Aturan L'Hopital: Bentuk Tak Tentu, Syarat, dan Contoh Soal

Aturan L'Hôpital menyelesaikan limit berbentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty }{\infty }$ dengan mengganti $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ menjadi $\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$, lalu menghitung limitnya lagi. Bentuk tak tentu lain seperti $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $1^{\infty }$, $0^0$, dan ${\infty }^0$ juga bisa dikerjakan, asal diubah dulu menjadi pecahan. Di bawah ini ada contoh soal aturan L'Hôpital untuk ketujuh bentuk itu, ditambah tiga situasi ketika aturan ini justru menyesatkan.

#Apa bunyi aturan L'Hôpital dan apa syaratnya?

Misalkan $f$ dan $g$ terdiferensialkan di sekitar $x=a$ (tidak harus di $a$ sendiri) dan $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$ di sekitar itu. Jika ${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)=0$ dan ${\lim }_{x\to a}g\left(x\right)=0$, atau keduanya menuju $\pm \infty$, dan limit $\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ ada (boleh berhingga atau $\pm \infty$), maka

$\lim x\to a\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim x\to a\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}.$

Aturan yang sama berlaku untuk limit sepihak dan untuk $x\to \pm \infty$.

Ada tiga syarat yang sering dilupakan saat ujian:

1. Bentuknya harus benar-benar $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty }{\infty }$ ketika disubstitusi. Cek dulu, jangan langsung menurunkan.
2. Yang diturunkan adalah pembilang dan penyebut secara terpisah, bukan turunan pecahannya.
3. Limit $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ harus ada. Kalau limit itu tidak ada, kesimpulannya bukan "limit aslinya tidak ada". Kesimpulannya: aturan ini tidak bisa dipakai, cari cara lain.

#Contoh soal bentuk 0/0 dan ∞/∞

Soal 1. Hitung ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$.

Substitusi $x=0$: pembilang $1-1-0=0$, penyebut $0$. Bentuk $\frac{0}{0}$, jadi aturan boleh dipakai.

$\lim x\to 0\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim x\to 0\frac{e^x-1}{2x}$

Masih $\frac{0}{0}$. Turunkan sekali lagi:

$\lim x\to 0\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}.$

Soal 2. Hitung ${\lim }_{x\to \infty }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.

Keduanya menuju $\infty$. Turunan $\ln x$ adalah $\frac{1}{x}$, turunan $\sqrt{x}$ adalah $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$\lim x\to \infty \frac{1/x}{1/\left(2\sqrt{x}\right)}=\lim x\to \infty \frac{2\sqrt{x}}{x}=\lim x\to \infty \frac{2}{\sqrt{x}}=0.$

Hasil ini sering dipakai sebagai fakta: logaritma tumbuh lebih lambat daripada akar mana pun.

Soal 3. Hitung ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^3}$.

Turunan pertama memberi $\frac{{\sec }^{2}x-1}{3x^2}$. Daripada menurunkan lagi (turunan ${\sec }^{2}x$ mulai panjang), pakai identitas ${\sec }^{2}x-1={\tan }^{2}x$:

$\lim x\to 0\frac{{\tan }^{2}x}{3x^2}=\frac{1}{3}{\left(\lim x\to 0\frac{\tan x}{x}\right)}^2=\frac{1}{3}.$

Pelajaran dari soal ini: setelah satu kali L'Hôpital, sederhanakan dulu sebelum menurunkan lagi.

#Bagaimana mengubah bentuk tak tentu lain menjadi pecahan?

Lima bentuk berikut tidak bisa langsung diturunkan. Ubah dulu, baru pakai L'Hôpital.

Untuk tiga bentuk pangkat, ingat langkah terakhir. Kalau $\lim \ln y=L$, maka $\lim y=e^L$. Banyak jawaban berhenti di $L$ dan kehilangan nilai.

#Bentuk 0 · ∞

Soal 4. Hitung ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x$.

$x\to 0$ sementara $\ln x\to -\infty$. Tulis sebagai $\frac{\ln x}{1/x}$, bentuk $\frac{-\infty }{\infty }$:

$\lim x\to 0^{+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim x\to 0^{+}(-x)=0.$

Pilihan penulisan itu menentukan. Kalau kamu menulis $\frac{x}{1/\ln x}$, turunan penyebutnya $-\frac{1}{x(\ln x{)}^2}$ dan soalnya jadi lebih rumit. Aturan praktisnya: taruh logaritma (atau fungsi yang paling sulit) di pembilang.

#Bentuk ∞ − ∞

Soal 5. Hitung ${\lim }_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x})$.

Samakan penyebut:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x-x}{x\sin x}.$

Bentuk $\frac{0}{0}$. Turunan pertama:

$\lim x\to 0\frac{\cos x-1}{\sin x+x\cos x}$

masih $\frac{0}{0}$. Turunan kedua:

$\lim x\to 0\frac{-\sin x}{2\cos x-x\sin x}=\frac{0}{2}=0.$

Perhatikan penyebutnya. Turunan $\sin x+x\cos x$ adalah $\cos x+\cos x-x\sin x$, karena suku $x\cos x$ butuh aturan perkalian. Di sinilah tanda minus paling sering hilang.

#Bentuk 1^∞

Soal 6. Hitung ${\lim }_{x\to \infty }{(1+\frac{1}{x})}^x$.

