Teorema Usaha-Energi dengan Pegas dan Gesekan, Contoh Soal UTS

Teorema usaha-energi menyatakan bahwa usaha total semua gaya pada benda sama dengan perubahan energi kinetiknya: $W_{\text{total}}=\Delta K$. Pada soal balok yang menekan pegas di lantai kasar, usaha total itu terdiri dari usaha pegas $-\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$ dan usaha gesekan $-fs$. Dua hal paling sering membuat jawabannya salah: memakai kekekalan energi mekanik padahal ada gesekan, dan menghitung usaha pegas sebagai $F\cdot x$.

Artikel ini mengerjakan satu soal tipe UTS fisika dasar dari awal sampai balok berhenti, lalu membandingkan jawaban benar dengan hasil tiga cara yang keliru.

#Kenapa kekekalan energi mekanik tidak berlaku di soal ini?

Energi mekanik $K+U$ hanya kekal kalau semua gaya yang melakukan usaha adalah gaya konservatif. Gaya pegas dan gaya berat konservatif. Gaya gesek tidak, karena usahanya bergantung pada panjang lintasan, bukan hanya pada posisi awal dan akhir. Balok yang bolak-balik lima kali di lantai kasar kehilangan energi lima kali, walaupun ia berakhir di titik yang sama.

Jadi bentuk yang benar untuk soal dengan gesekan adalah

$\Delta K+\Delta U_{\text{pegas}}=W_{\text{gesek}}$

atau, kalau usaha pegas tidak dipindah ke ruas kiri sebagai energi potensial,

$W_{\text{pegas}}+W_{\text{gesek}}=\Delta K$

Keduanya sama persis. Pilih satu, lalu jangan menghitung pegas dua kali, yaitu sekali sebagai usaha di kanan dan sekali sebagai energi potensial di kiri.

#Usaha oleh pegas dan usaha oleh gesekan: rumus dan tandanya

Gaya pegas berubah seiring tekanan, $F=-kx$. Karena gayanya tidak tetap, usahanya tidak bisa dihitung dengan gaya kali perpindahan. Usahanya adalah integral gaya terhadap posisi:

$W_{\text{pegas}}={\int }_{x_1}^{x_2}(-kx)dx=-\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$

Secara grafis, ini luas segitiga di bawah grafik $F$ terhadap $x$. Saat pegas ditekan dari 0 sampai $d$, gaya naik dari 0 sampai $kd$, sehingga gaya rata-ratanya $\frac{1}{2}kd$, bukan $kd$. Saat pegas ditekan, usahanya negatif karena gaya pegas melawan arah gerak. Saat pegas mendorong balok kembali, usahanya positif.

Gaya gesek kinetis besarnya tetap, $f={\mu }_{k}N={\mu }_{k}mg$ di lantai datar, dan arahnya selalu melawan arah gerak. Akibatnya

$W_{\text{gesek}}=-fs$

dengan $s$ jarak tempuh, bukan perpindahan. Tanda negatif berlaku saat balok bergerak maju, dan tetap negatif saat balok bergerak mundur. Gesekan tidak pernah memberi energi kepada balok di lantai yang diam.

#Contoh soal UTS: berapa kompresi maksimum pegas?

Sebuah balok bermassa 2 kg bergerak dengan laju 6 m/s di titik A pada lantai datar yang kasar (${\mu }_k=\mathrm{0,25}$, ${\mu }_s=\mathrm{0,40}$). Pada jarak 2,2 m dari A terdapat ujung pegas ($k=180$ N/m) yang dipasang mendatar pada dinding. Pakai $g=10{\text{m/s}}^2$.

• (a) Berapa laju balok saat menyentuh pegas?
• (b) Berapa kompresi maksimum pegas?
• (c) Apakah balok bergerak kembali setelah pegas tertekan penuh?
• (d) Kalau ya, berapa lajunya saat lepas dari pegas, dan di mana ia berhenti?

Besaran yang dipakai berulang:

• Energi kinetik awal: $K_A=\frac{1}{2}\left(2\right)\left(6^2\right)=36$ J.
• Gaya gesek kinetis: $f=\mathrm{0,25}\times 2\times 10=5$ N.

