Katrol Bermassa di Dinamika Rotasi: Kenapa Tegangan Tali Berbeda

Pada katrol bermassa, tegangan tali di kedua sisi katrol tidak sama. Selisih kedua tegangan itulah yang memberi torsi untuk mempercepat putaran katrol. Kalau kamu menyamakannya, persamaan rotasi katrol berubah menjadi $0 = I α$ , padahal katrolnya jelas berputar makin cepat. Hasilnya, percepatan yang kamu dapat sama dengan percepatan katrol ideal, dan jawaban soal momen inersia jadi salah dari langkah pertama.

Artikel ini menurunkan rumus percepatan untuk sistem dua beban di katrol bermassa, menghitungnya untuk silinder pejal dan cincin tipis, lalu mengerjakan varian balok di meja kasar.

#Kenapa tegangan tali di kedua sisi katrol bermassa berbeda?

Tinjau katrol sebagai benda tegar yang berputar pada porosnya. Gaya yang bekerja padanya ada empat: tegangan $T_{1}$ di sisi kiri, tegangan $T_{2}$ di sisi kanan, berat katrol $M g$ , dan gaya dari poros. Berat katrol dan gaya poros bekerja tepat di sumbu putar, jadi lengan momennya nol dan keduanya tidak menghasilkan torsi. Yang tersisa hanya dua tegangan, masing-masing dengan lengan $R$ :

τ_{total} = (T_{2} - T_{1}) R = I α

Karena katrol bermassa punya $I > 0$ dan ia dipercepat ( $α \neq 0$ ), ruas kanan tidak nol. Artinya $T_{2} \neq T_{1}$ . Tali yang tidak selip menempel pada katrol dan "menyeret" katrol lewat gesekan statis, sehingga tegangannya berubah di sepanjang bagian tali yang melilit.

Katrol ideal adalah kasus $I = 0$ . Hanya di kasus itu $T_{1} = T_{2}$ . Jadi kalimat "tegangan tali sama di mana-mana" berlaku untuk katrol tanpa massa, bukan aturan umum.

Diagram gaya sistem dua beban pada katrol bermassa: tegangan T1 di sisi kiri dan T2 di sisi kanan bekerja ke bawah pada katrol dan ke atas pada beban, beban m2 turun dan katrol berputar searah jarum jam

#Menurunkan rumus percepatan sistem katrol bermassa

Misalkan $m_{2} > m_{1}$ , sehingga $m_{2}$ turun dan $m_{1}$ naik dengan percepatan $a$ yang sama besar. Katrol berjari-jari $R$ dan bermomen inersia $I$ . Tali tidak selip, jadi $a = α R$ .

Tulis tiga persamaan, satu untuk setiap benda, dengan arah positif mengikuti arah gerak:

Beban $m_{2}$ (positif ke bawah): $m_{2} g - T_{2} = m_{2} a$
Beban $m_{1}$ (positif ke atas): $T_{1} - m_{1} g = m_{1} a$
Katrol (positif searah jarum jam): $(T_{2} - T_{1}) R = I α = I \frac{a}{R}$ , sehingga $T_{2} - T_{1} = \frac{I}{R^{2}} a$

Jumlahkan persamaan 1 dan 2:

m_{2} g - m_{1} g - (T_{2} - T_{1}) = (m_{1} + m_{2}) a

Substitusikan persamaan 3:

(m_{2} - m_{1}) g = (m_{1} + m_{2} + \frac{I}{R^{2}}) a

a = \frac{(m_{2} - m_{1}) g}{m_{1} + m_{2} + I / R^{2}}

Bentuk ini mudah dibaca. Pembilangnya adalah gaya penggerak bersih, yaitu selisih berat kedua beban. Penyebutnya adalah total "massa" yang harus dipercepat, dan katrol ikut menyumbang sebesar $I / R^{2}$ . Katrol tidak menambah gaya penggerak sedikit pun. Ia hanya menambah kelembaman.

Untuk dua bentuk katrol yang paling sering muncul:

Silinder pejal, $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ , sehingga $I / R^{2} = \frac{1}{2} M$ .
Cincin tipis, $I = M R^{2}$ , sehingga $I / R^{2} = M$ .

Jari-jari $R$ ikut tercoret, jadi pada kedua bentuk itu percepatan tidak bergantung pada ukuran katrol, hanya pada massanya. Soal yang memberi nilai $R$ biasanya memerlukannya untuk menghitung percepatan sudut.

#Contoh soal: katrol ideal, silinder pejal, dan cincin

Dua beban $m_{1} = 2$ kg dan $m_{2} = 3$ kg tergantung pada tali yang melewati katrol bermassa $M = 2$ kg dan berjari-jari $R = 10$ cm. Sistem dilepas dari diam. Hitung percepatan, kedua tegangan tali, dan percepatan sudut katrol. Pakai $g = 10 {m/s}^{2}$ .

