Deret Taylor dan Maclaurin: 5 Ekspansi Wajib Beserta Contoh Soal

Deret Taylor menulis sebuah fungsi sebagai polinom tak hingga di sekitar titik $x = a$ , dan deret Maclaurin adalah kasus khusus $a = 0$ . Kalau kamu hafal lima ekspansi Maclaurin ( $e^{x}$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $\ln (1 + x)$ , dan $\frac{1}{1 - x}$ ), sebagian besar soal deret Taylor dan Maclaurin di UTS bisa diselesaikan tanpa menurunkan fungsi berkali-kali. Artikel ini membahas kelimanya beserta selang konvergensinya, lalu cara memakainya untuk substitusi, turunan, integral, limit, dan aproksimasi.

#Rumus umum deret Taylor dan Maclaurin

Untuk fungsi yang bisa diturunkan berkali-kali di sekitar $a$ :

f (x) = \sum n = 0 \infty \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^{n} = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{''} (a)}{2!} (x - a)^{2} + \dots

Dengan $a = 0$ , rumus ini menjadi deret Maclaurin. Polinom yang dipotong sampai pangkat $n$ disebut polinom Taylor orde $n$ , ditulis $P_{n} (x)$ .

Rumus ini dipakai saat kamu belum punya ekspansi siap pakai. Untuk lima fungsi dasar di bawah, hasilnya sudah dihitung orang sejak lama, dan menurunkannya ulang di ujian hanya membuang waktu.

#Lima ekspansi Maclaurin yang wajib dihafal

Fungsi	Deret	Empat suku pertama	Berlaku untuk
$e^{x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$	$1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6}$	semua $x$
$\sin x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$	$x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040}$	semua $x$
$\cos x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}$	$1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720}$	semua $x$
$\ln (1 + x)$	$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1} x^{n}}{n}$	$x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}$	$- 1 < x \leq 1$
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$	$1 + x + x^{2} + x^{3}$	$- 1 < x < 1$

Beberapa pola membantu mengingat. Sinus hanya punya pangkat ganjil dan cosinus hanya pangkat genap, sesuai sifat ganjil dan genap kedua fungsi itu. Tanda keduanya berganti-ganti. $\ln (1 + x)$ tidak punya faktorial, penyebutnya cukup $n$ . Dan $\frac{1}{1 - x}$ tidak lain adalah deret geometri dengan rasio $x$ .

Selang konvergensi di kolom terakhir itu penting. Tiga yang pertama berlaku di mana saja. Dua yang terakhir hanya berlaku di dekat nol, dan memakainya di luar selang memberi jawaban yang salah. Cara menguji batas selangnya dibahas di artikel memilih uji konvergensi deret.

Grafik berikut menunjukkan seberapa jauh polinom Maclaurin sinus bisa dipercaya. Makin banyak suku, makin lebar daerah yang tertutup dengan baik, tetapi di luar daerah itu polinomnya meleset jauh.

Grafik sin x dibandingkan polinom Maclaurin orde 1, 3, dan 5 yang makin mendekati di sekitar nol

Di $x = 0,5$ , polinom orde 5 memberi 0,4794271, sedangkan $\sin 0,5 = 0,4794255$ . Selisihnya baru muncul di angka desimal keenam.

#Cara mendapat deret baru lewat substitusi

Ganti $x$ di ekspansi dasar dengan ekspresi lain. Selang konvergensi ikut berubah sesuai substitusinya.

Contoh 1: deret Maclaurin $e^{- x^{2}}$ . Ganti $x$ dengan $- x^{2}$ di ekspansi $e^{x}$ :

e^{- x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{6} + \dots

Berlaku untuk semua $x$ , karena ekspansi $e^{x}$ berlaku di mana saja.

Contoh 2: deret $\sin 2 x$ sampai pangkat lima. Ganti $x$ dengan $2 x$ , dan pangkatkan koefisien 2 juga:

\sin 2 x = 2 x - \frac{(2 x)^{3}}{6} + \frac{(2 x)^{5}}{120} = 2 x - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{4}{15} x^{5} - \dots

Hitungannya: $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ dan $\frac{32}{120} = \frac{4}{15}$ .

