyset$ juga benar, selama komplemen dibiarkan. Contohnya, dual dari $A \cup \emptyset = A$ adalah $A \cap U = A$ .

#Apakah ada cara cepat mengecek jawaban sebelum menulis bukti?

Ada. Buat tabel keanggotaan delapan baris untuk tiga himpunan dan bandingkan kolom kedua ruas. Kalau semua baris sama, identitasnya benar dan kamu tinggal menulis buktinya. Kalau ada yang berbeda, baris itu langsung memberimu contoh penyangkal.