#a. Laju saat menyentuh pegas

Dari A ke pegas hanya gesekan yang melakukan usaha:

$K_{\text{sentuh}}=K_A-f\left(\mathrm{2,2}\right)=36-11=25\text{ J}$ $v=\sqrt{\frac{2\left(25\right)}{2}}=5\text{ m/s}$

#b. Kompresi maksimum

Saat kompresi maksimum $d$, balok berhenti sesaat, jadi $K=0$. Dari saat menyentuh pegas sampai berhenti, gesekan bekerja sepanjang $d$ dan pegas ditekan dari 0 sampai $d$:

$0-25=-\frac{1}{2}\left(180\right)d^2-5d$ $90d^2+5d-25=0$

Pakai rumus kuadrat:

$d=\frac{-5+\sqrt{5^2+4\left(90\right)\left(25\right)}}{2\left(90\right)}=\frac{-5+\sqrt{9025}}{180}=\frac{-5+95}{180}=\mathrm{0,5}\text{ m}$

Akar negatif dibuang karena $d$ adalah besar tekanan. Kamu juga bisa langsung menulis satu persamaan dari A sampai kompresi maksimum: $36=5(\mathrm{2,2}+d)+90d^2$. Hasilnya persamaan kuadrat yang sama.

Cek energinya. Di kompresi maksimum, energi pegas $\frac{1}{2}\left(180\right)(\mathrm{0,5}{)}^2=\mathrm{22,5}$ J. Panas dari gesekan sejak A adalah $5\times \mathrm{2,7}=\mathrm{13,5}$ J. Jumlahnya $36$ J, sama dengan energi awal.

#Apakah balok bergerak kembali setelah pegas tertekan penuh?

Pada kompresi maksimum, balok diam sesaat. Ia hanya akan bergerak kembali kalau dorongan pegas melebihi gaya gesek statis maksimum:

• Gaya pegas: $kd=180\times \mathrm{0,5}=90$ N.
• Gesek statis maksimum: ${\mu }_{s}mg=\mathrm{0,40}\times 2\times 10=8$ N.

Karena 90 N jauh lebih besar dari 8 N, balok bergerak kembali. Balok baru akan tertahan di posisi tertekan kalau $kd\le {\mu }_{s}mg$, yaitu kalau $d\le 8/180\approx \mathrm{0,044}$ m. Itu hanya terjadi kalau balok datang dengan sangat pelan.

#d. Laju saat lepas dan titik berhenti

Balok lepas dari pegas saat pegas kembali ke panjang alaminya. Selama perjalanan balik sejauh 0,5 m, pegas melakukan usaha $+\mathrm{22,5}$ J dan gesekan melakukan usaha $-5\times \mathrm{0,5}=-\mathrm{2,5}$ J:

$K_{\text{lepas}}=0+\mathrm{22,5}-\mathrm{2,5}=20\text{ J},v=\sqrt{\frac{2\left(20\right)}{2}}=\sqrt{20}\approx \mathrm{4,47}\text{ m/s}$

Setelah lepas, hanya gesekan yang bekerja. Balok berhenti setelah menempuh

$s=\frac{20}{5}=4\text{ m}$

dari ujung pegas. Titik A berjarak 2,2 m dari pegas, jadi balok melewati A dan berhenti 1,8 m di seberangnya.

Cek akhir yang paling meyakinkan: total jarak tempuh $\mathrm{2,2}+\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}+4=\mathrm{7,2}$ m, dan panas totalnya $5\times \mathrm{7,2}=36$ J. Seluruh energi kinetik awal habis menjadi panas, tepat seperti yang seharusnya untuk balok yang akhirnya diam dengan pegas kembali ke panjang alami.

#Seberapa jauh meleset kalau memakai cara yang salah?

Tiga jalan pintas yang sering muncul di lembar jawaban, semuanya untuk pertanyaan b:

Cara ketiga paling berbahaya karena hasilnya hanya meleset sekitar 5 persen, sehingga terasa benar. Padahal jawabannya salah secara prinsip: selama pegas tertekan, balok tetap bergesekan dengan lantai.

