Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung dan Kapan Lebih Mudah

Volume benda putar metode kulit tabung dihitung dengan $V=2\pi {\int }_a^b\left(\text{jari-jari}\right)\left(\text{tinggi}\right)dx$, memakai irisan yang sejajar sumbu putar. Untuk daerah di bawah $y=f\left(x\right)$ yang diputar terhadap sumbu $y$, rumusnya menjadi $V=2\pi {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx$. Metode ini paling berguna ketika metode cincin memaksa kamu membalik fungsi menjadi $x=g\left(y\right)$ dan pembalikan itu sulit atau tidak mungkin.

Di bawah ini rumusnya diturunkan dari gambar satu kulit, lalu dicocokkan dengan metode cincin pada soal yang sama. Hasil keduanya harus persis sama, dan itu cara terbaik untuk yakin kamu memasang jari-jari dengan benar.

#Dari mana rumus V = 2π∫ x f(x) dx?

Ambil daerah di bawah $y=x^2$ dari $x=0$ sampai $x=2$. Pilih satu irisan tegak tipis di posisi $x$, dengan lebar $dx$ dan tinggi $f\left(x\right)=x^2$. Irisan ini sejajar sumbu $y$, yang menjadi sumbu putar.

Saat diputar mengelilingi sumbu $y$, irisan itu tidak menjadi cakram. Ia menjadi kulit tabung tipis, seperti kaleng tanpa tutup dan alas. Jari-jari kulitnya adalah jarak irisan ke sumbu, yaitu $x$. Tingginya $f\left(x\right)$, dan ketebalannya $dx$.

Sekarang bayangkan kulit itu digunting tegak lalu dibuka menjadi lembaran datar. Hasilnya hampir berupa balok tipis:

• panjangnya sama dengan keliling lingkaran, $2\pi x$
• tingginya $f\left(x\right)$
• tebalnya $dx$

Volume satu kulit $dV=2\pi xf\left(x\right)dx$. Menjumlahkan semua kulit dari $x=a$ sampai $x=b$ memberi

$V=2\pi {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx$

Kalau mau lebih teliti: volume kulit sebenarnya adalah selisih dua tabung, $\pi (x+dx{)}^{2}f(x)-\pi x^{2}f(x)=2\pi xf(x)dx+\pi f(x\left)\right(dx{)}^2$. Suku $(dx{)}^2$ jauh lebih kecil dan hilang saat limit diambil, jadi yang tersisa persis rumus di atas.

#Contoh: y = x², x = 2, diputar terhadap sumbu y

Soal: daerah yang dibatasi $y=x^2$, garis $x=2$, dan sumbu $x$ diputar terhadap sumbu $y$. Hitung volumenya.

Jari-jari kulit $=x$, tinggi $=x^2$, dan $x$ berjalan dari $0$ sampai $2$:

$V=2\pi {\int }_0^{2}x\cdot x^{2}dx=2\pi {\int }_0^2{x}^{3}dx=2\pi {\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=2\pi \cdot 4=8\pi$

Satu integral polinomial, tanpa akar dan tanpa membalik fungsi.

#Cek dengan metode cincin pada soal yang sama

Dengan metode cincin, irisan harus tegak lurus sumbu putar, jadi irisannya mendatar dan integralnya terhadap $y$. Daerah membentang dari $y=0$ sampai $y=4$ (karena $2^2=4$).

Di ketinggian $y$, irisan mendatar membentang dari kurva $x=\sqrt{y}$ sampai garis $x=2$. Diputar terhadap sumbu $y$, irisan ini menjadi cincin dengan:

• $R_{\text{luar}}=2$ (jarak sumbu $y$ ke garis $x=2$)
• $R_{\text{dalam}}=\sqrt{y}$ (jarak sumbu $y$ ke parabola)

$V=\pi {\int }_0^4(2^2-(\sqrt{y}{)}^2)dy=\pi {\int }_0^4(4-y)dy=\pi {[4y-\frac{y^2}{2}]}_0^4=\pi (16-8)=8\pi$

Sama, $8\pi$. Kalau dua metode memberi hasil berbeda, salah satu jari-jari atau batasnya pasti keliru. Untuk soal ini metode cincin masih wajar karena $y=x^2$ mudah dibalik. Sumbu putar selain sumbu koordinat dengan metode cincin dibahas di volume benda putar metode cincin terhadap garis y = k.

#Kapan metode kulit tabung jauh lebih mudah?

Soal: daerah yang dibatasi $y=x^3+x$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ diputar terhadap sumbu $y$.

Dengan kulit tabung, tidak ada yang perlu dibalik:

$V=2\pi {\int }_0^{1}x(x^3+x)dx=2\pi {\int }_0^1(x^4+x^2)dx=2\pi (\frac{1}{5}+\frac{1}{3})=2\pi \cdot \frac{8}{15}=\frac{16\pi }{15}$

Dengan metode cincin, kamu butuh jari-jari dalam berupa $x$ sebagai fungsi $y$, yaitu penyelesaian $x^3+x=y$. Persamaan pangkat tiga ini memang punya rumus penyelesaian (rumus Cardano), tetapi bentuknya panjang dan tidak praktis untuk dikuadratkan lalu diintegralkan. Di ujian, itu jalan buntu.

