Tumbukan Dua Dimensi dan Bandul Balistik: Soal Fisika Dasar 1

Soal tumbukan di Fisika Dasar 1 hampir selalu diselesaikan dengan satu alat: kekekalan momentum, yang berlaku di setiap tumbukan selama gaya luar bisa diabaikan sesaat. Energi kinetik hanya kekal pada tumbukan lenting sempurna, dan koefisien restitusi $e$ memberi tahu seberapa jauh sebuah tumbukan dari kondisi itu. Bedanya dengan soal SMA ada dua: di kuliah momentum harus dipecah per komponen x dan y, dan bandul balistik menggabungkan dua tahap yang hukumnya berbeda. Semua contoh di bawah dikerjakan sampai angka akhir, termasuk berapa persen energi kinetik yang hilang.

#Kapan momentum kekal dan kapan energi kinetik kekal?

Momentum kekal karena gaya antarbenda saat tumbukan jauh lebih besar daripada gaya luar (gesekan jalan, gravitasi) selama selang waktu yang sangat singkat. Energi kinetik tidak punya jaminan serupa, karena sebagian bisa berubah jadi panas, bunyi, atau deformasi.

Untuk tumbukan satu dimensi, koefisien restitusi didefinisikan dari kecepatan relatif:

$e=-\frac{v_1^{\prime }-v_2^{\prime }}{v_1-v_2}$

Artinya, $e$ adalah perbandingan laju menjauh setelah tumbukan terhadap laju mendekat sebelum tumbukan. Untuk tumbukan miring antara dua bola licin, rumus ini dipakai hanya pada komponen sepanjang garis yang menghubungkan pusat kedua bola saat bersentuhan. Komponen yang tegak lurus garis itu tidak berubah untuk masing-masing bola.

#Contoh soal tumbukan dengan koefisien restitusi (satu dimensi)

Bola 2 kg bergerak 6 m/s ke kanan dan menabrak bola 3 kg yang diam. Koefisien restitusinya 0,5. Cari kecepatan kedua bola setelah tumbukan.

1. Kekekalan momentum: $2\left(6\right)+3\left(0\right)=2v_1^{\prime }+3v_2^{\prime }$, jadi $2v_1^{\prime }+3v_2^{\prime }=12$.
2. Restitusi: $v_2^{\prime }-v_1^{\prime }=e(v_1-v_2)=\mathrm{0,5}(6-0)=3$, jadi $v_2^{\prime }=v_1^{\prime }+3$.
3. Substitusi: $2v_1^{\prime }+3(v_1^{\prime }+3)=12$, sehingga $5v_1^{\prime }=3$ dan $v_1^{\prime }=\mathrm{0,6}$ m/s.
4. Lalu $v_2^{\prime }=\mathrm{3,6}$ m/s. Keduanya bergerak ke kanan.

Cek energi. Sebelum: $\frac{1}{2}\left(2\right)\left(6^2\right)=36$ J. Sesudah: $\frac{1}{2}\left(2\right)\left({\mathrm{0,6}}^2\right)+\frac{1}{2}\left(3\right)\left({\mathrm{3,6}}^2\right)=\mathrm{0,36}+\mathrm{19,44}=\mathrm{19,8}$ J. Yang hilang 16,2 J, atau 45 persen.

Ada jalan pintas untuk mengecek angka itu. Energi yang hilang sama dengan $(1-e^2)\cdot \frac{1}{2}\mu v_{rel}^2$, dengan massa tereduksi $\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}=\mathrm{1,2}$ kg. Hasilnya $\mathrm{0,75}\times \frac{1}{2}\left(\mathrm{1,2}\right)\left(36\right)=\mathrm{16,2}$ J. Cocok.

#Bagaimana mengerjakan tumbukan dua dimensi per komponen?

Momentum adalah vektor, jadi kekekalannya berlaku untuk tiap komponen secara terpisah:

$\sum p_x\text{ sebelum}=\sum p_x\text{ sesudah},\sum p_y\text{ sebelum}=\sum p_y\text{ sesudah}$

Dua persamaan ini cukup untuk mencari dua besaran yang belum diketahui. Kalau soal menanyakan tiga besaran, kamu butuh informasi tambahan, misalnya keterangan bahwa tumbukannya lenting sempurna.

#Contoh 1: dua mobil bertabrakan di persimpangan lalu menempel

Mobil A (1.200 kg) melaju ke timur 20 m/s. Mobil B (1.500 kg) melaju ke utara 15 m/s. Keduanya bertabrakan dan bergerak bersama. Tentukan kecepatan dan arah bangkai mobil sesaat setelah tabrakan.