Cara keempat memakai gaya pegas maksimum $kd$ seolah-olah bekerja di sepanjang tekanan. Hasilnya, usaha pegas dihitung dua kali lebih besar dari seharusnya, dan kompresi yang didapat terlalu kecil.

#Kesalahan yang sering terjadi pada soal pegas dan gesekan

1. Memakai $\frac{1}{2}m{v}_1^2=\frac{1}{2}k{d}^2$ padahal lantainya kasar.
2. Menulis usaha pegas $F\cdot x$ atau $kx\cdot x$. Gaya pegas berubah, jadi usahanya $\frac{1}{2}k{x}^2$.
3. Memberi tanda positif pada usaha gesek saat balok bergerak balik. Usaha gesek selalu $-fs$.
4. Memakai perpindahan, bukan jarak tempuh, untuk usaha gesek. Pada perjalanan pergi-pulang perpindahannya bisa nol, tetapi panasnya tidak.
5. Lupa mengecek gesek statis sebelum menyimpulkan balok kembali. Soal yang memberi ${\mu }_s$ biasanya memang menanyakan hal ini.
6. Menghitung pegas dua kali, sebagai $W_{\text{pegas}}$ di satu ruas dan $\Delta U_{\text{pegas}}$ di ruas lain.
7. Memakai satuan cm untuk $x$ di $\frac{1}{2}k{x}^2$ dengan $k$ dalam N/m. Ubah dulu ke meter.

Kalau soal energimu melibatkan benda berputar, misalnya katrol yang ikut berputar saat beban turun, suku energi kinetik rotasinya dibahas di katrol bermassa dan tegangan tali. Untuk praktikum yang mengukur konstanta pegas, cara melaporkan ketidakpastiannya ada di propagasi ralat pengolahan data praktikum. Kalau UTS sudah dekat, strategi belajar UTS dan UAS membantu menyusun urutan latihan.

#FAQ

#Apa beda teorema usaha-energi dengan hukum kekekalan energi mekanik?

Teorema usaha-energi selalu berlaku, karena ia hanya menyatakan bahwa usaha total sama dengan perubahan energi kinetik. Kekekalan energi mekanik adalah kasus khusus ketika tidak ada gaya nonkonservatif yang melakukan usaha.

#Kenapa usaha pegas memakai setengah?

Karena gaya pegas naik dari nol sampai $kd$ secara linear. Usaha adalah luas di bawah grafik gaya terhadap posisi, dan luas segitiga itu $\frac{1}{2}\times d\times kd=\frac{1}{2}k{d}^2$.

#Apakah gaya normal dan gaya berat melakukan usaha di lantai datar?

Tidak. Keduanya tegak lurus terhadap arah gerak, sehingga usahanya nol. Gaya normal hanya berperan lewat besar gaya gesek, $f={\mu }_{k}N$.

#Bagaimana kalau balok terikat pada pegas, bukan hanya menyentuhnya?

Balok tidak lepas di panjang alami. Ia terus bergerak sampai pegas meregang, lalu berosilasi dengan amplitudo yang mengecil karena gesekan. Setiap setengah osilasi tetap dihitung dengan persamaan $W_{\text{pegas}}+W_{\text{gesek}}=\Delta K$ seperti di atas.

#Kapan gesek statis dipakai dan kapan gesek kinetis?

Gesek kinetis dipakai selama balok bergerak, untuk menghitung usaha gesek. Gesek statis dipakai saat balok diam sesaat, untuk menentukan apakah ia mulai bergerak lagi atau tetap diam.

#Apakah hasil kompresi berubah kalau g = 9,8 m/s²?

Berubah sedikit, karena gaya gesek ikut berubah menjadi $\mathrm{0,25}\times 2\times \mathrm{9,8}=\mathrm{4,9}$ N. Pakai nilai g yang diminta soal, dan tulis nilai itu di jawabanmu supaya penilai bisa mengikuti angkanya.