Hukum Kirchhoff Dua Loop: Langkah Lengkap dan Arti Arus Negatif

Rangkaian dua loop diselesaikan dengan tiga persamaan: satu dari hukum Kirchhoff I (jumlah arus masuk titik cabang sama dengan jumlah arus keluar) dan dua dari hukum Kirchhoff II (jumlah perubahan potensial mengelilingi loop tertutup sama dengan nol). Arah arus boleh kamu tebak sembarang. Kalau hasilnya negatif, arus negatif itu bukan kesalahan, tapi tanda bahwa arah sebenarnya kebalikan dari tebakanmu. Contoh di bawah dikerjakan dua kali, lewat substitusi dan lewat aturan Cramer, lalu dicek dengan neraca daya.

#Berapa persamaan yang dibutuhkan untuk rangkaian dua loop?

Jumlah persamaan harus sama dengan jumlah arus yang tidak diketahui, yaitu jumlah cabang. Aturannya:

Besaran	Rangkaian contoh	Rumus umum
Cabang (arus yang dicari)	3	b
Titik cabang	2 (a dan b)	n
Persamaan hukum I yang independen	1	n − 1
Persamaan hukum II yang independen	2	b − (n − 1)

Menulis hukum I di titik a dan di titik b tidak menambah informasi. Persamaan di titik b hanyalah persamaan titik a dikali minus satu, dan memakainya bersama-sama membuat sistem tidak bisa diselesaikan.

#Aturan tanda GGL dan resistor saat menelusuri loop

Pilih satu arah penelusuran untuk setiap loop, lalu jangan diganti di tengah jalan. Aturan tanda yang dipakai di artikel ini:

Melewati resistor searah arus tebakan: potensial turun, tulis $- I R$ .
Melewati resistor berlawanan arah arus tebakan: potensial naik, tulis $+ I R$ .
Melewati baterai dari kutub negatif ke kutub positif: potensial naik, tulis $+ ε$ .
Melewati baterai dari kutub positif ke kutub negatif: potensial turun, tulis $- ε$ .

Perhatikan bahwa tanda GGL hanya ditentukan arah penelusuranmu terhadap kutub baterai. Arah arus tidak ikut menentukan tanda GGL. Ini yang paling sering tertukar.

#Contoh soal hukum Kirchhoff dua loop

Rangkaian di bawah punya tiga cabang di antara titik a dan b. Cabang kiri berisi $ε_{1} = 12$ V dan $R_{1} = 2 Ω$ . Cabang tengah berisi $R_{2} = 4 Ω$ . Cabang kanan berisi $ε_{2} = 3$ V dan $R_{3} = 1 Ω$ . Kutub positif kedua baterai menghadap ke atas. Hambatan dalam baterai diabaikan. Cari arus di setiap cabang.

Rangkaian dua loop: cabang kiri baterai 12 volt dan hambatan 2 ohm, cabang tengah hambatan 4 ohm, cabang kanan baterai 3 volt dan hambatan 1 ohm, arus I1 dan I3 ditebak ke atas, I2 ke bawah, kedua loop ditelusuri searah jarum jam

#Langkah 1: tebak arah arus dan tulis hukum I

Tebakan: $I_{1}$ naik di cabang kiri, $I_{3}$ naik di cabang kanan, $I_{2}$ turun di cabang tengah. Di titik a, dua arus masuk dan satu keluar:

I_{1} + I_{3} = I_{2}

#Langkah 2: hukum II untuk loop 1 (kiri, searah jarum jam)

Mulai dari titik b, naik lewat cabang kiri. Baterai dilewati dari negatif ke positif ( $+ 12$ ), $R_{1}$ dilewati searah $I_{1}$ ( $- 2 I_{1}$ ). Lalu turun lewat cabang tengah searah $I_{2}$ ( $- 4 I_{2}$ ):

12 - 2 I_{1} - 4 I_{2} = 0

#Langkah 3: hukum II untuk loop 2 (kanan, searah jarum jam)