1. Momentum arah x (timur): $p_x=1200\times 20=24.000$ kg·m/s.
2. Momentum arah y (utara): $p_y=1500\times 15=22.500$ kg·m/s.
3. Massa gabungan 2.700 kg, sehingga $v_x=24000/2700=\mathrm{8,89}$ m/s dan $v_y=22500/2700=\mathrm{8,33}$ m/s.
4. Besar kecepatan: $v=\sqrt{{\mathrm{8,89}}^2+{\mathrm{8,33}}^2}=\mathrm{12,18}$ m/s.
5. Arah: $\theta ={\tan }^{-1}\left(22500/24000\right)={\mathrm{43,2}}^{\circ }$ dari timur ke arah utara.

Energi kinetik sebelum: $\frac{1}{2}\left(1200\right)\left({20}^2\right)+\frac{1}{2}\left(1500\right)\left({15}^2\right)=240.000+168.750=408.750$ J. Sesudah: $\frac{1}{2}\left(2700\right)\left({\mathrm{12,18}}^2\right)\approx 200.400$ J. Sekitar 208.300 J hilang, yaitu 51 persen energi kinetik berubah jadi deformasi bodi, panas, dan bunyi. Angka sebesar ini wajar untuk tumbukan menempel.

#Contoh 2: bola biliar, satu kecepatan akhir diketahui

Bola A (0,2 kg) bergerak 5 m/s sepanjang sumbu x dan menabrak bola B (0,3 kg) yang diam. Setelah tumbukan, A bergerak 3 m/s pada sudut 40° di atas sumbu x. Cari kecepatan B, lalu tentukan apakah tumbukannya lenting.

1. Arah x: $\mathrm{0,2}\left(5\right)=\mathrm{0,2}\left(3\right)\cos {40}^{\circ }+\mathrm{0,3}{v}_{Bx}$. Ruas kiri 1, suku pertama di kanan $\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,766}=\mathrm{0,460}$. Jadi $v_{Bx}=(1-\mathrm{0,460})/\mathrm{0,3}=\mathrm{1,80}$ m/s.
2. Arah y: $0=\mathrm{0,2}\left(3\right)\sin {40}^{\circ }+\mathrm{0,3}{v}_{By}$. Suku pertama $\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,643}=\mathrm{0,386}$, sehingga $v_{By}=-\mathrm{1,29}$ m/s. Tanda negatif berarti B bergerak ke bawah sumbu x.
3. Besar: $v_B=\sqrt{{\mathrm{1,80}}^2+{\mathrm{1,29}}^2}=\mathrm{2,21}$ m/s, pada sudut ${\mathrm{35,5}}^{\circ }$ di bawah sumbu x.

Cek energi: sebelum 2,5 J, sesudah $\mathrm{0,9}+\mathrm{0,735}=\mathrm{1,63}$ J. Sekitar 35 persen hilang, jadi tumbukan ini tidak lenting sempurna. Komponen y total sebelum tumbukan nol, dan setelah tumbukan pun nol: A ke atas, B ke bawah. Itu cara cepat mengecek tanda.

#Kenapa bandul balistik harus dipecah jadi dua tahap?

Bandul balistik adalah balok kayu yang digantung tali. Peluru ditembakkan ke balok, tertanam di dalamnya, lalu balok berayun naik setinggi $h$. Dari $h$ kita mencari kecepatan peluru.

Kejadiannya ada dua tahap dengan hukum yang berbeda:

1. Tahap tumbukan. Peluru masuk ke balok dalam waktu sangat singkat. Tumbukannya tak lenting sempurna, jadi yang kekal hanya momentum: $mv=(m+M)V$.
2. Tahap ayunan. Setelah peluru diam di dalam balok, tidak ada lagi gesekan internal. Energi mekanik kekal: $\frac{1}{2}(m+M)V^2=(m+M)gh$, sehingga $V=\sqrt{2gh}$.

Gabungan keduanya:

$v=\frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$

#Contoh 3: tinggi ayunan diketahui

Peluru 10 g menancap di balok 2 kg, dan balok naik 20 cm. Pakai $g=\mathrm{9,8}$ m/s².

1. Kecepatan balok sesaat setelah tumbukan: $V=\sqrt{2\left(\mathrm{9,8}\right)\left(\mathrm{0,20}\right)}=\sqrt{\mathrm{3,92}}=\mathrm{1,98}$ m/s.
2. Kecepatan peluru: $v=\frac{\mathrm{2,01}}{\mathrm{0,01}}\times \mathrm{1,98}=201\times \mathrm{1,98}\approx 398$ m/s.
3. Energi kinetik peluru: $\frac{1}{2}\left(\mathrm{0,01}\right)\left({398}^2\right)\approx 792$ J. Energi kinetik balok plus peluru sesaat setelah tumbukan: $\frac{1}{2}\left(\mathrm{2,01}\right)\left(\mathrm{3,92}\right)\approx \mathrm{3,94}$ J.

