Determinan Matriks 4x4 dengan Operasi Baris dan Ekspansi Kofaktor

Determinan matriks 4x4 dihitung dengan dua cara yang bisa dipakai di ujian: ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom yang paling banyak nolnya, atau reduksi baris menjadi matriks segitiga atas sambil mencatat efek setiap operasi. Aturan Sarrus tidak berlaku untuk 4x4. Di artikel ini satu matriks yang sama dihitung dengan kedua cara sampai angka akhir, supaya kamu bisa memakai cara kedua untuk mengecek cara pertama.

#Kenapa aturan Sarrus tidak berlaku untuk matriks 4x4?

Sarrus adalah jalan pintas khusus 3x3. Determinan 3x3 punya $3! = 6$ suku, dan Sarrus kebetulan menangkap keenamnya lewat tiga diagonal turun dan tiga diagonal naik. Determinan 4x4 punya $4! = 24$ suku, sedangkan pola diagonal ala Sarrus hanya menghasilkan 8. Enam belas suku hilang, dan tanda beberapa suku pun salah.

Matriks yang dipakai sepanjang artikel ini:

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{matrix})

Kalau Sarrus dipaksakan, empat diagonal turun memberi $0 + 4 + 0 + 36 = 40$ dan empat diagonal naik memberi $0 + 16 + 0 + 9 = 25$ , jadi hasilnya $40 - 25 = 15$ . Jawaban yang benar, seperti akan kita hitung, adalah $- 15$ . Tandanya terbalik, dan kebetulan besarnya sama. Pada matriks lain angkanya bisa meleset jauh.

#Cara 1: ekspansi kofaktor di baris yang paling banyak nol

Rumus ekspansi sepanjang baris $i$ :

\det A = \sum j = 1 4 a_{i j} C_{i j}, C_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}

$M_{i j}$ adalah determinan matriks 3x3 yang tersisa setelah baris $i$ dan kolom $j$ dicoret. Tanda $(- 1)^{i + j}$ mengikuti pola papan catur:

(\begin{matrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{matrix})

Baris 3 matriks $A$ adalah $(0, 3, 0, 2)$ . Dua entrinya nol, jadi hanya dua minor yang perlu dihitung. Posisi $(3, 2)$ dan $(3, 4)$ sama-sama bertanda minus menurut pola di atas.

Langkah 1, minor $M_{32}$ . Coret baris 3 dan kolom 2:

M_{32} = ∣ \begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} ∣ = (2 + 0 + 12) - (3 + 8 + 0) = 3

Langkah 2, minor $M_{34}$ . Coret baris 3 dan kolom 4:

M_{34} = ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ∣ = (10 + 2 + 0) - (0 + 1 + 8) = 3

Untuk minor 3x3, Sarrus boleh dipakai lagi. Rinciannya: pada $M_{32}$ , diagonal turun $1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ , $0 \cdot 4 \cdot 1 = 0$ , $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ , dan diagonal naik $3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$ , $1 \cdot 4 \cdot 2 = 8$ , $0 \cdot 2 \cdot 2 = 0$ .

Langkah 3, gabungkan dengan tandanya:

\det A = 3 \cdot (- 1)^{3 + 2} \cdot 3 + 2 \cdot (- 1)^{3 + 4} \cdot 3 = - 9 - 6 = - 15

Seandainya kamu memilih baris 1, ada tiga entri tak nol, jadi tiga minor 3x3. Memilih baris atau kolom dengan nol terbanyak memangkas pekerjaan secara nyata. Kolom 3 matriks ini, $(0, 1, 0, 2)$ , juga punya dua nol dan akan memberi hasil yang sama.

#Cara 2: reduksi ke segitiga atas sambil mencatat operasi

Determinan matriks segitiga adalah hasil kali diagonalnya. Jadi tujuannya membuat semua entri di bawah diagonal menjadi nol, lalu mengoreksi hasil kali diagonal dengan efek operasi yang dipakai.

Operasi baris	Efek pada determinan
Menukar dua baris	dikali $- 1$
Mengalikan satu baris dengan $k$	dikali $k$
Menambahkan kelipatan baris lain ke sebuah baris	tidak berubah

Untuk matriks $A$ , cukup memakai operasi jenis ketiga.

Langkah 1, nolkan kolom 1 di bawah pivot $a_{11} = 1$ . Lakukan $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ dan $R_{4} \to R_{4} - R_{1}$ . Baris 3 sudah diawali nol.

(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \end{matrix})

Langkah 2, nolkan kolom 2 di bawah pivot baru yang bernilai 1. Lakukan $R_{3} \to R_{3} - 3 R_{2}$ dan $R_{4} \to R_{4} + R_{2}$ .

(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \end{matrix})

Hitungan baris 3: $(0, 3, 0, 2) - 3 (0, 1, 1, - 2) = (0, 0, - 3, 8)$ . Baris 4: $(0, - 1, 2, - 1) + (0, 1, 1, - 2) = (0, 0, 3, - 3)$ .

Langkah 3, nolkan kolom 3. Lakukan $R_{4} \to R_{4} + R_{3}$ , sehingga baris 4 menjadi $(0, 0, 0, 5)$ .

(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix})

Langkah 4, kalikan diagonalnya: $1 \cdot 1 \cdot (- 3) \cdot 5 = - 15$ . Tidak ada pertukaran baris dan tidak ada baris yang dikalikan skalar, jadi tidak ada koreksi. Hasilnya sama dengan cara 1.

#Contoh kedua: saat pivot nol memaksa tukar baris

Matriks berikut punya nol di posisi pivot pertama dan satu baris yang semua entrinya genap.

