Integral Pecahan Parsial: Faktor Berulang dan Kuadrat Tak Terurai

Integral pecahan parsial memecah fungsi rasional $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ menjadi beberapa pecahan sederhana yang masing-masing bisa diintegralkan menjadi $\ln$, pecahan pangkat, atau $\arctan$. Bentuk pecahannya ditentukan oleh faktor penyebut: linear berbeda, linear berulang, kuadrat yang tidak bisa difaktorkan, atau campuran ketiganya. Satu langkah yang wajib dicek sebelum semua itu: kalau derajat pembilang tidak lebih kecil dari derajat penyebut, bagi polinomnya dulu.

#Bagaimana menentukan bentuk pecahan dari faktor penyebut?

Faktorkan penyebut sepenuhnya, lalu tulis satu kelompok pecahan untuk setiap faktor.

Kuadrat $x^2+bx+c$ disebut tak terurai kalau diskriminan $b^2-4c$ negatif. Contohnya $x^2+1$ (diskriminan $-4$) dan $x^2+2x+5$ (diskriminan $-16$). Sebaliknya $x^2-4=(x-2)(x+2)$ bisa difaktorkan, jadi bukan kuadrat tak terurai.

Jumlah konstanta yang dicari selalu sama dengan derajat penyebut. Penyebut berderajat 3 berarti tiga konstanta.

#Contoh soal integral pecahan parsial untuk empat kasus penyebut

#Kasus 1: faktor linear berbeda

Soal 1. $\int \frac{5x-1}{x^2-x-2}dx$.

Faktorkan: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Tulis

$\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1},5x-1=A(x+1)+B(x-2).$

Cara tercepat di sini adalah substitusi akar, yaitu memasukkan nilai $x$ yang membuat salah satu faktor nol:

• $x=2$: $9=3A$, jadi $A=3$.
• $x=-1$: $-6=-3B$, jadi $B=2$.

$\int \frac{5x-1}{x^2-x-2}dx=3\ln \mid x-2\mid +2\ln \mid x+1\mid +C.$

Cek dengan menyamakan penyebut: $\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{3(x+1)+2(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}$. Cocok.

Versi integral tentunya: ${\int }_3^4\frac{5x-1}{x^2-x-2}dx=(3\ln 2+2\ln 5)-(3\ln 1+2\ln 4)=2\ln 5-\ln 2=\ln \mathrm{12,5}\approx \mathrm{2,526}$.

#Kasus 2: faktor linear berulang

Soal 2. $\int \frac{5x+1}{(x-1{)}^2(x+2)}dx$.

Faktor $(x-1{)}^2$ butuh dua pecahan, satu untuk setiap pangkat:

$\frac{5x+1}{(x-1{)}^2(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+2}.$

Kalikan dengan penyebut:

$5x+1=A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1{)}^2.$

Substitusi akar memberi dua konstanta:

• $x=1$: $6=3B$, jadi $B=2$.
• $x=-2$: $-9=9C$, jadi $C=-1$.

Konstanta $A$ tidak bisa didapat dengan cara ini, karena tidak ada nilai $x$ yang membuat hanya suku $A$ tersisa. Ada dua jalan. Samakan koefisien $x^2$: ruas kiri $0$, ruas kanan $A+C$, jadi $A=1$. Atau masukkan sembarang nilai, misalnya $x=0$: $1=-2A+4-1$, jadi $A=1$. Hasilnya sama.

$\int (\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1{)}^2}-\frac{1}{x+2})dx=\ln \mid x-1\mid -\frac{2}{x-1}-\ln \mid x+2\mid +C.$

Suku tengah bukan logaritma. Integral $\frac{2}{(x-1{)}^2}=2(x-1{)}^{-2}$ memakai aturan pangkat dan menghasilkan $-2(x-1{)}^{-1}$.

#Kasus 3: kuadrat tak terurai dan melengkapkan kuadrat

Soal 3. $\int \frac{x+5}{x^2+2x+5}dx$.

Diskriminannya , jadi penyebut tidak bisa difaktorkan. Integral seperti ini diselesaikan dengan memecah pembilang menjadi dua bagian: satu bagian yang merupakan turunan penyebut (untuk $\ln$), sisanya konstanta (untuk $\arctan$).

Turunan penyebut adalah $2x+2=2(x+1)$, jadi tulis $x+5=(x+1)+4$. Lengkapkan kuadrat penyebut: $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$.

$\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}dx+\int \frac{4}{(x+1{)}^2+4}dx.$

Bagian pertama memakai substitusi $w=x^2+2x+5$, $dw=2(x+1)dx$:

$\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+5).$

Bagian kedua memakai rumus $\int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a}$ dengan $u=x+1$ dan $a=2$:

$\int \frac{4}{(x+1{)}^2+4}dx=4\cdot \frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}=2\arctan \frac{x+1}{2}.$

Jadi $\int \frac{x+5}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+5)+2\arctan \frac{x+1}{2}+C$.

Cek: turunan suku pertama $\frac{x+1}{x^2+2x+5}$. Turunan suku kedua $\frac{1}{1+\frac{(x+1{)}^2}{4}}=\frac{4}{x^2+2x+5}$. Jumlahnya $\frac{x+5}{x^2+2x+5}$. Cocok. Logaritmanya tidak perlu nilai mutlak karena $x^2+2x+5$ selalu positif.

Rumus $\arctan$ di atas sendiri berasal dari substitusi trigonometri $u=a\tan \theta$.

#Kasus 4: campuran linear dan kuadrat

Soal 4. $\int \frac{3x^2+5x+4}{(x+1)(x^2+1)}dx$.

$\frac{3x^2+5x+4}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1},3x^2+5x+4=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1).$

Substitusi akar $x=-1$: $3-5+4=2A$, jadi $A=1$.