Tabel ini merangkum pilihan metode berdasarkan bentuk fungsi dan arah sumbu.

Aturannya: pilih metode yang membuat kamu mengintegralkan terhadap variabel yang sudah menjadi input fungsinya. Pengecualian muncul kalau arah irisan itu membuat batas atas atau bawah berganti kurva di tengah selang, seperti yang dibahas di luas daerah antara dua kurva terhadap y.

#Bagaimana kalau sumbunya garis x = h?

Jari-jari tetap berarti jarak dari irisan ke sumbu. Untuk sumbu $x=-1$ dan irisan di posisi $x\ge 0$, jaraknya $x-(-1)=x+1$.

Soal: daerah di bawah $y=2x-x^2$ dan di atas sumbu $x$ diputar terhadap garis $x=-1$. Parabola memotong sumbu $x$ di $x=0$ dan $x=2$.

$V=2\pi {\int }_0^2(x+1)(2x-x^2)dx=2\pi {\int }_0^2(-x^3+x^2+2x)dx=2\pi (-4+\frac{8}{3}+4)=\frac{16\pi }{3}$

Cek dengan metode cincin: dari $y=2x-x^2$ didapat $x=1\pm \sqrt{1-y}$, untuk $0\le y\le 1$. Jari-jari ke garis $x=-1$ adalah $R_{\text{luar}}=2+\sqrt{1-y}$ dan $R_{\text{dalam}}=2-\sqrt{1-y}$. Selisih kuadratnya $8\sqrt{1-y}$, sehingga $V=\pi {\int }_0^{1}8\sqrt{1-y}dy=8\pi \cdot \frac{2}{3}=\frac{16\pi }{3}$. Hasilnya sama, tetapi jalan cincin butuh rumus kuadrat dan akar, sedangkan kulit tabung cukup polinomial.

Kalau sumbunya di kanan daerah, misalnya $x=3$, jari-jarinya menjadi $3-x$.

#Kesalahan yang sering terjadi

1. Lupa faktor $2\pi$, atau menulis $\pi$ seperti di metode cakram. Faktor $2\pi$ datang dari keliling, bukan luas lingkaran.
2. Jari-jari tetap $x$ walaupun sumbunya bukan sumbu $y$. Untuk sumbu $x=-1$, jari-jarinya $x+1$. Untuk sumbu $x=3$, jari-jarinya $3-x$.
3. Tinggi memakai $f\left(x\right)$ padahal daerahnya di antara dua kurva. Tingginya harus atas dikurangi bawah. Untuk daerah antara $y=x$ dan $y=x^2$ yang diputar terhadap sumbu $y$, tingginya $x-x^2$.
4. Batas integral diambil dari sumbu yang salah. Pada kulit tabung terhadap sumbu $y$, batasnya rentang $x$ daerah ($0$ sampai $2$ di contoh utama), bukan rentang $y$ ($0$ sampai $4$).
5. Irisan tegak lurus sumbu. Kulit tabung butuh irisan sejajar sumbu putar. Kalau irisannya tegak lurus, itu metode cincin, dan rumusnya beda.
6. Daerah berada di dua sisi sumbu putar. Kalau sebagian daerah ada di kiri dan sebagian di kanan sumbu, kedua bagian menyapu ruang yang tumpang tindih dan volumenya tidak bisa dijumlahkan begitu saja.

#FAQ

#Apakah hasil kulit tabung selalu sama dengan metode cincin?

Selalu, asalkan keduanya disusun benar untuk daerah dan sumbu yang sama. Itulah kenapa membandingkan dua metode adalah cara mengecek yang paling meyakinkan.

#Bagaimana memakai kulit tabung untuk sumbu x?

Irisannya mendatar, integralnya terhadap $y$, jari-jarinya $y$, dan tingginya kanan dikurangi kiri. Contoh: daerah di bawah $y=\sqrt{x}$ dari $x=0$ sampai $4$, diputar terhadap sumbu $x$. Dengan kulit, $V=2\pi {\int }_0^{2}y(4-y^2)dy=8\pi$. Dengan cakram, $V=\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi$.

#Kenapa memakai keliling 2πx, bukan luas πx²?

Karena yang diputar adalah irisan tipis, bukan seluruh daerah dari sumbu. Irisan setebal $dx$ hanya menyapu kulit lingkaran berjari-jari $x$, dan isi kulit itu sebanding dengan kelilingnya.

#Bagaimana kalau daerahnya di antara dua kurva?

Tinggi kulit adalah selisihnya. Untuk daerah antara $y=x$ dan $y=x^2$ yang diputar terhadap sumbu $y$: $V=2\pi {\int }_0^{1}x(x-x^2)dx=2\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=\frac{\pi }{6}$.

#Daerahnya di sebelah kiri sumbu y, jari-jarinya negatif?

Tidak boleh negatif, karena jari-jari adalah jarak. Untuk daerah dengan $x\le 0$, pakai jari-jari $-x$ (atau $\mid x\mid$), sehingga hasil integralnya tetap positif.