Contoh 3: deret $\frac{1}{1 + x^{2}}$ . Ganti $x$ dengan $- x^{2}$ di $\frac{1}{1 - x}$ :

\frac{1}{1 + x^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \dots, ∣ x ∣ < 1

Syarat $∣ - x^{2} ∣ < 1$ sama dengan $∣ x ∣ < 1$ .

#Turunan dan integral suku demi suku

Di dalam selang konvergensinya, deret pangkat boleh diturunkan dan diintegralkan suku demi suku. Ini cara cepat mendapat ekspansi yang tidak ada di tabel.

Contoh 4: deret $\arctan x$ . Karena $\frac{d}{d x} \arctan x = \frac{1}{1 + x^{2}}$ , integralkan hasil contoh 3 dari 0 sampai $x$ :

\arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \dots, ∣ x ∣ \leq 1

Contoh 5: menghitung $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}$ . Turunkan $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ :

\frac{1}{(1 - x)^{2}} = \sum n = 1 \infty n x^{n - 1}

Kalikan kedua ruas dengan $x$ , sehingga $\sum n x^{n} = \frac{x}{(1 - x)^{2}}$ . Masukkan $x = \frac{1}{2}$ , yang masih di dalam selang:

\sum n = 1 \infty \frac{n}{2^{n}} = \frac{1 / 2}{(1 / 2)^{2}} = 2

Contoh 6: aproksimasi $\int_{0}^{0,5} e^{- x^{2}} d x$ . Fungsi ini tidak punya antiturunan elementer, jadi integral deret adalah cara yang masuk akal. Integralkan contoh 1 suku demi suku:

\int_{0}^{0,5} e^{- x^{2}} d x = {[x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42}]}_{0}^{0,5} \approx 0,5 - 0,041667 + 0,003125 - 0,000186 = 0,461272

Deretnya berganti tanda, jadi galatnya tidak lebih besar dari suku pertama yang dibuang, yaitu $\frac{{0,5}^{9}}{216} \approx 0,000009$ . Nilai sebenarnya sekitar 0,461281, dan selisihnya memang di bawah batas itu.

#Menghitung limit dengan deret Maclaurin

Banyak limit bentuk $\frac{0}{0}$ yang butuh tiga kali aturan L'Hopital selesai dalam dua baris dengan deret.

Contoh 7:

\lim x \to 0 \frac{\sin x - x}{x^{3}}

Ganti $\sin x$ dengan ekspansinya. Suku $x$ saling menghapus:

\frac{(x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \dots) - x}{x^{3}} = - \frac{1}{6} + \frac{x^{2}}{120} - \dots \to - \frac{1}{6}

Contoh 8:

\lim x \to 0 \frac{\ln (1 + x) - x}{x^{2}} = \lim x \to 0 \frac{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots}{x^{2}} = - \frac{1}{2}

Aturan praktisnya: ekspansikan sampai pangkat yang sama dengan pangkat penyebut. Suku sisanya pasti menuju nol.

#Polinom Taylor di titik bukan nol: aproksimasi √4,1

Fungsi $\sqrt{x}$ tidak punya deret Maclaurin, karena turunannya tidak terdefinisi di $x = 0$ . Untuk menaksir $\sqrt{4,1}$ , pusatkan di $a = 4$ , titik terdekat yang akarnya kita tahu.

Langkah 1, hitung turunan di $a = 4$ :

$f (x) = x^{1 / 2}$ , jadi $f (4) = 2$ .
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- 1 / 2}$ , jadi $f^{'} (4) = \frac{1}{4}$ .
$f^{''} (x) = - \frac{1}{4} x^{- 3 / 2}$ , jadi $f^{''} (4) = - \frac{1}{4 \cdot 8} = - \frac{1}{32}$ .