Faktor $x^2+1$ tidak punya akar real, jadi sisanya dengan menyamakan koefisien. Ruas kanan dijabarkan: $(A+B)x^2+(B+C)x+(A+C)$.

• Koefisien $x^2$: $A+B=3$, jadi $B=2$.
• Konstanta: $A+C=4$, jadi $C=3$.
• Koefisien $x$ sebagai cek: $B+C=5$. Cocok.

$\int (\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^2+1}+\frac{3}{x^2+1})dx=\ln \mid x+1\mid +\ln (x^2+1)+3\arctan x+C.$

Perhatikan pembilang $Bx+C$ dipecah menjadi dua integral. Bagian $\frac{2x}{x^2+1}$ menjadi $\ln$ karena $2x$ tepat turunan $x^2+1$, bagian $\frac{3}{x^2+1}$ menjadi $\arctan$.

#Kenapa polinom harus dibagi dulu?

Pecahan parsial hanya berlaku kalau derajat pembilang lebih kecil daripada derajat penyebut. Kalau tidak, pembagian polinom dulu.

Soal 5. $\int \frac{x^3+x^2+2}{x^2-1}dx$.

Pembilang berderajat 3, penyebut berderajat 2. Bagi bersusun:

$\frac{x^3+x^2+2}{x^2-1}=x+1+\frac{x+3}{x^2-1}.$

Cek pembagiannya: $(x+1)(x^2-1)+(x+3)=x^3+x^2-x-1+x+3=x^3+x^2+2$. Cocok.

Sisa pembagian diuraikan seperti Kasus 1: $\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}$ (dari $x=1$: $4=2A$; dari $x=-1$: $2=-2B$).

$\int \frac{x^3+x^2+2}{x^2-1}dx=\frac{x^2}{2}+x+2\ln \mid x-1\mid -\ln \mid x+1\mid +C.$

Kalau langkah pembagian dilewati dan kamu langsung menulis $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$, ruas kanannya hanya bisa menghasilkan polinom berderajat 1 di pembilang. Persamaan koefisiennya tidak punya solusi, dan banyak mahasiswa mengira dirinya salah hitung padahal bentuknya yang salah.

#Substitusi akar atau menyamakan koefisien?

Cara paling efisien biasanya gabungan: substitusi akar untuk semua akar real, lalu satu atau dua persamaan koefisien (atau nilai $x$ sembarang seperti $0$ dan $1$) untuk sisanya. Kalau sistemnya sampai empat variabel, eliminasi bertahap seperti di eliminasi Gauss-Jordan membantu menjaga hitungan rapi.

#Kesalahan yang sering terjadi

1. Tidak membagi polinom dulu ketika derajat pembilang sama atau lebih besar, seperti di Soal 5.
2. Faktor berulang hanya ditulis satu pecahan. $\frac{5x+1}{(x-1{)}^2(x+2)}$ tidak bisa ditulis $\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+2}$ saja; suku $\frac{A}{x-1}$ wajib ada.
3. Pembilang faktor kuadrat ditulis konstanta saja. Untuk $x^2+1$, pembilangnya $Bx+C$, bukan $C$.
4. Mengintegralkan $\frac{1}{(x-1{)}^2}$ menjadi $\ln \mid x-1\mid$. Hasil yang benar $-\frac{1}{x-1}$.
5. Lupa faktor koefisien di dalam logaritma. $\int \frac{dx}{2x+1}=\frac{1}{2}\ln \mid 2x+1\mid +C$, bukan $\ln \mid 2x+1\mid$.
6. Mengira $x^2-4$ tak terurai atau $x^2+4$ bisa difaktorkan. Hitung diskriminannya dulu.

Pecahan parsial juga muncul di luar bab integral, misalnya pada persamaan diferensial variabel terpisah seperti model logistik, yang penyebutnya berbentuk $P(K-P)$. Jangan tertukar dengan integral parsial, yang merupakan teknik berbeda untuk hasil kali fungsi.

#FAQ

#Bagaimana tahu sebuah kuadrat bisa difaktorkan atau tidak?

Hitung diskriminan $b^2-4ac$. Kalau positif atau nol, kuadrat itu punya akar real dan bisa difaktorkan menjadi faktor linear. Kalau negatif, kuadrat itu tak terurai dan pecahannya berbentuk $\frac{Bx+C}{a{x}^2+bx+c}$.

#Bagaimana bentuk pecahan untuk (x² + 1)²?

Dua pecahan: $\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{(x^2+1{)}^2}$. Bagian kedua biasanya diselesaikan dengan substitusi $x=\tan \theta$, dan $\int \frac{dx}{(x^2+1{)}^2}$ menghasilkan $\frac{1}{2}(\arctan x+\frac{x}{1+x^2})+C$.

#Apakah nilai x untuk substitusi harus akar penyebut?

Tidak. Nilai apa pun boleh, karena persamaan setelah dikalikan penyebut berlaku untuk semua $x$. Akar penyebut hanya dipilih karena membuat banyak suku hilang sekaligus.

#Kenapa ln(x² + 1) tidak pakai nilai mutlak?

Karena $x^2+1$ selalu positif. Nilai mutlak hanya diperlukan untuk faktor yang bisa bernilai negatif, seperti $x+1$.

#Apakah semua fungsi rasional bisa diintegralkan dengan pecahan parsial?

Secara teori ya, asal penyebutnya bisa difaktorkan menjadi faktor linear dan kuadrat real. Dalam praktik, kesulitannya ada di memfaktorkan penyebut berderajat tinggi. Soal kuliah biasanya memberi penyebut yang akarnya bilangan bulat kecil, jadi coba $x=\pm 1,\pm 2$ dulu.