Volume Benda Putar Metode Cincin: Diputar terhadap Garis y = k

Volume benda putar metode cincin dihitung dengan $V = π \int_{a}^{b} (R_{luar}^{2} - R_{dalam}^{2}) d x$ , dan jari-jarinya adalah jarak dari kurva ke sumbu putar, bukan nilai fungsinya. Selama sumbunya sumbu $x$ , kedua hal itu kebetulan sama, jadi kesalahan konsep ini tidak kelihatan. Begitu soal ujian memutar daerah terhadap $y = 1$ , $y = - 2$ , atau $x = 3$ , jari-jari yang ditulis langsung $f (x)$ akan salah.

Di bawah ini satu daerah yang sama diputar terhadap tiga sumbu berbeda. Hasilnya tiga volume berbeda, dan setiap soal dikerjakan sampai angka akhir.

#Apa rumus metode cincin dan bagaimana menentukan jari-jarinya?

Bayangkan satu irisan tipis yang tegak lurus sumbu putar. Saat diputar, irisan itu menjadi cincin (washer): lingkaran besar dengan lubang lingkaran kecil di tengah. Luas cincinnya $π R_{luar}^{2} - π R_{dalam}^{2}$ , lalu luas itu dijumlahkan sepanjang daerah.

Sumbu putar mendatar ( $y = k$ ): irisan tegak, integral terhadap $x$ .
Sumbu putar tegak ( $x = h$ ): irisan mendatar, integral terhadap $y$ .

Jari-jari selalu berupa jarak, jadi selalu "koordinat yang lebih besar dikurangi yang lebih kecil".

Posisi sumbu putar	Jari-jari ke kurva $y = f (x)$	Jari-jari ke kurva $x = g (y)$
Sumbu $y = k$ di bawah daerah	$f (x) - k$	tidak dipakai
Sumbu $y = k$ di atas daerah	$k - f (x)$	tidak dipakai
Sumbu $x = h$ di kiri daerah	tidak dipakai	$g (y) - h$
Sumbu $x = h$ di kanan daerah	tidak dipakai	$h - g (y)$

Jari-jari luar adalah jarak ke kurva yang lebih jauh dari sumbu. Jari-jari dalam adalah jarak ke kurva yang lebih dekat. Kurva mana yang "jauh" bergantung pada letak sumbunya, dan itulah yang membuat ketiga soal di bawah berbeda.

#Daerah yang dipakai di semua soal

Daerah $D$ dibatasi $y = x$ dan $y = x^{2}$ . Keduanya berpotongan di $x^{2} = x$ , yaitu $x = 0$ dan $x = 1$ , pada titik $(0, 0)$ dan $(1, 1)$ . Di antara keduanya garis $y = x$ berada di atas, karena di $x = \frac{1}{2}$ garis memberi $\frac{1}{2}$ dan parabola memberi $\frac{1}{4}$ . Luas daerah ini $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$ .

Sebagai pembanding, kalau $D$ diputar terhadap sumbu $x$ , sumbunya ada di bawah daerah dengan $k = 0$ , sehingga $R_{luar} = x$ dan $R_{dalam} = x^{2}$ :

V = π \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{4}) d x = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2 π}{15}

#Soal 1: diputar terhadap garis y = 1

Garis $y = 1$ ada di atas daerah (menyentuhnya di titik $(1, 1)$ ). Jarak ke sumbu adalah $1 - y$ . Kurva yang lebih jauh dari $y = 1$ adalah kurva yang lebih rendah, yaitu parabola. Jadi urutannya terbalik dari kasus sumbu $x$ :

$R_{luar} = 1 - x^{2}$ (ke parabola, lebih jauh)
$R_{dalam} = 1 - x$ (ke garis, lebih dekat)

Daerah antara y = x dan y = x² dengan sumbu putar y = 1 di atasnya, irisan tegak, jari-jari luar 1 − x² dan jari-jari dalam 1 − x

Jabarkan selisih kuadratnya dulu supaya integralnya bersih:

(1 - x^{2})^{2} - (1 - x)^{2} = (1 - 2 x^{2} + x^{4}) - (1 - 2 x + x^{2}) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x

V = π \int_{0}^{1} (x^{4} - 3 x^{2} + 2 x) d x = π (\frac{1}{5} - 1 + 1) = \frac{π}{5}

#Soal 2: diputar terhadap garis y = −2

Sekarang sumbunya di bawah daerah. Jarak ke sumbu adalah $y - (- 2) = y + 2$ . Kurva yang lebih jauh dari $y = - 2$ adalah kurva yang lebih tinggi, yaitu garis:

$R_{luar} = x + 2$
$R_{dalam} = x^{2} + 2$

Daerah antara y = x dan y = x² dengan sumbu putar y = −2 di bawahnya, jari-jari luar x + 2 dan jari-jari dalam x² + 2

(x + 2)^{2} - (x^{2} + 2)^{2} = (x^{2} + 4 x + 4) - (x^{4} + 4 x^{2} + 4) = - x^{4} - 3 x^{2} + 4 x

V = π \int_{0}^{1} (- x^{4} - 3 x^{2} + 4 x) d x = π (- \frac{1}{5} - 1 + 2) = \frac{4 π}{5}

Volume ini jauh lebih besar daripada Soal 1 walaupun daerahnya sama, karena daerah berada jauh dari sumbu dan menyapu lingkaran yang lebih lebar.

Kesalahan yang sering muncul di soal ini adalah menulis jari-jari $x - 2$ dan $x^{2} - 2$ , karena "sumbunya $- 2$ , jadi dikurangi 2". Hasilnya $π \int_{0}^{1} [(x - 2)^{2} - (x^{2} - 2)^{2}] d x = - \frac{8 π}{15}$ . Volume negatif adalah tanda pasti bahwa jari-jarinya salah.

