Substitusi Trigonometri: Tiga Bentuk Akar dan Cara Kembali ke x

Integral substitusi trigonometri dipakai untuk integran yang memuat $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, atau $\sqrt{x^2-a^2}$. Kamu mengganti $x$ dengan $a\sin \theta$, $a\tan \theta$, atau $a\sec \theta$ supaya akarnya hilang lewat identitas Pythagoras. Bagian yang paling sering salah bukan substitusinya, melainkan langkah terakhir: kembali dari $\theta$ ke $x$ dengan segitiga siku-siku.

#Substitusi mana untuk bentuk akar yang mana?

Satu tabel ini cukup dihafal. Kolom terakhir menjelaskan kenapa akarnya bisa hilang.

Rentang sudutnya dibatasi supaya akar tidak perlu nilai mutlak: $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ untuk sinus, untuk tangen, dan untuk secan dengan $x\ge a$. Di rentang itu $\cos \theta$ dan $\sec \theta$ positif, dan untuk kasus secan $\tan \theta$ juga positif.

#Bagaimana kembali dari θ ke x?

Setelah integral dalam $\theta$ selesai, jawabannya biasanya memuat $\sin \theta$, $\cot \theta$, atau $\sec \theta$. Gambar segitiga dari persamaan substitusinya, lalu baca rasio yang kamu butuhkan.

Cara membuatnya dari nol:

1. Tulis substitusi sebagai rasio. $x=3\sin \theta$ berarti $\sin \theta =\frac{x}{3}=\frac{\text{depan}}{\text{miring}}$.
2. Isi dua sisi dari rasio itu: depan $x$, miring $3$.
3. Hitung sisi ketiga dengan Pythagoras: $\sqrt{9-x^2}$. Sisi ini selalu sama dengan bentuk akar di soal, jadi kalau hasilnya berbeda, ada yang salah.
4. Baca rasio apa pun dari segitiga itu.

Kalau jawabannya memuat $\theta$ sendiri (tanpa fungsi trigonometri), pakai fungsi invers: $\theta =\arcsin \frac{x}{3}$, $\theta =\arctan \frac{x}{2}$, dan seterusnya.

#Contoh soal substitusi trigonometri sampai kembali ke x

#Bentuk √(a² − x²): ∫dx/(x²√(9 − x²))

Misalkan $x=3\sin \theta$. Maka $dx=3\cos \theta d\theta$ dan $\sqrt{9-x^2}=3\cos \theta$.

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}=\int \frac{3\cos \theta d\theta }{9{\sin }^2\theta \cdot 3\cos \theta }=\frac{1}{9}\int {\csc }^2\theta d\theta =-\frac{1}{9}\cot \theta +C.$

Kembali ke $x$. Dari segitiga $\sin \theta =\frac{x}{3}$: depan $x$, miring $3$, samping $\sqrt{9-x^2}$. Jadi $\cot \theta =\frac{\text{samping}}{\text{depan}}=\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}$, dan

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}=-\frac{\sqrt{9-x^2}}{9x}+C.$

Cek dengan menurunkan. Pakai aturan hasil bagi pada $\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}$: pembilang turunannya $\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}$, sehingga

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}\right)=\frac{\frac{-x^2}{\sqrt{9-x^2}}-\sqrt{9-x^2}}{x^2}=\frac{-x^2-(9-x^2)}{x^2\sqrt{9-x^2}}=\frac{-9}{x^2\sqrt{9-x^2}}.$

Dikali $-\frac{1}{9}$, hasilnya $\frac{1}{x^2\sqrt{9-x^2}}$. Cocok.

#Jawaban yang masih memuat θ: ∫√(9 − x²) dx

Dengan substitusi yang sama, $x=3\sin \theta$:

$\int \sqrt{9-x^2}dx=\int 3\cos \theta \cdot 3\cos \theta d\theta =9\int {\cos }^2\theta d\theta =\frac{9}{2}\theta +\frac{9}{4}\sin 2\theta +C.$

Di sini ada dua hal yang harus dikembalikan. Suku $\sin 2\theta$ tidak bisa dibaca langsung dari segitiga, jadi pecah dulu dengan $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$. Suku $\theta$ sendiri diganti dengan $\arcsin \frac{x}{3}$.

