Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks 3x3, Langkah Lengkap

Cara menghitung nilai eigen dan vektor eigen selalu sama: selesaikan persamaan karakteristik $\det (A-\lambda I)=0$ untuk mendapatkan nilai eigen $\lambda$, lalu untuk setiap $\lambda$ selesaikan sistem $(A-\lambda I)v=0$ untuk mendapatkan vektor eigen. Pada matriks 3x3, bagian yang paling banyak memakan waktu adalah memfaktorkan polinomial pangkat tiga. Bagian yang paling banyak memotong nilai justru dua hal lain: menganggap vektor eigen hanya punya satu jawaban, dan salah menangani nilai eigen yang berulang.

Seluruh artikel memakai satu matriks berikut:

#Apa arti nilai eigen dan vektor eigen?

Vektor $v\ne 0$ disebut vektor eigen dari $A$ kalau $Av=\lambda v$ untuk suatu bilangan $\lambda$. Bilangan $\lambda$ itu adalah nilai eigennya. Artinya, saat dikalikan dengan $A$, vektor itu tidak berubah arah. Ia hanya diperpanjang, diperpendek, atau dibalik dengan faktor $\lambda$.

Persamaan $Av=\lambda v$ bisa ditulis ulang menjadi

$(A-\lambda I)v=0$

Sistem homogen ini selalu punya solusi $v=0$, tetapi solusi nol tidak dihitung sebagai vektor eigen. Supaya ada solusi tak nol, matriks $A-\lambda I$ harus singular, yaitu determinannya nol. Dari situlah persamaan karakteristik $\det (A-\lambda I)=0$ berasal.

#Langkah 1: menyusun dan memfaktorkan polinomial karakteristik

Kurangkan $\lambda$ hanya pada diagonal utama:

Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama:

Baris terakhir memakai selisih kuadrat, $(2-\lambda {)}^2-1=(1-\lambda \left)\right(3-\lambda )$. Jangan langsung menjabarkan semuanya menjadi polinomial pangkat tiga. Faktor $(1-\lambda )$ sudah terlihat di kedua suku, jadi keluarkan:

Jadi $\det (A-\lambda I)=-(\lambda -1{)}^2(\lambda -4)$. Dalam bentuk jabaran, persamaan karakteristiknya ${\lambda }^3-6{\lambda }^2+9\lambda -4=0$. Nilai eigennya $\lambda =4$ dan $\lambda =1$, dengan $\lambda =1$ muncul dua kali.

Sebelum lanjut, cek dengan dua sifat yang selalu berlaku. Jumlah nilai eigen sama dengan trace (jumlah diagonal): $4+1+1=6=2+2+2$. Hasil kali nilai eigen sama dengan determinan: $4\cdot 1\cdot 1=4$, dan $\det A=2(4-1)-1(2-1)+1(1-2)=4$. Keduanya cocok, jadi nilai eigennya hampir pasti benar.

#Langkah 2: mencari vektor eigen dari setiap nilai eigen

#Untuk λ = 4

Lakukan operasi baris:

1. Tukar baris 1 dan baris 2, sehingga baris 1 menjadi $(1,-2,1)$.
2. Baris 2 ditambah 2 kali baris 1: $(-2,1,1)+(2,-4,2)=(0,-3,3)$.
3. Baris 3 dikurangi baris 1: $(1,1,-2)-(1,-2,1)=(0,3,-3)$.
4. Baris 3 ditambah baris 2 menjadi $(0,0,0)$. Baris 2 dibagi $-3$ menjadi $(0,1,-1)$.
5. Baris 1 ditambah 2 kali baris 2: $(1,0,-1)$.

Sistemnya tinggal $x-z=0$ dan $y-z=0$. Ambil $z=t$ sebagai variabel bebas, maka $x=y=z=t$:

$v=t\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),t\ne 0$

Cek: $A(1,1,1{)}^T=(2+1+1,1+2+1,1+1+2{)}^T=(4,4,4{)}^T=4(1,1,1{)}^T$. Benar.

Satu baris nol muncul di langkah 4, dan itu memang harus terjadi. Kalau setelah reduksi tidak ada baris nol, sistemnya hanya punya solusi $0$, yang berarti nilai eigenmu salah hitung.

