Soal Matriks UTBK: Determinan, Invers, dan Persamaan Matriks

Soal matriks UTBK hampir selalu berupa matriks 2x2 dan jatuh ke tiga bentuk: determinan yang diketahui (termasuk matriks singular), persamaan matriks dengan invers yang diketahui, dan pangkat matriks yang ditanya determinannya. Saat kami menyaring paket soal asli Pintarly pada 26 Oktober 2026, soal matriks paling banyak ada di kumpulan bagian 5 (11 soal), lalu paket 2022 dan 2020 (masing-masing 5 soal). Kalau kamu hafal enam sifat determinan di bawah, ketiga bentuk itu selesai dalam satu sampai dua menit.

#Di paket mana soal matriks UTBK muncul, dan bentuknya apa?

Kami membaca soal matriks di paket PK yang paling banyak memuatnya, lalu mengelompokkannya. Hitungan ini hasil bacaan kami, bukan klasifikasi resmi panitia.

Paket soal asli	Jumlah soal matriks	Bentuk
Kumpulan 2010-2024 PK bagian 5	11	7 determinan diketahui atau singular, 2 pangkat matriks, 1 bentuk kuadrat, 1 pola hubungan dua matriks
Soal asli 2022 PK	5	3 invers diketahui dalam format kuantitas P dan Q, 1 perkalian matriks, 1 transformasi
Soal asli 2020 PK	5	4 determinan diketahui atau tidak punya invers, 1 determinan hasil kali matriks
Kumpulan bagian 6	4	3 determinan diketahui, 1 kesamaan matriks
Paket 2023, 2024, 2025, dan 2026	0 matriks sungguhan	Ada soal operasi yang didefinisikan dengan susunan mirip matriks, tetapi itu bukan operasi matriks

Polanya jelas. Bentuk "determinan diketahui, cari $x$ " mendominasi paket lama, sedangkan paket 2022 memindahkan matriks ke format kuantitas P dan Q yang lebih menuntut penalaran. Soal aslinya bisa kamu baca di kumpulan soal asli PK bagian 5, soal asli PK 2022, dan soal asli PK 2020.

#Rumus matriks 2x2 yang wajib hafal

Untuk $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ :

\det A = a d - b c, A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

Lalu enam sifat determinan yang dipakai berulang:

No	Sifat	Catatan
1	$\det (A B) = \det A \cdot \det B$	Berlaku untuk perkalian, tidak untuk penjumlahan
2	$\det (A^{n}) = (\det A)^{n}$	Kunci soal pangkat matriks
3	$\det (A^{- 1}) = \frac{1}{\det A}$	Invers ada hanya kalau $\det A \neq 0$
4	$\det (k A) = k^{2} \det A$	Untuk matriks 2x2 pangkatnya 2, bukan 1
5	$\det (A^{T}) = \det A$	Transpos tidak mengubah determinan
6	Singular berarti $\det A = 0$	Sama artinya dengan "tidak punya invers"

Rumus lengkapnya juga ada di kumpulan rumus PK. Sifat 4 paling mudah terlupa, dan kita akan bertemu lagi dengannya di bentuk ketiga.

#Bentuk 1: determinan diketahui atau matriks singular

Ini bentuk paling sering. Matriksnya memuat $x$ , determinannya diberikan (sering 0), lalu kamu diminta $x$ atau ekspresi dari $x$ . Contoh dengan angka yang kami ubah:

Matriks $(\begin{matrix} 2 x & 4 \\ 3 & x + 1 \end{matrix})$ singular. Berapa hasil kali semua nilai $x$ yang memenuhi?

Singular berarti determinan nol: $2 x (x + 1) - 4 \cdot 3 = 0$ .
Jabarkan: $2 x^{2} + 2 x - 12 = 0$ , lalu bagi 2: $x^{2} + x - 6 = 0$ .
Faktorkan: $(x + 3) (x - 2) = 0$ , jadi $x = - 3$ atau $x = 2$ .
Hasil kali: $- 6$ .

Cara cepat dari langkah 2: hasil kali akar $x^{2} + x - 6 = 0$ adalah $\frac{c}{a} = - 6$ , tanpa perlu memfaktorkan.

Perhatikan bahwa di kumpulan bagian 5 ada dua soal berurutan dengan matriks yang persis sama, satu menanyakan hasil kali nilai $x$ dan satu lagi jumlahnya. Untuk contoh kita, jumlahnya $- \frac{b}{a} = - 1$ . Membaca pertanyaannya sampai habis sama pentingnya dengan menghitung.

Varian lain di paket 2020 menulis "tidak mempunyai invers" alih-alih "singular". Artinya sama: determinan nol.

#Bentuk 2: invers diketahui dan persamaan matriks

Paket 2022 punya tiga soal dengan pola ini, semuanya dalam format kuantitas P dan Q. Kamu diberi $A^{- 1}$ (bukan $A$ ), lalu persamaan $X A = Y$ atau $A X = Y$ yang memuat variabel, dan diminta membandingkan suatu ekspresi dengan angka.

Contoh: Matriks $A$ memiliki invers $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ dan memenuhi $(\begin{matrix} p & 8 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}) A = (\begin{matrix} 2 & s \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ . Bandingkan P $= p \times s$ dengan Q $= 10$ .

