Integral sin^m x cos^n x: Aturan Pangkat Ganjil dan Genap

Integral pangkat trigonometri berbentuk $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$ diselesaikan dengan melihat satu hal dulu: ada pangkat yang ganjil atau tidak. Kalau salah satu pangkat ganjil, sisihkan satu faktor dari pangkat ganjil itu lalu substitusi. Kalau keduanya genap, turunkan pangkatnya dengan rumus setengah sudut, berulang sampai habis. Untuk ${\tan }^{m}x{\sec }^{n}x$ logikanya sama, hanya identitasnya berbeda.

Artikel ini membahas pohon keputusannya, lalu lima soal yang dikerjakan sampai jawaban akhir, termasuk alasan jawabanmu bisa beda bentuk dengan kunci padahal sama-sama benar.

#Bagaimana menentukan cara mengerjakan integral sin pangkat m cos pangkat n?

Ikuti urutan ini setiap kali bertemu soal jenis ini. Pangkat 0 dihitung genap, jadi $\int {\sin }^{4}xdx$ masuk kelompok "dua-duanya genap".

1. Pangkat sin ganjil. Sisihkan satu $\sin x$, ubah sisa ${\sin }^{m-1}x$ menjadi cos memakai ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, lalu substitusi $u=\cos x$ dengan $du=-\sin xdx$.
2. Pangkat cos ganjil. Sisihkan satu $\cos x$, ubah sisanya menjadi sin memakai ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, lalu $u=\sin x$ dengan $du=\cos xdx$.
3. Dua-duanya ganjil. Pilih salah satu. Biasanya lebih ringan menyisihkan dari pangkat yang lebih kecil.
4. Dua-duanya genap. Pakai rumus setengah sudut ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, dan $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$. Ulangi kalau muncul lagi ${\cos }^{2}2x$.

Kenapa harus ganjil? Karena setelah satu faktor disisihkan untuk menjadi $du$, sisanya berpangkat genap, dan pangkat genap selalu bisa ditulis sebagai pangkat dari ${\sin }^2$ atau ${\cos }^2$. Kalau pangkatnya genap sejak awal, menyisihkan satu faktor meninggalkan pangkat ganjil yang tidak bisa diubah bersih, jadi substitusi macet.

#Contoh 1: integral sin³x cos²x dx

Pangkat sin adalah 3, ganjil. Sisihkan satu $\sin x$:

$\int {\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx=\int (1-{\cos }^{2}x){\cos }^{2}x\sin xdx$

Misalkan $u=\cos x$, maka $\sin xdx=-du$:

$-\int (1-u^2)u^{2}du=-\int (u^2-u^4)du=-\frac{u^3}{3}+\frac{u^5}{5}+C$

Kembalikan ke $x$:

$\int {\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx=\frac{{\cos }^{5}x}{5}-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$

Cek dengan menurunkan. Turunan $\frac{{\cos }^{5}x}{5}$ adalah $-\sin x{\cos }^{4}x$, turunan $-\frac{{\cos }^{3}x}{3}$ adalah $\sin x{\cos }^{2}x$. Jumlahnya $\sin x{\cos }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)={\sin }^{3}x{\cos }^{2}x$. Cocok.

Kalau soalnya integral tentu dari 0 sampai $\frac{\pi }{2}$, masukkan batasnya: di $\frac{\pi }{2}$ nilainya $0$, di $0$ nilainya $\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15}$. Hasilnya $0-(-\frac{2}{15})=\frac{2}{15}$.

Pola yang sama berlaku kalau hanya ada satu fungsi berpangkat ganjil. Misalnya $\int {\cos }^{3}xdx=\int (1-{\sin }^{2}x)\cos xdx=\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{3}+C$.

