Luas Daerah Antara Dua Kurva: Kapan Harus Integral terhadap y

Luas daerah antara dua kurva dihitung dengan mengintegralkan selisih kedua kurva: atas dikurangi bawah kalau terhadap $x$ , kanan dikurangi kiri kalau terhadap $y$ . Yang membedakan soal kuliah dari soal SMA biasanya dua hal. Pertama, daerah yang harus dipecah dua kalau diintegralkan terhadap $x$ tetapi cukup satu integral kalau terhadap $y$ . Kedua, kurva yang berpotongan di tiga titik sehingga kurva atas bertukar di tengah jalan.

Artikel ini mengerjakan kedua kasus itu sampai angka akhir, dengan dua cara untuk kasus pertama supaya kamu bisa membandingkan bebannya.

#Rumus luas antara dua kurva terhadap x dan terhadap y

Arah irisan	Rumus	Batas integral	Pilih ini kalau
Tegak (terhadap $x$ )	$A = \int_{a}^{b} [f_{atas} (x) - f_{bawah} (x)] d x$	nilai $x$ titik potong	kurva atas dan bawah tidak berganti sepanjang selang
Mendatar (terhadap $y$ )	$A = \int_{c}^{d} [g_{kanan} (y) - g_{kiri} (y)] d y$	nilai $y$ titik potong	kurva kiri dan kanan tidak berganti sepanjang selang

Logikanya sama. Kamu membayangkan irisan tipis selebar $d x$ atau setebal $d y$ , menghitung panjangnya, lalu menjumlahkan semua irisan. Kalau irisan tegak, panjangnya adalah jarak atas ke bawah. Kalau irisan mendatar, panjangnya adalah jarak kanan ke kiri. Karena panjang selalu positif, yang dikurangkan selalu kurva yang posisinya lebih kecil.

Pertanyaan yang menentukan pilihan bukan "fungsinya ditulis dalam apa", melainkan: kalau aku menggeser irisan dari ujung ke ujung, apakah kedua ujung irisan selalu menyentuh kurva yang sama?

#Contoh 1: luas antara x = y² dan y = x − 2

Soal: tentukan luas daerah yang dibatasi parabola $x = y^{2}$ dan garis $y = x - 2$ .

Langkah 1, titik potong. Tulis garis sebagai $x = y + 2$ , lalu samakan dengan $x = y^{2}$ :

y^{2} = y + 2 \Rightarrow y^{2} - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2) (y + 1) = 0

Jadi $y = - 1$ dan $y = 2$ , dengan titik potong $(1, - 1)$ dan $(4, 2)$ .

Langkah 2, tentukan kiri dan kanan. Ambil satu nilai di antara batas, misalnya $y = 0$ . Parabola memberi $x = 0$ , garis memberi $x = 2$ . Jadi garis di kanan, parabola di kiri, dan urutan ini tidak berubah dari $y = - 1$ sampai $y = 2$ .

Daerah antara parabola x = y² dan garis y = x − 2 dengan irisan mendatar dari kurva kiri ke kurva kanan, serta garis putus-putus x = 1 tempat batas bawah berganti kurva

Langkah 3, integralkan terhadap $y$ :

A = \int_{- 1}^{2} [(y + 2) - y^{2}] d y = {[\frac{y^{2}}{2} + 2 y - \frac{y^{3}}{3}]}_{- 1}^{2}

Di $y = 2$ : $2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$ . Di $y = - 1$ : $\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = - \frac{7}{6}$ . Luasnya

A = \frac{10}{3} - (- \frac{7}{6}) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

Satu integral, selesai.

#Kenapa daerah yang sama harus dipecah kalau terhadap x?

Coba kerjakan soal yang sama dengan irisan tegak. Parabola $x = y^{2}$ sekarang harus ditulis sebagai dua fungsi, $y = \sqrt{x}$ (cabang atas) dan $y = - \sqrt{x}$ (cabang bawah). Perhatikan gambar di atas.

Dari $x = 0$ sampai $x = 1$ , irisan tegak menyentuh cabang atas dan cabang bawah parabola.
Dari $x = 1$ sampai $x = 4$ , irisan tegak menyentuh cabang atas parabola dan garis.

Batas bawah berganti kurva di $x = 1$ , jadi integralnya harus dipecah:

A = \int_{0}^{1} [\sqrt{x} - (- \sqrt{x})] d x + \int_{1}^{4} [\sqrt{x} - (x - 2)] d x

Bagian pertama: $\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x = {[\frac{4}{3} x^{3 / 2}]}_{0}^{1} = \frac{4}{3}$ .

Bagian kedua: ${[\frac{2}{3} x^{3 / 2} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x]}_{1}^{4} = (\frac{16}{3} - 8 + 8) - (\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2) = \frac{16}{3} - \frac{13}{6} = \frac{19}{6}$ .

Totalnya $\frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{8}{6} + \frac{19}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ . Sama dengan hasil integral terhadap $y$ , hanya dengan dua integral, akar, dan pangkat pecahan. Di ujian dengan waktu terbatas, selisih beban seperti ini terasa.

#Contoh 2: kurva yang berpotongan di tiga titik

Soal: tentukan luas daerah yang dibatasi $y = x^{3}$ dan $y = 2 x - x^{2}$ .

Langkah 1, titik potong:

x^{3} = 2 x - x^{2} \Rightarrow x^{3} + x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x + 2) (x - 1) = 0

Jadi $x = - 2$ , $x = 0$ , dan $x = 1$ . Tiga titik potong berarti ada dua daerah terpisah, dan kurva atasnya bisa berbeda di masing-masing daerah.

