Integral Parsial: Memilih u dengan LIATE dan Metode Tabel

Integral parsial dipakai saat integran berupa hasil kali dua fungsi yang tidak saling berkaitan lewat turunan, dengan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ . Kuncinya ada di memilih $u$ : urutan LIATE (Logaritma, Invers trigonometri, Aljabar, Trigonometri, Eksponen) memberi tahu fungsi mana yang sebaiknya diturunkan. Contoh soal integral parsial di bawah ini mengambil kasus yang khas Kalkulus 2, yaitu $\int \ln x d x$ , $\int \arctan x d x$ , metode tabel, dan integral siklik, dan setiap jawaban dicek dengan menurunkannya kembali.

#Dari mana rumus integral parsial berasal?

Rumusnya turun langsung dari aturan perkalian turunan. Karena $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , integralkan kedua ruas:

u v = \int v d u + \int u d v ⟹ \int u d v = u v - \int v d u .

Artinya, kamu menukar satu integral dengan integral lain. Pertukaran itu hanya berguna kalau $\int v d u$ lebih mudah daripada soal aslinya. Untuk integral tentu, bentuknya:

\int_{a}^{b} u d v = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u .

#Bagaimana memilih u dengan LIATE?

Pilih $u$ dari fungsi yang letaknya paling kiri dalam urutan berikut. Sisanya, termasuk $d x$ , menjadi $d v$ .

Urutan	Jenis fungsi	Contoh	Alasan jadi $u$
1	Logaritma	$\ln x$ , $\log_{2} x$	turunannya aljabar, integralnya sulit
2	Invers trigonometri	$\arctan x$ , $\arcsin x$	sama: turunannya aljabar
3	Aljabar	$x^{2}$ , $3 x + 1$	derajatnya turun setiap diturunkan
4	Trigonometri	$\sin x$ , $\cos 2 x$	berputar, tidak menyederhana
5	Eksponen	$e^{x}$ , $e^{3 x}$	integralnya tetap sederhana, cocok jadi $d v$

Logikanya: fungsi di kiri tabel menjadi lebih sederhana bila diturunkan, fungsi di kanan tetap mudah bila diintegralkan. Kalau dibalik, soal justru membesar. Contohnya $\int x e^{x} d x$ dengan $u = e^{x}$ dan $d v = x d x$ menghasilkan $\frac{1}{2} x^{2} e^{x} - \int \frac{1}{2} x^{2} e^{x} d x$ , dan pangkat $x$ naik dari 1 ke 2.

#Contoh soal integral parsial: ∫ln x dx dan ∫arctan x dx

Dua integral ini terlihat bukan hasil kali, dan karena itu sering membuat bingung. Triknya: anggap pasangannya adalah $1$ , sehingga $d v = d x$ dan $v = x$ .

Soal 1. $\int \ln x d x$ .

Ambil $u = \ln x$ , $d v = d x$ . Maka $d u = \frac{1}{x} d x$ dan $v = x$ .

\int \ln x d x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x \ln x - x + C .

Cek dengan menurunkan: $(x \ln x - x)^{'} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x$ . Cocok.

Versi tentunya muncul di banyak kuis: $\int_{1}^{e} \ln x d x = [x \ln x - x]_{1}^{e} = (e - e) - (0 - 1) = 1$ .

Soal 2. $\int \arctan x d x$ .

Ambil $u = \arctan x$ , $d v = d x$ . Maka $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ dan $v = x$ .

\int \arctan x d x = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x .

Integral sisanya diselesaikan dengan substitusi $w = 1 + x^{2}$ , $d w = 2 x d x$ :

\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) .

Jadi $\int \arctan x d x = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C$ .

Cek: turunan $x \arctan x$ adalah $\arctan x + \frac{x}{1 + x^{2}}$ , dan turunan $\frac{1}{2} \ln (1 + x^{2})$ adalah $\frac{x}{1 + x^{2}}$ . Selisihnya $\arctan x$ . Cocok. Perhatikan bahwa di soal ini integral parsial dan substitusi dipakai berurutan, pola yang sangat sering di UAS.

#Kapan memakai metode tabel?