#Contoh 2: integral sin⁴x dx dengan setengah sudut berulang

Pangkat sin 4 dan pangkat cos 0. Keduanya genap, jadi substitusi tidak jalan. Pakai setengah sudut:

${\sin }^{4}x={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$

Masih ada ${\cos }^{2}2x$, turunkan lagi: ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$. Maka

${\sin }^{4}x=\frac{1}{4}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1}{8}+\frac{\cos 4x}{8}=\frac{3}{8}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$

Sekarang setiap suku mudah diintegralkan. Ingat $\int \cos kxdx=\frac{\sin kx}{k}$:

$\int {\sin }^{4}xdx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C$

Pengecekan cepat lewat nilai tentu: dari 0 sampai $\frac{\pi }{2}$, kedua suku sinus bernilai nol di kedua batas, jadi hasilnya $\frac{3\pi }{16}$. Angka ini sama dengan rumus reduksi Wallis, $\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}$.

#Contoh 3: integral sin²x cos²x dx

Dua-duanya genap. Jalan tercepat bukan mengalikan dua rumus setengah sudut, melainkan memakai $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ lebih dulu:

${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1-\cos 4x}{8}$ $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C$

Cara panjang (mengalikan $\frac{1-\cos 2x}{2}$ dengan $\frac{1+\cos 2x}{2}$) juga sampai di jawaban yang sama, hanya lebih banyak langkah yang bisa salah hitung.

#Bagaimana dengan tan pangkat m sec pangkat n?

Pasangan $\tan$ dan $\sec$ punya hubungan turunan sendiri: $\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x$ dan $\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$. Identitas penghubungnya ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$. Dari situ lahir tabel ini.

Contoh 4: $\int {\tan }^{3}x\sec xdx$. Pangkat tan 3, ganjil. Sisihkan $\sec x\tan x$, sisanya ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$:

$\int {\tan }^{2}x(\sec x\tan x)dx=\int (u^2-1)du=\frac{{\sec }^{3}x}{3}-\sec x+C$

dengan $u=\sec x$. Cek: turunannya ${\sec }^{2}x\cdot \sec x\tan x-\sec x\tan x=\sec x\tan x({\sec }^{2}x-1)={\tan }^{3}x\sec x$. Cocok.

Untuk baris pertama tabel, contohnya $\int {\tan }^{2}x{\sec }^{4}xdx=\int {\tan }^{2}x(1+{\tan }^{2}x){\sec }^{2}xdx=\frac{{\tan }^{3}x}{3}+\frac{{\tan }^{5}x}{5}+C$.

Baris ketiga adalah yang paling repot. Misalnya $\int {\tan }^{2}x\sec xdx=\int ({\sec }^{3}x-\sec x)dx$, dan $\int {\sec }^{3}xdx$ harus dikerjakan dengan integral parsial sampai integral semula muncul lagi. Hasil bakunya $\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}(\sec x\tan x+\ln \mid \sec x+\tan x\mid )+C$. Teknik "integral muncul lagi lalu dipindah ruas" dibahas di integral parsial dengan LIATE dan metode tabel.

#Kenapa dua jawaban beda bentuk bisa sama-sama benar?

Ambil $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{3}xdx$. Dua pangkatnya ganjil, jadi ada dua jalan.

• Sisihkan $\sin x$, substitusi $u=\cos x$: hasilnya $-\frac{{\cos }^{4}x}{4}+\frac{{\cos }^{6}x}{6}+C$.
• Sisihkan $\cos x$, substitusi $u=\sin x$: hasilnya $\frac{{\sin }^{4}x}{4}-\frac{{\sin }^{6}x}{6}+C$.

Bentuknya tampak tidak mirip. Coba masukkan $x=0$: jawaban pertama memberi $-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{12}$, jawaban kedua memberi $0$. Di $x=\frac{\pi }{2}$: jawaban pertama $0$, jawaban kedua $\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$. Selisihnya $-\frac{1}{12}$ di kedua titik. Kalau kamu ganti ${\cos }^{2}x$ dengan $1-{\sin }^{2}x$ dan menjabarkannya, selisih itu memang konstan untuk semua $x$.

Dua antiturunan dari fungsi yang sama selalu berbeda paling banyak sebuah konstanta, dan konstanta itu terserap ke $C$. Contoh paling sederhana: $\int \sin x\cos xdx$ bisa ditulis $\frac{{\sin }^{2}x}{2}$, $-\frac{{\cos }^{2}x}{2}$, atau $-\frac{\cos 2x}{4}$, dan ketiganya benar. Jadi kalau jawabanmu beda dengan kunci, jangan langsung menganggap salah. Turunkan jawabanmu. Kalau turunannya kembali ke integran, jawabanmu benar.