Triknya: jangan cari $A$ . Kalikan kedua ruas dari kanan dengan $A^{- 1}$ , karena $A A^{- 1} = I$ :

(\begin{matrix} p & 8 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & s \\ 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + 2 s & 2 + 3 s \\ - 1 & - 2 \end{matrix})

Baris kedua cocok ( $- 1$ dan $- 2$ ), jadi persamaannya konsisten. Dari baris pertama: $2 + 3 s = 8$ , maka $s = 2$ , dan $p = 2 + 2 \cdot 2 = 6$ . Jadi P $= 12$ , lebih besar dari Q.

Dua hal yang menentukan di bentuk ini. Pertama, sisi perkalian: kalau $A$ ada di kanan $X$ , kalikan $A^{- 1}$ dari kanan; kalau di kiri, dari kiri. Perkalian matriks tidak komutatif, jadi sisi yang salah memberi angka berbeda. Kedua, cek baris yang tidak memuat variabel. Kalau baris itu tidak cocok, kemungkinan besar kamu mengalikan dari sisi yang salah.

#Bentuk 3: pangkat matriks dan determinan

Kumpulan bagian 5 punya dua soal pola ini: $A^{n} + B = C$ dengan $B$ dan $C$ diketahui, lalu ditanya determinan sesuatu yang berhubungan dengan $A$ . Contoh:

Matriks $A$ berukuran 2x2 memenuhi $A^{3} + B = C$ dengan $B = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ dan $C = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix})$ . Berapa $\det (2 A^{- 1})$ ?

$A^{3} = C - B = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{matrix})$ , jadi $\det (A^{3}) = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 4 = - 8$ .
Sifat 2: $(\det A)^{3} = - 8$ , maka $\det A = - 2$ .
Sifat 3: $\det (A^{- 1}) = - \frac{1}{2}$ .
Sifat 4: $\det (2 A^{- 1}) = 2^{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = - 2$ .

Kamu tidak pernah perlu mencari matriks $A$ itu sendiri. Mencari akar pangkat tiga dari matriks memang bukan materi SMA, dan pembuat soal tahu itu. Kalau soal meminta determinan dari $A^{n}$ , selalu lewati $A$ dan bekerja dengan angka determinannya.

#Bentuk lain yang lebih jarang

Beberapa soal tidak masuk tiga bentuk di atas, tetapi tetap layak dikenali:

Kesamaan matriks (kumpulan bagian 6): dua matriks sama berarti setiap entri yang seletak sama. Soalnya jadi sistem persamaan biasa, kadang dengan pangkat.
Transformasi (paket 2022): rotasi dan pencerminan ditulis sebagai matriks. Kenali matriks pencerminan terhadap $y = x$ , yaitu $(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ .
Log di dalam determinan (paket 2021): entri matriksnya berupa logaritma. Hitung determinannya seperti biasa, lalu selesaikan dengan sifat log. Kalau sifat log belum lancar, lihat soal logaritma UTBK.

#Kesalahan yang sering terjadi di soal matriks

Memakai $\det (k A) = k \det A$ . Untuk 2x2 yang benar $k^{2} \det A$ .
Menghitung determinan sebagai $a d + b c$ atau $a b - c d$ . Rumusnya diagonal utama dikurangi diagonal lain: $a d - b c$ .
Mengalikan $A^{- 1}$ dari sisi yang salah di persamaan $X A = Y$ .
Mencari matriks $A$ dari $A^{n}$ . Hampir selalu tidak perlu, dan sering tidak mungkin dengan materi SMA.
Menjawab jumlah akar ketika soal meminta hasil kali, atau sebaliknya. Dua soal di kumpulan bagian 5 menguji persis ini.
Lupa bahwa $\det (A + B) \neq \det A + \det B$ . Sifat 1 hanya berlaku untuk perkalian.

Banyak soal bentuk 1 berakhir di persamaan linear atau kuadrat. Kalau langkah memfaktorkan masih lambat, perkuat dulu lewat fundamental matematika UTBK.

#FAQ

#Apakah soal matriks masih keluar di UTBK SNBT?

Di paket soal asli 2022 masih ada lima soal matriks. Di paket 2023 sampai 2026 yang tersedia di Pintarly, kami tidak menemukan soal operasi matriks sungguhan, hanya operasi yang didefinisikan dengan susunan mirip matriks. Panitia tidak menerbitkan daftar topik per soal, jadi menguasai matriks 2x2 tetap aman.

#Apa arti matriks singular?

Matriks singular adalah matriks dengan determinan nol. Matriks seperti ini tidak mempunyai invers. Di soal, "singular" dan "tidak mempunyai invers" berarti hal yang sama.

#Bagaimana cara cepat mencari determinan matriks 2x2?

Kalikan entri diagonal utama, lalu kurangi hasil kali entri diagonal lainnya: $a d - b c$ . Untuk matriks berpangkat atau berinvers, pakai sifat determinan dan jangan hitung matriksnya.

#Apakah soal matriks UTBK memakai matriks 3x3?

Semua soal matriks yang kami baca di kumpulan bagian 5 dan 6 serta paket 2020 dan 2022 berukuran 2x2. Karena itu fokuskan latihan pada rumus determinan, invers, dan sifat determinan untuk 2x2.

#Di mana membaca soal matriks UTBK yang asli?

Soal aslinya bisa dibaca gratis di halaman paket soal asli Pintarly, terutama kumpulan bagian 5 serta paket 2020 dan 2022. Mengerjakan dengan timer dan membuka pembahasannya membutuhkan Premium.