Lebih dari 99 persen energi hilang di tahap tumbukan. Persentasenya bisa langsung dihitung dari $\frac{M}{m+M}=\frac{2}{\mathrm{2,01}}=\mathrm{99,5}$ persen, tanpa perlu tahu kecepatan peluru.

#Contoh 4: yang diketahui panjang tali dan sudut simpangan

Soal UAS sering tidak memberi $h$, melainkan panjang tali dan sudut maksimum. Peluru 8 g, balok 1,5 kg, tali 1,5 m, balok berayun sampai 25° dari vertikal.

1. Kenaikan tinggi: $h=L(1-\cos \theta )=\mathrm{1,5}(1-\mathrm{0,9063})=\mathrm{0,141}$ m.
2. $V=\sqrt{2\left(\mathrm{9,8}\right)\left(\mathrm{0,141}\right)}=\mathrm{1,66}$ m/s.
3. $v=\frac{\mathrm{1,508}}{\mathrm{0,008}}\times \mathrm{1,66}\approx 313$ m/s.

#Kesalahan yang paling sering memotong nilai

• Memakai kekekalan energi di tahap tumbukan. Ini kesalahan klasik bandul balistik. Kalau Contoh 3 dikerjakan dengan $\frac{1}{2}m{v}^2=(m+M)gh$, hasilnya $v\approx 28$ m/s, empat belas kali lebih kecil dari jawaban benar. Energi tidak kekal saat peluru menancap.
• Menjumlahkan besar momentum, bukan komponennya. Pada Contoh 1, $24.000+22.500=46.500$ kg·m/s bukan momentum total. Yang benar resultan vektornya, sekitar 32.900 kg·m/s.
• Lupa tanda pada komponen. Bola yang terpental ke bawah sumbu x punya $v_y$ negatif. Kalau tandanya dibuang, persamaan arah y tidak akan pernah seimbang.
• Memasukkan massa dalam gram. Di persamaan momentum murni, satuan massa memang saling coret. Begitu masuk ke energi kinetik atau $g$, semuanya wajib dalam kg dan m/s.
• Menerapkan $e$ pada komponen yang salah. Pada tumbukan miring dua bola, restitusi berlaku sepanjang garis pusat, bukan sepanjang sumbu x yang kamu pilih sendiri.

Pola berpikir dua tahap ini sama dengan soal pegas yang ditumbuk balok. Pembahasannya ada di teorema usaha-energi dengan pegas dan gesekan. Kalau dinamika rotasi juga masuk kisi-kisi UAS-mu, lanjutkan ke katrol bermassa dan tegangan tali.

#FAQ

#Apakah momentum tetap kekal kalau ada gesekan dengan lantai?

Selama tumbukan, ya, untuk keperluan soal. Gaya gesek bekerja dalam waktu yang sangat singkat, jadi impulsnya kecil dibanding impuls tumbukan. Setelah tumbukan selesai, gesekan memperlambat benda dan momentum tidak lagi kekal. Karena itu soal tabrakan mobil sering dilanjutkan dengan jarak selip.

#Bagaimana menghitung koefisien restitusi bola yang dijatuhkan?

Untuk bola yang jatuh dari tinggi $h$ dan memantul setinggi $h^{\prime }$ dari lantai diam, $e=\sqrt{h^{\prime }/h}$. Bola yang dijatuhkan dari 2 m dan memantul 1,28 m punya $e=\sqrt{\mathrm{0,64}}=\mathrm{0,8}$.

#Kenapa energi yang hilang di bandul balistik hampir 100 persen?

Karena massa peluru sangat kecil dibanding balok. Fraksi energi yang hilang pada tumbukan menempel dengan target diam adalah $\frac{M}{m+M}$, jadi makin berat baloknya makin mendekati 100 persen.

#Apakah tumbukan dua dimensi bisa lenting sempurna?

Bisa. Kamu lalu punya tiga persamaan: momentum x, momentum y, dan kekekalan energi kinetik. Persamaan energinya kuadratik, jadi aljabarnya lebih panjang. Untuk massa sama dengan satu bola diam, gunakan sifat sudut 90°.

#Arah sudut ditulis dari sumbu mana?

Bebas, asal kamu menyebutkannya. "43,2° dari timur ke utara" dan "46,8° dari utara ke timur" adalah arah yang sama. Dosen akan memotong nilai kalau sudutnya ditulis tanpa acuan.