Dari segitiga, $\sin \theta =\frac{x}{3}$ dan $\cos \theta =\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$, sehingga $\frac{9}{4}\cdot 2\cdot \frac{x}{3}\cdot \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}=\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}$. Hasil akhirnya:

$\int \sqrt{9-x^2}dx=\frac{9}{2}\arcsin \frac{x}{3}+\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+C.$

Cek: turunan suku pertama $\frac{9}{2\sqrt{9-x^2}}$, turunan suku kedua $\frac{9-2x^2}{2\sqrt{9-x^2}}$. Jumlahnya $\frac{18-2x^2}{2\sqrt{9-x^2}}=\sqrt{9-x^2}$. Cocok. Masukkan $x=3$ dan $x=0$, dan kamu mendapat $\frac{9}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{4}$, yaitu luas seperempat lingkaran berjari-jari 3. Angka ini dipakai lagi sebagai pengecekan di bagian integral tentu di bawah.

#Bentuk √(a² + x²): ∫√(4 + x²) dx

Misalkan $x=2\tan \theta$. Maka $dx=2{\sec }^2\theta d\theta$ dan $\sqrt{4+x^2}=2\sec \theta$.

$\int \sqrt{4+x^2}dx=\int 2\sec \theta \cdot 2{\sec }^2\theta d\theta =4\int {\sec }^3\theta d\theta .$

Integral ${\sec }^3\theta$ diselesaikan dengan integral parsial siklik (langkahnya ada di artikel integral parsial):

$\int {\sec }^3\theta d\theta =\frac{1}{2}(\sec \theta \tan \theta +\ln \mid \sec \theta +\tan \theta \mid )+C.$

Jadi hasilnya $2\sec \theta \tan \theta +2\ln \mid \sec \theta +\tan \theta \mid +C$.

Kembali ke $x$. Dari $\tan \theta =\frac{x}{2}$: depan $x$, samping $2$, miring $\sqrt{4+x^2}$. Maka $\sec \theta =\frac{\sqrt{4+x^2}}{2}$.

$2\cdot \frac{\sqrt{4+x^2}}{2}\cdot \frac{x}{2}+2\ln \mid \frac{\sqrt{4+x^2}+x}{2}\mid +C.$

Bentuk $2\ln \frac{1}{2}$ adalah konstanta, jadi boleh diserap ke $C$. Karena $\sqrt{4+x^2}+x$ selalu positif, nilai mutlaknya juga boleh dibuang:

$\int \sqrt{4+x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{4+x^2}+2\ln (x+\sqrt{4+x^2})+C.$

Cek: turunan suku pertama $\frac{2+x^2}{\sqrt{4+x^2}}$, turunan suku kedua $\frac{2}{\sqrt{4+x^2}}$. Jumlahnya $\frac{4+x^2}{\sqrt{4+x^2}}=\sqrt{4+x^2}$. Cocok.

#Bagaimana mengerjakan integral tentu dengan substitusi trigonometri?

Pada integral tentu, kamu punya pilihan: kembali ke $x$ lalu masukkan batas lama, atau ubah batasnya ke $\theta$ dan selesai di $\theta$. Cara kedua biasanya lebih cepat karena segitiga tidak perlu digambar.

Soal: bentuk secan. Hitung ${\int }_2^4\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx$.

Misalkan $x=2\sec \theta$, $dx=2\sec \theta \tan \theta d\theta$, $\sqrt{x^2-4}=2\tan \theta$.

Ubah batas: $x=2$ memberi $\sec \theta =1$, jadi $\theta =0$. $x=4$ memberi $\sec \theta =2$, jadi $\theta =\frac{\pi }{3}$.

${\int }_0^{\pi /3}\frac{2\tan \theta }{2\sec \theta }\cdot 2\sec \theta \tan \theta d\theta ={\int }_0^{\pi /3}2{\tan }^2\theta d\theta ={\int }_0^{\pi /3}2({\sec }^2\theta -1)d\theta .$ $=[2\tan \theta -2\theta {]}_0^{\pi /3}=2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}\approx \mathrm{3,464}-\mathrm{2,094}=\mathrm{1,370.}$

Soal: cek dengan geometri. ${\int }_0^3\sqrt{9-x^2}dx$ adalah luas seperempat lingkaran berjari-jari 3, jadi jawabannya harus $\frac{9\pi }{4}$. Dengan $x=3\sin \theta$, batasnya menjadi $0$ dan $\frac{\pi }{2}$:

${\int }_0^{\pi /2}9{\cos }^2\theta d\theta =9{[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}]}_0^{\pi /2}=9\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}\approx \mathrm{7,069.}$

Integral ${\cos }^2\theta$ di langkah itu memakai identitas sudut ganda, yang dibahas di artikel integral pangkat sin dan cos.