#Untuk λ = 1

Ketiga baris identik, jadi setelah reduksi hanya tersisa satu persamaan, $x+y+z=0$. Ada dua variabel bebas. Ambil $y=s$ dan $z=t$, maka $x=-s-t$:

$v=s\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right),(s,t)\ne (0,0)$

Cek salah satunya: $A(-1,1,0{)}^T=(-2+1,-1+2,-1+1{)}^T=(-1,1,0{)}^T$. Benar, dengan faktor 1.

Ringkasan hasilnya:

#Kenapa jawabanmu boleh berbeda dengan kunci?

Vektor eigen tidak tunggal. Kalau $v$ vektor eigen, maka $2v$, $-v$, dan $\frac{1}{\sqrt{3}}v$ juga vektor eigen untuk nilai eigen yang sama. Jadi $(1,1,1)$, $(3,3,3)$, dan $(-1,-1,-1)$ sama benarnya untuk $\lambda =4$.

Untuk $\lambda =1$ kebebasannya lebih besar lagi, karena ruang eigennya berupa bidang. Kunci jawaban bisa menulis basis $(1,-2,1)$ dan $(1,1,-2)$, sementara kamu menulis $(-1,1,0)$ dan $(-1,0,1)$. Keduanya benar. Cara mengeceknya bukan membandingkan angka, melainkan memeriksa apakah setiap vektor memenuhi $x+y+z=0$. Untuk $(1,-2,1)$: $1-2+1=0$. Untuk $(1,1,-2)$: $1+1-2=0$. Dua vektor itu juga tidak sejajar, jadi mereka basis yang sah untuk bidang yang sama.

Yang wajib ada di jawaban hanyalah parameter dan syaratnya. Menulis "$v=t(1,1,1)$ dengan $t\ne 0$" lebih lengkap daripada menulis satu vektor saja, terutama kalau soal meminta "semua vektor eigen".

#Nilai eigen berulang: kapan ruang eigennya berdimensi dua?

Nilai eigen yang muncul dua kali di polinomial karakteristik tidak otomatis punya dua vektor eigen yang bebas linear. Ada dua bilangan yang perlu dibedakan:

• Multiplisitas aljabar: berapa kali $\lambda$ muncul sebagai akar polinomial karakteristik.
• Multiplisitas geometri: dimensi ruang eigennya, yaitu banyaknya variabel bebas saat menyelesaikan $(A-\lambda I)v=0$.

Multiplisitas geometri selalu paling sedikit 1 dan paling banyak sama dengan multiplisitas aljabar. Pada matriks $A$, keduanya sama-sama 2 untuk $\lambda =1$. Bandingkan dengan matriks ini:

$B$ segitiga atas, jadi nilai eigennya langsung terbaca dari diagonal: 2, 2, dan 3. Untuk $\lambda =2$:

Persamaannya $y=0$ dan $z=0$, sedangkan $x$ bebas. Hanya ada satu arah, yaitu $(1,0,0)$. Multiplisitas aljabarnya 2, tetapi multiplisitas geometrinya 1.

Akibatnya penting untuk soal diagonalisasi. Matriks $A$ bisa didiagonalkan sebagai $A=PD{P}^{-1}$ dengan

Kolom $P$ adalah vektor eigen, dan urutannya harus sama dengan urutan nilai eigen di diagonal $D$. Matriks $B$ tidak bisa didiagonalkan, karena hanya punya dua vektor eigen bebas linear untuk ruang berdimensi tiga.

#Apa hubungan nilai eigen dengan analisis komponen utama (PCA)?

Analisis komponen utama mencari arah di dalam data yang menampung variasi paling besar. Arah itu adalah vektor eigen dari matriks kovarians atau matriks korelasi, dan besar variasinya adalah nilai eigen yang bersesuaian.