Mulai dari b, naik lewat cabang tengah melawan $I_{2}$ ( $+ 4 I_{2}$ ). Lalu turun lewat cabang kanan: $R_{3}$ dilewati melawan $I_{3}$ ( $+ 1 \cdot I_{3}$ ), dan baterai dilewati dari positif ke negatif ( $- 3$ ):

4 I_{2} + I_{3} - 3 = 0

#Langkah 4: selesaikan dengan substitusi

Dari loop 1: $I_{1} = 6 - 2 I_{2}$ . Dari loop 2: $I_{3} = 3 - 4 I_{2}$ . Masukkan ke hukum I:

(6 - 2 I_{2}) + (3 - 4 I_{2}) = I_{2} \Rightarrow 9 = 7 I_{2} \Rightarrow I_{2} = \frac{9}{7} \approx 1,29 A

Lalu $I_{1} = 6 - \frac{18}{7} = \frac{24}{7} \approx 3,43$ A dan $I_{3} = 3 - \frac{36}{7} = - \frac{15}{7} \approx - 2,14$ A.

#Selesaikan dengan aturan Cramer

Kalau dosen meminta metode matriks, susun ketiga persamaan dalam urutan $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ :

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 3 \end{matrix})

Baris pertama adalah hukum I yang ditulis $I_{1} - I_{2} + I_{3} = 0$ . Hitung determinan dengan ekspansi baris pertama:

$D = 1 (4 \cdot 1 - 0 \cdot 4) - (- 1) (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + 1 (2 \cdot 4 - 4 \cdot 0) = 4 + 2 + 8 = 14$ .
$D_{1}$ (kolom 1 diganti ruas kanan): $0 \cdot 4 - (- 1) (12 \cdot 1 - 0 \cdot 3) + 1 (12 \cdot 4 - 4 \cdot 3) = 12 + 36 = 48$ .
$D_{2}$ (kolom 2 diganti): $1 (12 \cdot 1 - 0 \cdot 3) - 0 + 1 (2 \cdot 3 - 12 \cdot 0) = 12 + 6 = 18$ .
$D_{3}$ (kolom 3 diganti): $1 (4 \cdot 3 - 12 \cdot 4) - (- 1) (2 \cdot 3 - 12 \cdot 0) + 0 = - 36 + 6 = - 30$ .

Hasilnya $I_{1} = 48 / 14 = 24 / 7$ A, $I_{2} = 18 / 14 = 9 / 7$ A, dan $I_{3} = - 30 / 14 = - 15 / 7$ A. Sama persis dengan cara substitusi. Untuk sistem yang lebih besar, eliminasi baris biasanya lebih cepat. Langkahnya ada di eliminasi Gauss-Jordan untuk SPL, dan cara menghitung determinan besar ada di determinan matriks 4x4.

#Apa arti arus yang bernilai negatif?

$I_{3} = - 2,14$ A artinya arus di cabang kanan sebenarnya mengalir ke bawah, bukan ke atas seperti tebakan. Besarnya tetap 2,14 A.

Ada konsekuensi fisik yang menarik. Arus 2,14 A itu masuk ke baterai 3 V lewat kutub positifnya. Baterai kanan tidak sedang memberi energi, melainkan sedang diisi oleh baterai 12 V. Situasi ini sama dengan aki motor yang sedang di-charge.

Dua aturan setelah mendapat arus negatif:

Jangan mengulang perhitungan dengan arah dibalik. Jawaban $- 2,14$ A sudah benar dan lengkap.
Kalau arus itu dipakai di perhitungan berikutnya (misalnya beda potensial), masukkan lengkap dengan tandanya. Jangan membalik panah sekaligus membuang tanda minus, karena arahnya jadi terbalik dua kali.

