Hukum Gauss untuk Bola Konduktor dan Isolator, Plus Grafik E(r)

Untuk bola konduktor bermuatan $Q$ dan berjari-jari $R$ , hukum Gauss memberi medan nol di dalam bola dan $E = k Q / r^{2}$ di luar. Untuk bola isolator yang muatannya tersebar merata, medan di dalam naik linear, $E = k Q r / R^{3}$ , lalu turun sebagai $k Q / r^{2}$ di luar. Kuncinya ada di satu besaran, yaitu muatan yang dilingkupi permukaan Gauss, bukan muatan total benda. Di bawah ada tiga kasus yang paling sering keluar di UAS Fisika Dasar 2, grafik E terhadap r, dan satu soal gabungan isolator dengan kulit konduktor.

#Langkah umum hukum Gauss untuk benda berbentuk bola

Hukum Gauss menyatakan bahwa fluks listrik yang menembus permukaan tertutup sebanding dengan muatan di dalamnya:

\oint E ⃗ \cdot d A ⃗ = \frac{Q_{e n c}}{ε_{0}}

Untuk benda dengan simetri bola, pilih permukaan Gauss berupa bola konsentris berjari-jari $r$ . Di seluruh permukaan itu besar $E$ sama dan arahnya tegak lurus permukaan, sehingga integralnya menjadi $E \cdot 4 π r^{2}$ . Hasilnya:

E = \frac{Q_{e n c}}{4 π ε_{0} r^{2}} = \frac{k Q_{e n c}}{r^{2}}

Jadi setiap soal bola tinggal menjawab satu pertanyaan: berapa muatan di dalam bola khayal berjari-jari $r$ ? Semua contoh di artikel ini memakai $k = 9 \times 10^{9}$ N·m²/C².

#Kasus 1: bola konduktor bermuatan

Pada konduktor dalam keadaan setimbang, muatan bebas saling tolak sampai semuanya berkumpul di permukaan luar. Akibatnya, untuk permukaan Gauss dengan $r < R$ , muatan yang dilingkupi nol dan medannya nol.

Contoh: bola konduktor berjari-jari 10 cm diberi muatan 8 nC.

Di $r = 5$ cm (di dalam): $Q_{e n c} = 0$ , jadi $E = 0$ .
Di permukaan, $r = 10$ cm: $E = \frac{(9 \times 10^{9}) (8 \times 10^{- 9})}{{0,1}^{2}} = \frac{72}{0,01} = 7.200$ N/C.
Di $r = 20$ cm: $E = \frac{72}{0,04} = 1.800$ N/C.

Cek silang dengan rumus medan tepat di luar permukaan konduktor, $E = σ / ε_{0}$ . Rapat muatannya $σ = Q / (4 π R^{2}) = 6,37 \times 10^{- 8}$ C/m², sehingga $σ / ε_{0} \approx 7.190$ N/C. Sama dengan 7.200 N/C dalam batas pembulatan nilai $k$ .

#Kasus 2: bola isolator dengan muatan tersebar merata

Isolator tidak membiarkan muatannya berpindah, jadi muatan tetap tersebar di seluruh volume. Rapat muatannya $ρ = \frac{Q}{\frac{4}{3} π R^{3}}$ . Untuk permukaan Gauss di dalam bola ( $r < R$ ), muatan yang dilingkupi sebanding dengan volume:

Q_{e n c} = Q \frac{r^{3}}{R^{3}} \Rightarrow E = \frac{k Q_{e n c}}{r^{2}} = \frac{k Q r}{R^{3}}

Contoh: bola isolator berjari-jari 10 cm dengan muatan 8 nC tersebar merata.

Di $r = 5$ cm: $Q_{e n c} = 8 \times (0,5)^{3} = 1$ nC. Maka $E = \frac{(9 \times 10^{9}) (1 \times 10^{- 9})}{{0,05}^{2}} = \frac{9}{0,0025} = 3.600$ N/C. Rumus langsung $k Q r / R^{3} = \frac{72 \times 0,05}{0,001}$ memberi angka yang sama.
Di $r = 10$ cm: $E = 7.200$ N/C, persis sama dengan bola konduktor.
Di $r = 20$ cm: $E = 1.800$ N/C. Dari luar, isolator dan konduktor tidak bisa dibedakan.

Perhatikan bahwa di $r = 5$ cm, yang setengah jari-jari, muatan yang dilingkupi hanya seperdelapan muatan total. Medannya setengah dari medan di permukaan.

#Kasus 3: kulit bola tipis

Kulit bola tipis bermuatan $Q$ (konduktor atau isolator, selama muatannya menempel merata di kulit) berperilaku seperti bola konduktor:

Di dalam kulit ( $r < R$ ): permukaan Gauss tidak melingkupi muatan, jadi $E = 0$ di seluruh rongga, termasuk di titik yang tidak berada di pusat.
Di luar kulit ( $r > R$ ): $E = k Q / r^{2}$ , seolah seluruh muatan terkumpul di pusat.

Medan nol di dalam rongga berlaku selama tidak ada muatan lain di dalam rongga itu. Kalau ada, seperti di soal gabungan di bawah, hasilnya berubah total.

#Seperti apa grafik E terhadap r?