Langkah 2, susun polinom orde dua:

P_{2} (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4) - \frac{1}{32 \cdot 2!} (x - 4)^{2} = 2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{(x - 4)^{2}}{64}

Langkah 3, masukkan $x = 4,1$ , sehingga $x - 4 = 0,1$ :

P_{2} (4,1) = 2 + 0,025 - \frac{0,01}{64} = 2 + 0,025 - 0,00015625 = 2,02484375

Langkah 4, batas galat dengan sisa Lagrange. Turunan ketiga $f^{'''} (x) = \frac{3}{8} x^{- 5 / 2}$ paling besar di $c = 4$ pada selang $[4; 4,1]$ , yaitu $\frac{3}{8 \cdot 32} = \frac{3}{256}$ . Maka:

∣ R_{2} ∣ \leq \frac{3 / 256}{3!} (0,1)^{3} = \frac{3}{1536} \times 0,001 \approx 0,00000195

Kalkulator memberi $\sqrt{4,1} \approx 2,0248457$ , jadi galat sebenarnya sekitar 0,0000019. Angka ini memang di bawah batas yang kita hitung. Kalau kamu butuh latihan menurunkan pangkat pecahan seperti ini, lihat rumus turunan lengkap.

#Kesalahan yang sering terjadi

Memakai ekspansi di luar selangnya. $\ln (1 + x)$ dengan $x = 2$ tidak konvergen, jadi deret itu tidak bisa dipakai untuk menghitung $\ln 3$ secara langsung.
Lupa memangkatkan koefisien saat substitusi. $\sin 2 x$ punya suku $\frac{(2 x)^{3}}{6} = \frac{8 x^{3}}{6}$ , bukan $\frac{2 x^{3}}{6}$ .
Tertukar faktorial. Ekspansi $\ln (1 + x)$ dan $\frac{1}{1 - x}$ tidak memuat faktorial sama sekali. Yang memuat faktorial hanya $e^{x}$ , $\sin x$ , dan $\cos x$ .
Lupa membagi dengan $n!$ di rumus Taylor. Koefisien $(x - 4)^{2}$ pada contoh akar adalah $\frac{f^{''} (4)}{2}$ , bukan $f^{''} (4)$ . Lupa angka 2 ini membuat hasil meleset di desimal keempat.
Memotong ekspansi terlalu pendek di soal limit. Kalau penyebutnya $x^{3}$ , ekspansi $\sin x$ yang berhenti di $x$ akan memberi $\frac{0}{x^{3}}$ dan kesimpulan limit nol yang salah.

#FAQ

#Apa beda deret Taylor dan deret Maclaurin?

Deret Maclaurin adalah deret Taylor yang dipusatkan di $a = 0$ . Rumusnya sama. Deret Taylor dipakai saat titik pusat yang nyaman bukan nol, misalnya $a = 4$ untuk akar atau $a = 1$ untuk $\ln x$ .

#Berapa suku yang harus ditulis kalau soal tidak menyebutkan?

Umumnya tiga atau empat suku tak nol pertama, ditambah bentuk sigma kalau polanya jelas. Kalau soal meminta polinom orde $n$ , tulis semua suku sampai pangkat $n$ , termasuk yang koefisiennya nol bila diminta.

#Kenapa ln x tidak punya deret Maclaurin?

Karena $\ln x$ tidak terdefinisi di $x = 0$ . Itulah alasan tabel memakai $\ln (1 + x)$ , yang bernilai 0 di $x = 0$ . Untuk $\ln x$ , pakai deret Taylor di $a = 1$ , yang hasilnya sama dengan mengganti $x$ menjadi $x - 1$ pada ekspansi $\ln (1 + x)$ .

#Bagaimana mencari deret Maclaurin dari perkalian dua fungsi?

Kalikan kedua ekspansi seperti mengalikan polinom, lalu kumpulkan suku sampai pangkat yang diminta. Contoh $e^{x} \sin x = (1 + x + \frac{x^{2}}{2}) (x - \frac{x^{3}}{6}) + \dots = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + \dots$ .

#Apakah polinom Taylor orde lebih tinggi selalu lebih akurat?

Di dalam selang konvergensi dan dekat titik pusat, ya. Jauh dari titik pusat bisa tidak, seperti terlihat pada grafik sinus di atas. Di luar selang konvergensi, menambah suku justru memperbesar kesalahan.

#Dari mana angka 5040 dan 720 di ekspansi sinus dan cosinus?

Dari faktorial. $7! = 5040$ dan $6! = 720$ . Hafalkan sampai $7!$ supaya kamu tidak salah hitung di ujian: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040.