Contoh: beda potensial $V_{a b}$ lewat cabang tengah adalah $I_{2} R_{2} = \frac{9}{7} \times 4 = \frac{36}{7} \approx 5,14$ V. Lewat cabang kanan dari b ke a: $V_{a b} = ε_{2} - I_{3} R_{3} = 3 - (- \frac{15}{7}) (1) = \frac{36}{7}$ V. Kedua jalur memberi angka sama, dan itu hanya terjadi kalau tanda minus $I_{3}$ ikut dibawa.

#Cek akhir: daya masuk sama dengan daya terdisipasi

Cara paling meyakinkan untuk mengecek jawaban Kirchhoff adalah neraca daya. Energi yang diberikan sumber harus sama dengan energi yang diserap komponen lain.

Komponen	Perhitungan	Daya
Baterai 12 V (memberi)	$12 \times \frac{24}{7}$	41,14 W
$R_{1}$	$(\frac{24}{7})^{2} \times 2$	23,51 W
$R_{2}$	$(\frac{9}{7})^{2} \times 4$	6,61 W
$R_{3}$	$(\frac{15}{7})^{2} \times 1$	4,59 W
Baterai 3 V (diisi)	$3 \times \frac{15}{7}$	6,43 W

Daya yang diserap: $23,51 + 6,61 + 4,59 + 6,43 = 41,14$ W. Sama dengan daya yang diberikan baterai 12 V. Kalau kamu salah tanda di salah satu persamaan loop, neraca ini hampir pasti tidak seimbang.

#Kesalahan yang paling sering memotong nilai

Tanda GGL mengikuti arah arus. Tanda GGL hanya bergantung pada arah penelusuran melewati kutub. Baterai 3 V di loop 2 bernilai $- 3$ karena dilewati dari positif ke negatif, apa pun arah arusnya.
Mengganti arah penelusuran di tengah loop. Setengah loop searah jarum jam dan setengahnya berlawanan membuat tanda tidak konsisten.
Memakai hukum I di semua titik cabang. Dengan dua titik cabang, cukup satu persamaan arus. Persamaan kedua bergantung linear dan membuat determinan nol.
Menganggap arus negatif sebagai salah hitung. Banyak mahasiswa menghapus jawabannya lalu mengulang dengan tebakan lain, padahal hasil pertama sudah benar.
Lupa hambatan dalam. Kalau soal menyebut baterai punya hambatan dalam $r$ , tambahkan $- I r$ setiap kali melewati baterai searah arus, seperti resistor biasa.

#FAQ

#Apakah arah loop harus searah jarum jam?

Tidak. Arah loop bebas dan boleh berbeda untuk setiap loop. Yang wajib hanyalah konsisten di dalam satu loop. Membalik arah satu loop hanya mengalikan persamaannya dengan minus satu.

#Boleh memakai loop luar (keliling rangkaian) sebagai pengganti loop 2?

Boleh. Loop luar memberi $12 - 2 I_{1} + I_{3} - 3 = 0$ . Persamaan ini adalah kombinasi loop 1 dan loop 2, jadi hasilnya sama. Yang tidak boleh adalah memakai ketiga loop sekaligus sebagai tiga persamaan, karena hanya dua yang independen.

#Bagaimana kalau dua baterai berada di cabang yang sama?

Jumlahkan GGL-nya dengan tanda masing-masing sesuai arah penelusuran. Dua baterai yang saling berlawanan kutub di satu cabang akan saling mengurangi.

#Kenapa hasil Cramer dan substitusi saya berbeda?

Hampir selalu karena urutan kolom di matriks tidak sama dengan urutan variabel, atau karena baris hukum I ditulis $I_{1} + I_{3} = I_{2}$ tanpa memindahkan $I_{2}$ ke ruas kiri. Tulis semua persamaan dalam bentuk $a I_{1} + b I_{2} + c I_{3} = d$ sebelum menyusun matriks.

#Kapan lebih baik memakai metode arus mesh?

Untuk rangkaian dengan banyak loop, metode arus mesh mengurangi jumlah variabel karena hukum I sudah otomatis terpenuhi. Untuk dua loop seperti contoh ini, metode cabang di atas sama cepatnya dan lebih mudah dicek.