Untuk silinder pejal, $I / R^{2} = \frac{1}{2} (2) = 1$ kg:

a = \frac{(3 - 2) (10)}{2 + 3 + 1} = \frac{10}{6} \approx 1,67 {m/s}^{2}

Tegangan tali dihitung dari persamaan masing-masing beban:

T_{1} = m_{1} (g + a) = 2 (10 + \frac{5}{3}) = \frac{70}{3} \approx 23,33 N

T_{2} = m_{2} (g - a) = 3 (10 - \frac{5}{3}) = 25 N

Cek dengan persamaan katrol: $T_{2} - T_{1} = 25 - 23,33 = 1,67$ N, dan $\frac{I}{R^{2}} a = 1 \times 1,67 = 1,67$ N. Cocok. Percepatan sudutnya $α = a / R = 1,67 / 0,1 \approx 16,7 {rad/s}^{2}$ .

Hitungan yang sama untuk ketiga jenis katrol:

Katrol	$I / R^{2}$ (kg)	$a$ (m/s²)	$T_{1}$ (N)	$T_{2}$ (N)	$α$ (rad/s²)
Ideal (tanpa massa)	0	2,00	24,00	24,00	tidak relevan
Silinder pejal	1	1,67	23,33	25,00	16,7
Cincin tipis	2	1,43	22,86	25,71	14,3

Ada tiga pola di tabel ini. Makin besar $I / R^{2}$ , makin kecil percepatannya. $T_{1}$ selalu lebih besar dari berat $m_{1}$ (20 N) karena $m_{1}$ dipercepat ke atas, dan $T_{2}$ selalu lebih kecil dari berat $m_{2}$ (30 N) karena $m_{2}$ dipercepat ke bawah. Selisih $T_{2} - T_{1}$ membesar seiring momen inersia, dari 0 N pada katrol ideal sampai 2,86 N pada cincin.

#Memeriksa jawaban dengan kekekalan energi

Sistem ini tidak punya gesekan yang membuang energi (tali tidak selip, poros dianggap licin), jadi energi mekanik kekal. Ini cara cepat untuk mengecek $a$ .

Saat $m_{2}$ turun sejauh $h$ , $m_{1}$ naik sejauh $h$ . Energi potensial yang dilepas $(m_{2} - m_{1}) g h$ berubah menjadi energi kinetik translasi kedua beban dan energi kinetik rotasi katrol:

(m_{2} - m_{1}) g h = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2} + \frac{I}{R^{2}}) v^{2}

Untuk silinder pejal dan $h = 1$ m: $(1) (10) (1) = \frac{1}{2} (6) v^{2}$ , sehingga $v^{2} = \frac{10}{3}$ dan $v \approx 1,83$ m/s. Dari kinematika, $v^{2} = 2 a h = 2 \times \frac{5}{3} \times 1 = \frac{10}{3}$ . Hasilnya sama, jadi percepatan yang dihitung lewat gaya sudah benar.

Perhatikan bahwa suku $I / R^{2}$ muncul di tempat yang sama dengan di rumus percepatan. Ini bukan kebetulan. Kedua cara menghitung hal yang sama dari sudut pandang berbeda.

#Varian: balok di meja kasar dan beban menggantung

Balok $m_{1} = 4$ kg berada di meja datar dengan koefisien gesek kinetis $μ_{k} = 0,2$ . Balok itu terhubung dengan tali yang melewati katrol silinder pejal bermassa $M = 2$ kg di tepi meja ke beban $m_{2} = 2$ kg yang menggantung. Anggap sistem sudah bergerak. Hitung percepatan dan kedua tegangan tali dengan $g = 10 {m/s}^{2}$ .

Persamaannya:

Beban menggantung: $m_{2} g - T_{2} = m_{2} a$
Balok di meja: $T_{1} - μ_{k} m_{1} g = m_{1} a$
Katrol: $T_{2} - T_{1} = \frac{I}{R^{2}} a$

Jumlahkan ketiganya. Semua tegangan saling menghapus:

a = \frac{m_{2} g - μ_{k} m_{1} g}{m_{1} + m_{2} + I / R^{2}} = \frac{20 - 8}{4 + 2 + 1} = \frac{12}{7} \approx 1,71 {m/s}^{2}

Lalu:

T_{1} = m_{1} a + μ_{k} m_{1} g = 4 (\frac{12}{7}) + 8 = \frac{104}{7} \approx 14,86 N

T_{2} = m_{2} (g - a) = 2 (10 - \frac{12}{7}) = \frac{116}{7} \approx 16,57 N

Cek: $T_{2} - T_{1} = \frac{12}{7} \approx 1,71$ N, sama dengan $\frac{I}{R^{2}} a = 1 \times \frac{12}{7}$ . Sebagai pembanding, dengan katrol ideal percepatannya $12 / 6 = 2$ m/s² dan tegangan di kedua sisi 16 N.