Grafik kuat medan terhadap jarak untuk bola berjari-jari 10 cm bermuatan 8 nC: isolator naik linear sampai 7.200 N/C di permukaan, konduktor nol di dalam lalu melompat ke 7.200 N/C, keduanya turun sebagai kQ per r kuadrat di luar

Daerah	Bola konduktor dan kulit bola	Bola isolator muatan merata
$r < R$	$0$	$k Q r / R^{3}$ , naik linear
$r = R$	$k Q / R^{2}$ (melompat dari nol)	$k Q / R^{2}$ (kontinu)
$r > R$	$k Q / r^{2}$	$k Q / r^{2}$

Saat menggambar sketsa di lembar jawaban, tiga ciri yang dinilai adalah garis lurus dari titik asal untuk isolator, lompatan di $r = R$ untuk konduktor, dan kurva $1 / r^{2}$ yang sama untuk keduanya di luar.

#Contoh soal UAS: bola isolator di dalam kulit konduktor

Bola isolator berjari-jari $a = 5$ cm bermuatan $+ 4$ nC merata. Bola itu dikelilingi kulit konduktor konsentris dengan jari-jari dalam $b = 10$ cm dan jari-jari luar $c = 12$ cm. Muatan total kulit konduktor $- 6$ nC. Tentukan distribusi muatan pada kulit dan medan di $r = 3$ , 8, 11, dan 15 cm.

#Langkah 1: distribusi muatan di kulit konduktor

Medan di dalam bahan konduktor harus nol. Permukaan Gauss di $r = 11$ cm (di dalam bahan kulit) karena itu harus melingkupi muatan total nol. Muatan isolator $+ 4$ nC, jadi permukaan dalam kulit wajib membawa $- 4$ nC. Sisanya, $- 6 - (- 4) = - 2$ nC, ada di permukaan luar.

#Langkah 2: medan di setiap titik

$r = 3$ cm (di dalam isolator): $Q_{e n c} = 4 \times (3 / 5)^{3} = 0,864$ nC. $E = \frac{(9 \times 10^{9}) (0,864 \times 10^{- 9})}{{0,03}^{2}} = 8.640$ N/C, arah keluar.
$r = 8$ cm (di rongga): $Q_{e n c} = + 4$ nC. $E = \frac{36}{0,0064} = 5.625$ N/C, arah keluar.
$r = 11$ cm (di dalam bahan konduktor): $Q_{e n c} = 4 - 4 = 0$ , jadi $E = 0$ .
$r = 15$ cm (di luar): $Q_{e n c} = 4 - 6 = - 2$ nC. $E = \frac{18}{0,0225} = 800$ N/C, arah menuju pusat karena muatan yang dilingkupi negatif.

Grafik medan radial untuk bola isolator plus 4 nC di dalam kulit konduktor minus 6 nC: naik sampai r 5 cm, turun di rongga, nol di dalam kulit 10 sampai 12 cm, lalu negatif minus 800 N/C di r 15 cm

#Kesalahan yang paling sering memotong nilai

Memakai muatan total untuk titik di dalam isolator. Kalau $E = k Q / r^{2}$ dipakai di $r = 5$ cm pada Kasus 2, hasilnya 28.800 N/C, delapan kali lipat dari jawaban benar 3.600 N/C.
Menganggap isolator sama dengan konduktor. Muatan isolator hanya berada di permukaan kalau soal secara eksplisit menyebutnya begitu. Kalau soal menyebut "tersebar merata", pakai rumus volume.
Lupa bahwa kulit konduktor membagi muatannya ke dua permukaan. Muatan permukaan dalam ditentukan oleh muatan di rongga, bukan dibagi rata.
Mencampur satuan. Jari-jari dalam cm harus diubah ke m sebelum dikuadratkan. Lupa mengubah 5 cm menjadi 0,05 m membuat jawaban meleset sepuluh ribu kali.
Tidak menyebut arah. Medan bernilai negatif dari $Q_{e n c}$ negatif berarti medan menuju pusat. Tulis arahnya, jangan hanya besarnya.

Kalau kamu sedang menyiapkan UAS Fisika Dasar 2, materi kapasitor biasanya datang tepat setelah hukum Gauss. Lanjutkan ke rangkaian RC dan konstanta waktu, dan atur jadwal latihan soalnya dengan strategi belajar UAS dan UTS.

#FAQ

#Kenapa permukaan Gauss harus berbentuk bola?

Supaya besar $E$ sama di seluruh permukaan dan arahnya tegak lurus permukaan. Hanya dengan itu $\oint E ⃗ \cdot d A ⃗$ bisa disederhanakan menjadi $E \cdot 4 π r^{2}$ . Hukum Gauss tetap benar untuk permukaan lain, tapi tidak bisa dipakai untuk menghitung $E$ dengan mudah.

#Apakah hukum Gauss bisa dipakai untuk kubus bermuatan?

Untuk menghitung fluks, bisa. Untuk menghitung medan di suatu titik, tidak praktis, karena kubus tidak punya simetri yang membuat $E$ konstan di permukaan Gauss mana pun.

#Kenapa medan di dalam konduktor nol?

Kalau ada medan di dalam bahan konduktor, elektron bebas akan bergerak terus. Keadaan setimbang elektrostatik berarti muatan sudah berhenti bergerak, dan itu hanya mungkin kalau medan di dalam bahan nol.

#Bagaimana kalau bola isolator rapat muatannya tidak merata, misalnya ρ = Ar?

Muatan yang dilingkupi harus dihitung dengan integral, $Q_{e n c} = \int_{0}^{r} ρ 4 π r^{' 2} d r^{'}$ . Untuk $ρ = A r$ hasilnya $π A r^{4}$ , sehingga $E = \frac{A r^{2}}{4 ε_{0}}$ di dalam bola.

#Apakah potensial di dalam bola konduktor juga nol?

Tidak. Medannya nol, tapi potensialnya konstan dan sama dengan potensial di permukaan, $V = k Q / R$ . Untuk bola konduktor 8 nC berjari-jari 10 cm, potensial di mana pun di dalamnya 720 V.