B = (\begin{matrix} 0 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 4 \end{matrix})

Tukar $R_{1}$ dan $R_{2}$ . Determinan dikali $- 1$ .
Baris yang sekarang di posisi 2 adalah $(0, 2, 4, 2)$ . Keluarkan faktor 2 menjadi $(0, 1, 2, 1)$ . Faktor 2 dicatat sebagai pengali di depan.
$R_{3} \to R_{3} - 2 R_{1}$ memberi $(0, - 1, - 2, 1)$ , dan $R_{4} \to R_{4} - R_{1}$ memberi $(0, - 2, 2, 4)$ .
$R_{3} \to R_{3} + R_{2}$ memberi $(0, 0, 0, 2)$ , dan $R_{4} \to R_{4} + 2 R_{2}$ memberi $(0, 0, 6, 6)$ .
Pivot di posisi $(3, 3)$ sekarang nol, jadi tukar $R_{3}$ dan $R_{4}$ . Determinan dikali $- 1$ lagi.

Matriks akhirnya segitiga atas dengan diagonal $1, 1, 6, 2$ , yang hasil kalinya 12. Kumpulkan semua koreksi:

\det B = (- 1) \cdot 2 \cdot (- 1) \cdot 12 = 24

Dua kali tukar baris saling menetralkan tandanya, dan faktor 2 yang dikeluarkan dikalikan kembali.

#Kesalahan yang sering terjadi saat menghitung determinan 4x4

Memakai Sarrus pada 4x4. Seperti terlihat di atas, hasilnya $15$ , bukan $- 15$ .
Salah tanda kofaktor. Tanda ditentukan oleh posisi, bukan oleh nilai entri. Posisi $(3, 2)$ selalu minus, berapa pun entrinya.
Operasi $R_{2} \to 2 R_{2} - R_{1}$ . Operasi ini mengalikan baris yang diganti dengan 2, sehingga determinan ikut dikali 2. Yang aman adalah $R_{2} \to R_{2} - k R_{1}$ , di mana baris yang diganti koefisiennya tetap 1.
Lupa mencatat pertukaran baris. Setiap tukar baris membalik tanda. Ini salah satu sumber jawaban yang benar besarnya tetapi salah tanda.
Mengira $\det (2 A) = 2 \det A$ . Untuk matriks 4x4, setiap dari empat baris dikali 2, jadi $\det (2 A) = 2^{4} \det A = 16 \cdot (- 15) = - 240$ .
Menyalin minor dengan kolom yang salah dicoret. Tulis ulang minor secara lengkap, jangan menghitungnya di kepala.

#Cara mana yang lebih cepat?

Ekspansi kofaktor unggul kalau ada baris atau kolom dengan dua nol atau lebih, seperti matriks $A$ . Kalau semua entri tak nol, ekspansi penuh butuh empat minor 3x3, masing-masing dengan enam perkalian tiga angka. Reduksi baris lebih cocok untuk matriks padat dan tetap praktis untuk ukuran lebih besar. Untuk matriks 5x5, ekspansi kofaktor penuh berarti $5! = 120$ suku, sedangkan reduksi baris hanya bertambah satu tahap.

Cara campuran sering paling efisien: pakai satu atau dua operasi baris untuk membuat tiga nol di satu kolom, lalu ekspansi di kolom itu sehingga tinggal satu minor 3x3. Untuk matriks $A$ , operasi $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ dan $R_{4} \to R_{4} - R_{1}$ membuat kolom 1 menjadi $(1, 0, 0, 0)$ , dan determinannya tinggal $1 \cdot$ minor 3x3 di pojok kanan bawah.

Prosedurnya mirip dengan eliminasi Gauss-Jordan untuk SPL, tetapi tujuannya berbeda. Di sana kamu mengejar solusi, sehingga mengalikan baris dengan skalar tidak masalah. Di sini kamu mengejar angka determinan, sehingga setiap skalar harus dicatat.

#FAQ

#Apa artinya kalau determinan sama dengan nol?

Matriksnya singular. Ia tidak punya invers, baris-barisnya bergantung linear, dan SPL $A x = b$ tidak punya solusi tunggal. Kalau saat reduksi muncul baris nol penuh, kamu bisa langsung berhenti dengan jawaban 0.

#Bolehkah memakai operasi kolom?

Boleh. Karena $\det A^{T} = \det A$ , operasi kolom punya efek yang sama persis dengan operasi baris pada tabel di atas. Hanya saja, jangan mencampur operasi baris dan kolom kalau kamu juga sedang mencari solusi SPL.

#Apa hubungan determinan dengan nilai eigen?

Determinan sama dengan hasil kali semua nilai eigen, dihitung dengan kelipatannya. Nilai eigen sendiri dicari dari persamaan $\det (A - λ I) = 0$ , yang dibahas di artikel nilai eigen dan vektor eigen.

#Kenapa menambahkan kelipatan baris lain tidak mengubah determinan?

Determinan bersifat linear pada setiap baris. Menambahkan $k R_{1}$ ke $R_{2}$ memecah determinan menjadi determinan semula ditambah $k$ kali determinan matriks yang punya dua baris sama. Matriks dengan dua baris sama selalu berdeterminan 0, jadi yang tersisa hanya determinan semula.

#Apakah hasil kalkulator boleh dipakai sebagai jawaban?

Kalkulator berguna untuk mengecek, tetapi soal ujian biasanya meminta langkah ekspansi atau reduksi. Nilai penuh hampir selalu diberikan untuk prosesnya, bukan hanya angka akhir.

#Bagaimana menghitung determinan matriks segitiga bawah?

Sama seperti segitiga atas: kalikan entri diagonalnya. Matriks diagonal juga begitu. Ini alasan reduksi baris berhenti begitu semua entri di bawah diagonal bernilai nol.