Pola umumnya: pembilang berisi semua gaya yang mendorong sistem searah gerak dikurangi semua gaya yang melawannya, dan penyebut berisi semua massa ditambah $I / R^{2}$ untuk setiap katrol bermassa. Kalau sistem punya dua katrol bermassa, tegangan tali punya tiga nilai berbeda dan penyebutnya mendapat dua suku $I / R^{2}$ .

#Kesalahan yang sering terjadi pada soal katrol bermassa

Menulis satu $T$ untuk kedua sisi. Ini kesalahan utama, dan otomatis memberi jawaban katrol ideal.
Memasukkan berat katrol $M g$ ke persamaan torsi. Berat katrol bekerja di poros, jadi torsinya nol. Berat itu baru berperan kalau soal menanyakan gaya pada poros.
Menulis $α = a$ . Hubungannya $a = α R$ , dengan $R$ dalam meter. Jari-jari 10 cm harus ditulis 0,1 m.
Salah memilih momen inersia, misalnya memakai $\frac{1}{2} M R^{2}$ untuk katrol berbentuk cincin.
Memilih arah positif yang tidak konsisten. Kalau $m_{2}$ positif ke bawah, $m_{1}$ harus positif ke atas dan katrol positif ke arah putaran yang sesuai. Arah yang tidak konsisten membuat tegangan tidak saling menghapus saat dijumlahkan.
Memakai gesekan statis saat sistem sudah bergerak. Kalau soal memberi $μ_{k}$ dan menyatakan sistem bergerak, gaya geseknya $μ_{k} N$ .

Gaya pada poros sering ditanyakan sebagai lanjutan soal. Untuk sistem dua beban tadi dengan silinder pejal, poros menahan $T_{1} + T_{2} + M g = 23,33 + 25 + 20 \approx 68,3$ N ke atas. Angka ini sedikit lebih kecil dari berat total 70 N, karena beban yang lebih berat sedang dipercepat ke bawah.

Kalau soalmu meminta laju di ujung lintasan alih-alih percepatan, pendekatan energi di atas dibahas lebih lengkap di teorema usaha-energi dengan pegas dan gesekan. Untuk laporan praktikum momen inersia, cara menuliskan ketidakpastian ada di ketidakpastian laporan praktikum fisika dan propagasi ralat pengolahan data praktikum.

#FAQ

#Kapan tegangan tali boleh dianggap sama di kedua sisi katrol?

Hanya kalau katrol dianggap tanpa massa dan porosnya licin, atau kalau sistem diam atau bergerak dengan kecepatan tetap. Pada kecepatan tetap $α = 0$ , sehingga $T_{2} - T_{1} = 0$ walaupun katrolnya bermassa.

#Apakah jari-jari katrol memengaruhi percepatan?

Tidak, untuk silinder pejal dan cincin. Momen inersianya sebanding dengan $R^{2}$ , sehingga $I / R^{2}$ hanya bergantung pada massa katrol. Jari-jari baru berpengaruh pada percepatan sudut $α = a / R$ .

#Kenapa massa katrol tidak masuk ke gaya penggerak?

Berat katrol bekerja pada poros yang diam. Ia tidak menarik tali, sehingga tidak ikut mendorong beban. Massanya hanya muncul lewat $I / R^{2}$ sebagai tambahan kelembaman.

#Bagaimana kalau tali selip di katrol?

Hubungan $a = α R$ tidak berlaku lagi, dan soal harus memberi gaya gesek antara tali dan katrol. Soal tingkat pengantar hampir selalu menyatakan tali tidak selip. Kalau tidak disebut, tulis asumsi itu di jawabanmu.

#Apakah boleh langsung memakai rumus a tanpa menulis tiga persamaan?

Untuk mengecek jawaban, boleh. Untuk lembar ujian, tulis ketiga persamaan gerak karena biasanya nilai diberikan per langkah, dan soal lanjutan seperti tegangan tali tetap membutuhkan persamaan masing-masing beban.

#Bagaimana menghitung momen inersia katrol yang bukan silinder pejal atau cincin?

Pakai nilai yang diberikan soal, atau rumus bentuk benda yang sesuai dari tabel momen inersia di bukumu. Rumus percepatan di atas tetap berlaku untuk $I$ berapa pun, asalkan sumbunya melewati pusat katrol.