#Kesalahan yang sering terjadi

1. Lupa tanda minus dari $du$. Dengan $u=\cos x$, $du=-\sin xdx$. Tanda minus yang hilang membuat semua suku terbalik tanda.
2. Rumus setengah sudut tanpa "2x". Yang benar ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, bukan $\frac{1-\cos x}{2}$. Kesalahan ini lolos dari pandangan karena bentuknya mirip.
3. Lupa membagi dengan koefisien sudut. $\int \cos 4xdx=\frac{\sin 4x}{4}$. Banyak yang menulis $\sin 4x$ saja, sehingga suku terakhir di Contoh 2 menjadi $\frac{\sin 4x}{8}$, bukan $\frac{\sin 4x}{32}$.
4. Sisa faktor tidak diubah semua. Setelah menyisihkan $\sin x$, semua $\sin$ yang tersisa harus menjadi $\cos$. Satu $\sin$ yang tertinggal membuat integral berisi dua variabel.
5. Memaksa setengah sudut pada pangkat ganjil. Tidak salah, tapi jauh lebih panjang. $\int {\sin }^{3}xdx$ selesai dalam dua baris dengan substitusi.
6. Menurunkan pangkat hanya sekali. Di ${\sin }^{4}x$, setelah satu kali setengah sudut masih ada ${\cos }^{2}2x$. Itu juga harus diturunkan sebelum diintegralkan.

Kalau rumus turunan dasar fungsi trigonometri masih sering tertukar, ulang dulu di rumus turunan lengkap kalkulus, karena seluruh metode ini bergantung pada pasangan turunan yang benar. Bentuk $\int {\sin }^2\theta d\theta$ juga paling sering muncul di tengah soal lain, misalnya setelah $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$ diubah dengan $x=\sin \theta$ seperti di substitusi trigonometri.

#FAQ

#Bagaimana kalau pangkatnya negatif, seperti sin³x/cos²x?

Aturan pangkat ganjil tetap berlaku. Sisihkan $\sin x$, ubah ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, substitusi $u=\cos x$: $-\int \frac{1-u^2}{u^2}du=\frac{1}{u}+u+C=\sec x+\cos x+C$.

#Bolehkah sin²x diintegralkan dengan integral parsial?

Boleh. Parsial memberi $\int {\sin }^{2}xdx=-\sin x\cos x+x-\int {\sin }^{2}xdx$, lalu integralnya dipindah ruas sehingga hasilnya $\frac{x}{2}-\frac{\sin x\cos x}{2}+C$. Bentuk ini sama dengan $\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$.

#Bagaimana kalau sudutnya berbeda, misalnya sin 3x cos 5x?

Itu bukan kasus pangkat, melainkan perkalian. Pakai rumus perkalian ke jumlah $\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A-B)+\sin (A+B\left)\right]$. Hasilnya $\int \sin 3x\cos 5xdx=\frac{\cos 2x}{4}-\frac{\cos 8x}{16}+C$.

#Apakah aturan ini berlaku untuk cot dan csc?

Berlaku dengan pasangan yang sesuai: $\frac{d}{dx}\cot x=-{\csc }^{2}x$, $\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$, dan ${\cot }^{2}x={\csc }^{2}x-1$. Perhatikan tanda minusnya.

#Dua pangkat ganjil, mana yang sebaiknya disisihkan?

Keduanya benar. Biasanya lebih ringan menyisihkan dari pangkat yang lebih kecil, karena polinomial dalam $u$ yang dihasilkan lebih pendek. Jawaban akhirnya akan berbeda bentuk, tapi selisihnya hanya konstanta.

#Apakah jawaban perlu disederhanakan ke bentuk sudut ganda?

Tidak wajib. Selama turunannya kembali ke integran, jawaban dalam bentuk pangkat maupun sudut ganda sama-sama diterima. Ikuti bentuk yang diminta dosen kalau soalnya menyebut bentuk tertentu.