Kalau $u$ adalah polinom berderajat 2 atau lebih, integral parsial biasa harus diulang beberapa kali. Metode tabel merangkum semua pengulangan itu dalam satu tabel: kolom kiri diturunkan sampai nol, kolom kanan diintegralkan sebanyak baris yang sama, lalu dikalikan menyilang dengan tanda bergantian $+, -, +, -, \dots$

Soal 3. $\int x^{2} e^{x} d x$ .

Tanda	Turunkan ( $u$ )	Integralkan ( $d v$ )
$+$	$x^{2}$	$e^{x}$
$-$	$2 x$	$e^{x}$
$+$	$2$	$e^{x}$
	$0$	$e^{x}$

Kalikan setiap entri kolom kiri dengan entri kolom kanan satu baris di bawahnya, beri tanda sesuai barisnya:

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C .

Cek: turunan $e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)$ adalah $e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + e^{x} (2 x - 2) = x^{2} e^{x}$ . Cocok.

Contoh integral tentu dengan pola yang sama, lebih pendek: $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x} - e^{x}]_{0}^{1} = (e - e) - (0 - 1) = 1$ .

Metode tabel paling efektif kalau satu fungsi habis menjadi nol setelah beberapa kali diturunkan (polinom) dan fungsi lainnya mudah diintegralkan berulang kali ( $e^{k x}$ , $\sin k x$ , $\cos k x$ ). Untuk $\int x^{3} \sin x d x$ , misalnya, tabelnya cukup lima baris.

#Bagaimana menyelesaikan integral siklik seperti ∫e^x sin x dx?

Pada $\int e^{x} \sin x d x$ , tidak ada fungsi yang habis saat diturunkan. Setelah dua kali integral parsial, integral aslinya muncul lagi. Kita manfaatkan itu secara aljabar.

Soal 4. Misalkan $I = \int e^{x} \sin x d x$ .

Langkah 1: $u = \sin x$ , $d v = e^{x} d x$ . Maka $d u = \cos x d x$ , $v = e^{x}$ :

I = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x d x .

Langkah 2: integral kedua, pilihan yang sama ( $u$ = fungsi trigonometri): $u = \cos x$ , $d v = e^{x} d x$ , sehingga $d u = - \sin x d x$ :

\int e^{x} \cos x d x = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x d x = e^{x} \cos x + I .

Langkah 3: substitusikan kembali:

I = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - I ⟹ 2 I = e^{x} (\sin x - \cos x) .

Jadi $I = \frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x) + C$ .

Cek: turunan $\frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x)$ adalah $\frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x) + \frac{1}{2} e^{x} (\cos x + \sin x) = e^{x} \sin x$ . Cocok.

Integral $\int \sec^{3} x d x$ juga siklik dengan cara yang sama ( $u = \sec x$ , $d v = \sec^{2} x d x$ ), hasilnya $\frac{1}{2} (\sec x \tan x + \ln ∣ \sec x + \tan x ∣) + C$ . Integral ini sering muncul lagi setelah substitusi trigonometri.

#Kapan LIATE gagal dan substitusi harus dicek lebih dulu?

LIATE adalah panduan, bukan teorema. Sebelum memilih $u$ , tanyakan satu hal: apakah ada fungsi yang turunannya (sampai konstanta) juga ada di integran? Kalau ada, substitusi hampir selalu lebih cepat.

Integral	Yang dikatakan LIATE	Yang sebenarnya lebih cepat	Hasil
$\int x e^{x^{2}} d x$	$u = x$ (gagal, $\int e^{x^{2}} d x$ tidak elementer)	substitusi $w = x^{2}$	$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$
$\int \frac{\ln x}{x} d x$	$u = \ln x$ (bisa, tapi siklik)	substitusi $w = \ln x$	$\frac{1}{2} (\ln x)^{2} + C$
$\int x^{3} e^{x^{2}} d x$	$u = x^{3}$ (gagal)	$u = x^{2}$ , $d v = x e^{x^{2}} d x$	$\frac{1}{2} e^{x^{2}} (x^{2} - 1) + C$
$\int e^{\sqrt{x}} d x$	tidak ada hasil kali	substitusi $w = \sqrt{x}$ , lalu parsial	$2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + C$

Dua baris terakhir layak dikerjakan lengkap.

Soal 5. $\int x^{3} e^{x^{2}} d x$ . Pecah $x^{3} = x^{2} \cdot x$ . Ambil $u = x^{2}$ dan $d v = x e^{x^{2}} d x$ , sehingga $d u = 2 x d x$ dan $v = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$ (dari substitusi):

\int x^{3} e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C .