Langkah 2, uji satu titik di tiap selang.

Selang	Titik uji	$x^{3}$	$2 x - x^{2}$	Kurva atas
$[- 2, 0]$	$x = - 1$	$- 1$	$- 3$	$x^{3}$
$[0, 1]$	$x = \frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{4}$	$2 x - x^{2}$

Dua daerah antara y = x³ dan y = 2x − x² yang berpotongan di x = −2, 0, dan 1, dengan kurva atas yang bertukar di x = 0

Langkah 3, integralkan tiap daerah dengan urutan atas dikurangi bawah yang benar.

A_{1} = \int_{- 2}^{0} (x^{3} + x^{2} - 2 x) d x = {[\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2}]}_{- 2}^{0} = 0 - (4 - \frac{8}{3} - 4) = \frac{8}{3}

A_{2} = \int_{0}^{1} (2 x - x^{2} - x^{3}) d x = {[x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

Luas total $A = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{32}{12} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}$ .

#Contoh 3: kedua kurva berbentuk x = g(y)

Kadang soal memberi dua parabola mendatar, misalnya $x = y^{2} - 2 y$ dan $x = 4 - y^{2}$ . Mengintegralkan terhadap $x$ di sini berarti membalik kedua kurva menjadi fungsi akar, jadi integral terhadap $y$ adalah satu-satunya jalan yang masuk akal.

Titik potong: $y^{2} - 2 y = 4 - y^{2}$ memberi $2 y^{2} - 2 y - 4 = 0$ , atau $y^{2} - y - 2 = 0$ , sehingga $y = - 1$ dan $y = 2$ . Di $y = 0$ , kurva pertama memberi $x = 0$ dan kurva kedua $x = 4$ , jadi $x = 4 - y^{2}$ di kanan.

A = \int_{- 1}^{2} [(4 - y^{2}) - (y^{2} - 2 y)] d y = \int_{- 1}^{2} (4 + 2 y - 2 y^{2}) d y = {[4 y + y^{2} - \frac{2 y^{3}}{3}]}_{- 1}^{2}

Di $y = 2$ : $8 + 4 - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}$ . Di $y = - 1$ : $- 4 + 1 + \frac{2}{3} = - \frac{7}{3}$ . Luasnya $\frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9$ .

#Kesalahan yang sering terjadi

Lupa mengubah fungsi ke bentuk $x = g (y)$ . Garis $y = x - 2$ harus ditulis $x = y + 2$ sebelum masuk integral terhadap $y$ . Menulis $(x - 2)$ di dalam $\int \dots d y$ adalah kesalahan yang paling umum.
Batas integral memakai koordinat yang salah. Untuk Contoh 1 terhadap $y$ , batasnya $- 1$ dan $2$ (nilai $y$ ), bukan $1$ dan $4$ (nilai $x$ ).
Kiri dan kanan tertukar. Hasilnya negatif. Jangan menambahkan tanda mutlak lalu lanjut, karena hasil negatif adalah sinyal bahwa urutan di setidaknya satu selang salah.
Hanya memakai $y = \sqrt{x}$ untuk parabola $x = y^{2}$ . Cabang $y = - \sqrt{x}$ ikut membatasi daerah, dan melupakannya membuat bagian $0 \leq x \leq 1$ hilang.
Mengintegralkan sekali saat ada tiga titik potong. Lihat peringatan di Contoh 2.
Menentukan kurva atas dari bentuk grafik "di kepala". Uji satu angka di setiap selang. Hitungan tiga detik itu lebih aman daripada intuisi.

Luas daerah yang sama dipakai lagi saat menghitung volume benda putar. Kalau daerah Contoh 1 diputar, pilihan irisan tegak atau mendatar menentukan apakah kamu memakai metode cincin atau metode kulit tabung. Kalau salah satu batasnya tak hingga, luasnya dihitung sebagai integral tak wajar.

#FAQ

#Hasil luas saya negatif, apa yang salah?

Urutan pengurangan terbalik di setidaknya satu selang. Uji satu angka di setiap selang di antara titik potong, lalu susun ulang integralnya. Luas daerah tidak pernah negatif.

#Bolehkah langsung memakai nilai mutlak?

Secara definisi $A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ memang benar. Tetapi untuk menghitungnya kamu tetap harus memecah di titik tempat $f - g$ berganti tanda, jadi hasil akhirnya sama dengan memecah manual.

#Bagaimana cara cepat tahu kurva mana yang di kanan?

Pilih satu nilai $y$ di antara dua titik potong, masukkan ke kedua persamaan $x = g (y)$ , dan bandingkan nilai $x$ . Nilai yang lebih besar adalah kurva kanan.

#Apa bedanya luas dengan integral tentu biasa?

Integral tentu $\int_{a}^{b} f (x) d x$ menghitung luas bertanda: bagian di bawah sumbu $x$ bernilai negatif. Luas daerah selalu dijumlahkan sebagai nilai positif. Itu sebabnya $\int_{- 2}^{1} (x^{3} + x^{2} - 2 x) d x$ tidak sama dengan luas di Contoh 2.

#Kalau titik potongnya tidak bisa dicari secara aljabar?

Untuk soal seperti $y = \cos x$ dan $y = x$ , titik potongnya hanya bisa didekati secara numerik (sekitar $x \approx 0,739$ ). Di soal ujian tanpa kalkulator, bentuk ini jarang keluar. Kalau keluar, biasanya titik potongnya sudah diberikan.