Misalkan tiga variabel terstandardisasi punya korelasi 0,5 untuk setiap pasangannya. Matriks korelasinya

Mengalikan matriks dengan konstanta mengalikan nilai eigennya dengan konstanta yang sama dan tidak mengubah vektor eigennya. Jadi nilai eigen $R$ adalah 2, 0,5, dan 0,5, dengan vektor eigen yang sudah kita hitung. Hasilnya bisa dibaca langsung:

1. Jumlah nilai eigen $2+\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}=3$, sama dengan banyaknya variabel.
2. Komponen pertama menjelaskan $2/3\approx \mathrm{66,7}\%$ variasi total.
3. Vektor eigennya, setelah dinormalkan, adalah $(1,1,1)/\sqrt{3}\approx (\mathrm{0,577};\mathrm{0,577};\mathrm{0,577})$. Komponen pertama pada dasarnya rata-rata ketiga variabel dengan bobot sama.
4. Dengan kriteria Kaiser (pertahankan komponen dengan nilai eigen di atas 1), hanya satu komponen yang dipertahankan.

Karena $R$ simetris, vektor eigen dari nilai eigen yang berbeda saling tegak lurus. Contohnya $(1,1,1)\cdot (-1,1,0)=0$. Di dalam ruang eigen $\lambda =\mathrm{0,5}$, basis $(-1,1,0)$ dan $(-1,0,1)$ belum tegak lurus satu sama lain, tetapi $(-1,1,0)$ dan $(1,1,-2)$ sudah. Software statistik biasanya melaporkan basis yang ortonormal seperti itu.

#Kesalahan yang sering terjadi saat menghitung eigen 3x3

1. Mengurangkan $\lambda$ ke semua entri, bukan hanya ke diagonal utama.
2. Salah tanda pada kofaktor tengah. Ekspansi baris pertama memakai pola tanda $+,-,+$.
3. Menjabarkan determinan menjadi polinomial pangkat tiga terlalu cepat, lalu kesulitan memfaktorkannya. Cari faktor bersama lebih dulu.
4. Menulis $0$ sebagai vektor eigen. Nilai eigen boleh 0, tetapi vektor eigen tidak boleh vektor nol.
5. Mendapatkan solusi tunggal $v=0$ dan tetap melanjutkan. Itu tanda nilai eigennya salah.
6. Menganggap nilai eigen ganda pasti memberi dua vektor eigen. Hitung variabel bebasnya, seperti pada matriks $B$.
7. Menyusun kolom $P$ dalam urutan yang tidak sama dengan urutan nilai eigen di $D$.

Langkah reduksi baris di atas sama dengan yang dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, jadi kalau bagian itu masih goyah, ulangi dulu eliminasi Gauss-Jordan. Untuk menghitung determinan matriks yang lebih besar, lihat determinan matriks 4x4 dengan operasi baris dan kofaktor. Kalau kamu bertemu nilai eigen lagi di mata kuliah statistik, cara membaca output regresi SPSS membahas sisi praktis pengolahan data.

#FAQ

#Apakah nilai eigen bisa nol atau negatif?

Bisa. Nilai eigen 0 berarti matriksnya singular, karena determinan sama dengan hasil kali nilai eigen. Nilai eigen negatif berarti vektor eigennya dibalik arahnya saat dikalikan dengan matriks.

#Apakah nilai eigen bisa bilangan kompleks?

Bisa, untuk matriks real yang tidak simetris. Contohnya matriks rotasi 90 derajat di bidang, yang tidak membiarkan satu pun arah real tetap. Matriks real yang simetris selalu punya nilai eigen real.

#Apakah vektor eigen harus dinormalkan?

Tidak, kecuali soal memintanya. Untuk PCA dan diagonalisasi ortogonal biasanya dipakai vektor satuan, misalnya $(1,1,1)/\sqrt{3}$.

#Bagaimana mengecek jawaban dengan cepat?

Ada tiga cek. Jumlah nilai eigen harus sama dengan trace. Hasil kalinya harus sama dengan determinan. Lalu kalikan $A$ dengan setiap vektor eigenmu dan pastikan hasilnya kelipatan $\lambda$ dari vektor itu.

#Kenapa nilai eigen matriks segitiga langsung terbaca dari diagonal?

Determinan matriks segitiga adalah hasil kali entri diagonalnya. Jadi $\det (A-\lambda I)$ langsung berbentuk hasil kali $(a_{ii}-\lambda )$, dan akarnya adalah entri diagonal itu sendiri.

#Kalau soal hanya meminta nilai eigen, apakah perlu mencari vektor eigen?

Tidak. Namun cek trace dan determinan tetap layak dilakukan, karena memakan waktu kurang dari satu menit dan menangkap kebanyakan salah hitung.