Cek: turunan $\frac{1}{2} e^{x^{2}} (x^{2} - 1)$ adalah $x e^{x^{2}} (x^{2} - 1) + x e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$ . Cocok.

Soal 6. $\int e^{\sqrt{x}} d x$ . Misalkan $w = \sqrt{x}$ , jadi $x = w^{2}$ dan $d x = 2 w d w$ :

\int e^{\sqrt{x}} d x = \int 2 w e^{w} d w = 2 (w e^{w} - e^{w}) + C = 2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + C .

Cek: turunannya $2 e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + 2 e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1 + 1)}{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}}$ . Cocok.

#Kesalahan yang sering terjadi saat integral parsial

Membalik pilihan $u$ dan $d v$ pada $\int x e^{x} d x$ atau $\int x \cos x d x$ . Tandanya: integral baru punya pangkat $x$ lebih tinggi daripada soal aslinya. Berhenti dan tukar.
Lupa tanda bergantian di metode tabel. Suku kedua selalu negatif. Pada Soal 3, menulis $+ 2 x e^{x}$ membuat turunannya tidak kembali ke $x^{2} e^{x}$ .
Lupa batas pada bagian $u v$ untuk integral tentu. Yang dievaluasi di $a$ dan $b$ bukan hanya integral sisanya, tetapi juga $u v$ .
Salah mencari $v$ untuk $e^{k x}$ atau $\sin k x$ . Integral $e^{3 x}$ adalah $\frac{1}{3} e^{3 x}$ , bukan $3 e^{3 x}$ . Kesalahan ini membuat semua baris tabel ikut salah.
Mengganti pilihan di tengah integral siklik, seperti dijelaskan di kotak peringatan di atas.
Tidak mengecek jawaban. Menurunkan hasil akhir hanya butuh satu atau dua baris, dan semua contoh di artikel ini lolos cek itu. Kalau aturan turunannya belum lancar, lihat rumus turunan lengkap.

Integral parsial juga sering menjadi langkah di tengah soal lain. Integral tak wajar $\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$ , misalnya, diselesaikan dengan parsial lalu limit, dan hasilnya 1. Pembahasan limit di batas tak hingga ada di artikel integral tak wajar. Untuk pecahan rasional seperti $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1}$ , teknik yang tepat bukan parsial, melainkan pecahan parsial.

#FAQ

#Apakah LIATE selalu memberi pilihan yang benar?

Tidak. LIATE benar untuk sebagian besar soal latihan standar, tetapi gagal pada kasus seperti $\int x^{3} e^{x^{2}} d x$ , ketika $d v$ yang disarankan tidak punya antiturunan elementer. Kalau $v$ tidak bisa dicari, ubah pembagian $u$ dan $d v$ .

#Kenapa konstanta C tidak ditambahkan saat mencari v?

Boleh ditambahkan, tetapi konstanta itu selalu saling menghapus di akhir. Dengan $v + K$ , rumusnya memberi $u (v + K) - \int (v + K) d u = u v - \int v d u + K u - K u$ . Jadi cukup tambahkan $C$ sekali di jawaban akhir.

#Kapan metode tabel tidak bisa dipakai?

Ketika tidak ada fungsi yang habis menjadi nol saat diturunkan, seperti $\int e^{x} \sin x d x$ . Kamu masih bisa menyusun tabel, tetapi harus berhenti di baris ketika hasil kali di baris itu sama dengan integran awal, lalu menyelesaikannya secara aljabar seperti Soal 4.

#Bagaimana tahu sebuah soal butuh parsial atau substitusi?

Cari pasangan fungsi dan turunannya. Pada $\int x \cos (x^{2}) d x$ , ada $x^{2}$ dan turunannya $2 x$ , jadi pakai substitusi. Pada $\int x \cos x d x$ , $x$ bukan turunan $\cos x$ atau sebaliknya, jadi pakai parsial.

#Apakah integral parsial bisa dipakai dua kali dalam satu soal?

Bisa, dan sering. Soal 3 sebenarnya adalah dua kali integral parsial yang diringkas tabel, dan Soal 4 memakai dua kali parsial ditambah satu langkah aljabar.