#Bagaimana kalau di dalam akar ada suku x?

Lengkapkan kuadrat dulu, baru substitusi. Contoh: $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}$.

Karena $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$, bentuknya $\sqrt{u^2+4}$ dengan $u=x+1$. Misalkan $x+1=2\tan \theta$:

$\int \frac{2{\sec }^2\theta d\theta }{2\sec \theta }=\int \sec \theta d\theta =\ln \mid \sec \theta +\tan \theta \mid +C.$

Dari segitiga: $\tan \theta =\frac{x+1}{2}$, $\sec \theta =\frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2}$. Setelah konstanta $\ln \frac{1}{2}$ diserap ke $C$:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}=\ln (x+1+\sqrt{x^2+2x+5})+C.$

Teknik melengkapkan kuadrat yang sama muncul lagi di integral pecahan parsial untuk penyebut kuadrat yang tidak bisa difaktorkan.

#Kapan substitusi biasa lebih cepat?

Sebelum menulis $x=a\sin \theta$, cek apakah ada $x$ di luar akar yang merupakan turunan isi akar (sampai konstanta). Kalau ada, substitusi $w$ biasa selesai dalam dua baris.

Dua rumus langsung di tabel itu sebenarnya hasil substitusi trigonometri yang sudah dihafal. Kalau dosen memperbolehkan tabel integral, kamu tidak perlu menurunkannya ulang.

#Kesalahan yang sering terjadi

1. Lupa mengganti $dx$. Menulis $x=3\sin \theta$ lalu langsung mengganti $dx$ dengan $d\theta$ menghilangkan faktor $3\cos \theta$, dan seluruh jawaban meleset.
2. Salah menempatkan sisi segitiga. Untuk $x=a\sec \theta$, $x$ adalah sisi miring, bukan sisi depan. Kalau sisi ketiga yang kamu hitung tidak sama dengan akar di soal, gambarnya salah.
3. Mengubah batas ke $\theta$, lalu tetap kembali ke $x$ dan memasukkan batas $\theta$ ke rumus dalam $x$. Pilih satu jalur saja.
4. Menyisakan $\theta$ di jawaban akhir integral tak tentu. Jawaban harus dalam $x$, termasuk suku seperti $\theta$ yang menjadi $\arcsin \frac{x}{a}$.
5. Mengabaikan domain pada bentuk secan. Rumus $\sqrt{x^2-a^2}=a\tan \theta$ berlaku untuk $x\ge a$. Untuk $x\le -a$, tanda $\tan \theta$ berubah. Soal kuliah hampir selalu memakai $x\ge a$, tapi sebutkan asumsinya.

#FAQ

#Apakah boleh memakai x = a cos θ untuk bentuk √(a² − x²)?

Boleh. Hasil akhirnya sama, tetapi $dx=-a\sin \theta d\theta$ membawa tanda minus tambahan dan rentang sudutnya berbeda ($0\le \theta \le \pi$). Konvensi buku teks memakai sinus supaya tanda lebih mudah dijaga.

#Kenapa nilai mutlak di ln kadang boleh dibuang?

Kalau isi logaritma pasti positif untuk semua $x$ di domain, nilai mutlaknya tidak mengubah apa pun. $x+\sqrt{4+x^2}$ selalu positif karena $\sqrt{4+x^2}>\mid x\mid$.

#Bagaimana kalau bentuknya √(9 − 4x²)?

Faktorkan koefisien $x^2$ dulu: $\sqrt{9-4x^2}=\sqrt{9-(2x{)}^2}$. Substitusinya $2x=3\sin \theta$, yaitu $x=\frac{3}{2}\sin \theta$ dan $dx=\frac{3}{2}\cos \theta d\theta$.

#Apakah substitusi trigonometri hanya untuk bentuk akar?

Tidak. Bentuk seperti $\frac{1}{(x^2+1{)}^2}$ juga cocok dengan $x=\tan \theta$, karena penyebutnya menjadi ${\sec }^4\theta$. Hasilnya $\frac{1}{2}(\arctan x+\frac{x}{1+x^2})+C$.

#Integral dalam θ-nya tetap sulit. Apa yang salah?

Biasanya pemilihan substitusinya. Bentuk $\sqrt{x^2-a^2}$ yang disubstitusi dengan $a\sin \theta$ menghasilkan akar dari bilangan negatif dan tidak menyederhana. Cocokkan lagi dengan tabel di awal.