#Soal 3: diputar terhadap garis x = 3

Sumbu tegak, jadi irisan harus mendatar dan integralnya terhadap $y$ . Tulis kedua kurva sebagai fungsi $y$ : garis menjadi $x = y$ dan parabola (cabang kanan) menjadi $x = \sqrt{y}$ . Batasnya $y = 0$ sampai $y = 1$ . Di $y = \frac{1}{4}$ , garis memberi $x = \frac{1}{4}$ dan parabola memberi $x = \frac{1}{2}$ , jadi garis di kiri dan parabola di kanan.

Sumbu $x = 3$ ada di kanan daerah, jadi jaraknya $3 - x$ . Kurva yang lebih jauh dari $x = 3$ adalah kurva kiri:

$R_{luar} = 3 - y$
$R_{dalam} = 3 - \sqrt{y}$

Daerah antara x = y dan x = √y dengan sumbu putar x = 3 di kanannya, irisan mendatar, jari-jari luar 3 − y dan jari-jari dalam 3 − √y

(3 - y)^{2} - (3 - \sqrt{y})^{2} = (9 - 6 y + y^{2}) - (9 - 6 \sqrt{y} + y) = y^{2} - 7 y + 6 \sqrt{y}

V = π \int_{0}^{1} (y^{2} - 7 y + 6 y^{1 / 2}) d y = π (\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 4) = \frac{5 π}{6}

Ringkasan keempat perhitungan untuk daerah yang sama:

Sumbu putar	$R_{luar}$	$R_{dalam}$	Volume	Desimal
sumbu $x$ ( $y = 0$ )	$x$	$x^{2}$	$\frac{2 π}{15}$	0,419
$y = 1$	$1 - x^{2}$	$1 - x$	$\frac{π}{5}$	0,628
$y = - 2$	$x + 2$	$x^{2} + 2$	$\frac{4 π}{5}$	2,513
$x = 3$	$3 - y$	$3 - \sqrt{y}$	$\frac{5 π}{6}$	2,618

Soal 3 bisa dicek dengan metode kulit tabung memakai irisan tegak: $2 π \int_{0}^{1} (3 - x) (x - x^{2}) d x = 2 π \cdot \frac{5}{12} = \frac{5 π}{6}$ . Hasilnya sama.

#Kesalahan yang sering terjadi

Menulis $π \int (R_{luar} - R_{dalam})^{2} d x$ . Yang benar adalah selisih kuadrat, bukan kuadrat selisih. Untuk Soal 1, versi salah ini memberi $π \int_{0}^{1} (x - x^{2})^{2} d x = \frac{π}{30}$ .
Memakai nilai fungsi sebagai jari-jari. Kebiasaan dari soal sumbu $x$ membuat orang menulis $R = x$ untuk sumbu $y = 1$ . Selalu tulis jari-jari sebagai "jarak dari sumbu ke kurva".
Tanda jarak terbalik. Untuk sumbu di bawah daerah, jaraknya $f (x) - k$ . Dengan $k = - 2$ , itu menjadi $f (x) + 2$ , bukan $f (x) - 2$ .
Tidak menukar luar dan dalam saat sumbu pindah ke atas. Di Soal 1, kurva bawah justru menjadi jari-jari luar.
Sumbu tegak tetapi tetap mengintegralkan terhadap $x$ . Dengan metode cincin, irisan harus tegak lurus sumbu. Sumbu $x = 3$ berarti irisan mendatar dan $d y$ .
Batas integral dari koordinat yang salah. Di Soal 3 batasnya nilai $y$ dari titik potong, yaitu $0$ dan $1$ . Di soal ini angkanya kebetulan sama dengan nilai $x$ , tetapi untuk daerah lain biasanya tidak.

Kalau menentukan kurva kiri dan kanan untuk irisan mendatar masih membingungkan, latihan di luas daerah antara dua kurva terhadap y memakai langkah yang persis sama.

#FAQ

#Apa beda metode cakram dan metode cincin?

Metode cakram adalah kasus khusus metode cincin dengan $R_{dalam} = 0$ , yaitu saat daerah menempel pada sumbu putar sepanjang selang. Kalau ada celah antara daerah dan sumbu, kamu butuh cincin.

#Sumbu y = 1 menyentuh daerah di titik (1, 1). Apakah itu masalah?

Tidak. Di titik itu kedua jari-jari bernilai nol dan cincinnya menyusut menjadi titik. Rumus tetap berlaku. Yang tidak boleh adalah sumbu yang memotong bagian dalam daerah, karena bagian di kedua sisi sumbu akan menyapu ruang yang tumpang tindih.

#Bagaimana cara cepat mengecek jawaban?

Pakai teorema Pappus: volume sama dengan $2 π \times$ (jarak titik berat daerah ke sumbu) $\times$ luas daerah. Titik berat daerah $D$ ada di $(\frac{1}{2}, \frac{2}{5})$ dan luasnya $\frac{1}{6}$ . Untuk sumbu $y = - 2$ , jaraknya $\frac{2}{5} + 2 = \frac{12}{5}$ , sehingga $V = 2 π \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4 π}{5}$ . Cocok dengan Soal 2.

#Jawaban boleh dibiarkan dalam π?

Boleh, dan biasanya justru diminta. Tulis desimal hanya kalau soal memintanya, misalnya $\frac{4 π}{5} \approx 2,513$ satuan volume.

#Kapan lebih baik pindah ke metode kulit tabung?

Saat irisan yang tegak lurus sumbu memaksa kamu membalik fungsi yang sulit dibalik, atau saat batas kiri dan kanan berganti kurva sehingga integral harus dipecah. Contohnya daerah di bawah $y = x^{3} + x$ yang diputar terhadap sumbu $y$ .