Misalkan $y={(1+\frac{1}{x})}^x$. Maka

$\ln y=x\ln (1+\frac{1}{x})=\frac{\ln (1+1/x)}{1/x},$

bentuk $\frac{0}{0}$. Turunan pembilang adalah $\frac{1}{1+1/x}\cdot (-\frac{1}{x^2})$, turunan penyebut $-\frac{1}{x^2}$. Faktor $-\frac{1}{x^2}$ saling menghapus:

$\lim x\to \infty \ln y=\lim x\to \infty \frac{1}{1+1/x}=1.$

Jadi $\lim y=e^1=e$. Inilah alasan bilangan $e$ muncul di rumus bunga majemuk kontinu.

Soal 7. Hitung ${\lim }_{x\to 0}(1+2x{)}^{1/x}$.

$\ln y=\frac{\ln (1+2x)}{x}$, bentuk $\frac{0}{0}$. Turunannya $\frac{2/(1+2x)}{1}$, yang menuju $2$. Jadi limitnya $e^2\approx \mathrm{7,389}$.

Pola umumnya ${\lim }_{x\to 0}(1+kx{)}^{1/x}=e^k$. Pola ini berguna untuk mengecek jawaban, tetapi di lembar UTS kamu biasanya tetap diminta menuliskan langkah logaritmanya.

#Bentuk 0^0 dan ∞^0

Soal 8. Hitung ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x$.

$\ln y=x\ln x$. Dari Soal 4, limitnya $0$. Jadi $\lim y=e^0=1$.

Soal 9. Hitung ${\lim }_{x\to \infty }{x}^{1/x}$.

$\ln y=\frac{\ln x}{x}$, bentuk $\frac{\infty }{\infty }$. Turunannya $\frac{1/x}{1}$, yang menuju $0$. Jadi $\lim y=e^0=1$.

#Kapan aturan L'Hôpital tidak boleh dipakai?

#Bentuknya bukan tak tentu

Ambil ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{x+1}$. Substitusi langsung memberi $\frac{1}{1}=1$, selesai. Kalau L'Hôpital dipaksakan, hasilnya $\frac{-\sin x}{1}\to 0$, dan itu salah. Aturan ini hanya sah untuk $\frac{0}{0}$ dan $\frac{\infty }{\infty }$.

Bentuk yang sering dikira tak tentu padahal sudah punya nilai:

• $\frac{0}{\infty }=0$ dan $\frac{\infty }{0^{+}}=\infty$
• $\infty +\infty =\infty$ dan $\infty \cdot \infty =\infty$
• $0^{\infty }=0$ (basis menuju 0 dari kanan)
• $\frac{c}{0}$ dengan $c\ne 0$: limitnya $\pm \infty$ atau tidak ada, jadi cek limit kiri dan kanan

#Turunan berputar tanpa ujung

${\lim }_{x\to \infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ berbentuk $\frac{\infty }{\infty }$. Turunkan pembilang dan penyebut:

$\frac{x/\sqrt{x^2+1}}{1}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$

Turunkan lagi, dan kamu kembali ke $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$. Langkahnya sah, tetapi tidak membawa ke mana-mana. Cara yang benar adalah aljabar. Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (untuk $x>0$, $\sqrt{x^2}=x$):

$\lim x\to \infty \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=1.$

#Limit hasil turunan tidak ada

${\lim }_{x\to \infty }\frac{x+\sin x}{x}$ berbentuk $\frac{\infty }{\infty }$. L'Hôpital memberi $\lim (1+\cos x)$, yang terus berayun antara 0 dan 2 sehingga tidak punya limit. Padahal limit aslinya ada:

$\frac{x+\sin x}{x}=1+\frac{\sin x}{x}\to 1+0=1.$

Ini contoh syarat ketiga tadi. Gagalnya $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ tidak berarti limit aslinya gagal.

#Kesalahan yang paling sering di lembar jawaban

1. Memakai aturan hasil bagi. Menulis ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ lalu mengambil limitnya berarti menghitung limit turunan pecahan, bukan limit pecahannya. Yang benar: $f^{\prime }$ di atas, $g^{\prime }$ di bawah, masing-masing sendiri.
2. Tidak mengecek bentuk di setiap putaran. Setelah satu kali menurunkan, substitusikan lagi. Kalau hasilnya sudah angka biasa, berhenti. Menurunkan sekali lagi pada bentuk yang tidak tak tentu memberi jawaban salah, persis seperti contoh $\frac{\cos x}{x+1}$.
3. Lupa mengembalikan logaritma. Pada bentuk pangkat, jawaban akhirnya $e^L$, bukan $L$.
4. Salah tanda saat menurunkan $\frac{1}{x}$. Turunannya $-\frac{1}{x^2}$. Pada Soal 6, faktor $-\frac{1}{x^2}$ muncul di pembilang dan penyebut lalu saling menghapus. Kalau tanda minus di salah satunya hilang, $\ln y$ menjadi $-1$ dan jawabannya berubah dari $e$ menjadi $e^{-1}$.
5. Menurunkan $\infty -\infty$ secara langsung. Menurunkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{1}{\sin x}$ satu per satu tidak punya dasar. Samakan penyebut dulu.

Kalau aturan turunan dasarmu masih goyah, terutama turunan logaritma dan trigonometri, buka dulu daftar rumus turunan lengkap. Teknik logaritma untuk bentuk pangkat dibahas lebih panjang di turunan x pangkat x.

#Apakah ada cara lain selain L'Hôpital?

Ada, dan kadang lebih cepat:

• Limit trigonometri standar. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}=5$ bisa langsung dari ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$.
• Deret Taylor. Untuk Soal 3, $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\dots$, sehingga $\frac{\tan x-x}{x^3}\to \frac{1}{3}$ dalam satu baris. Tekniknya ada di artikel deret Taylor dan Maclaurin.
• Faktorisasi atau perkalian sekawan untuk limit aljabar seperti $\frac{x^2-4}{x-2}$, yang cukup difaktorkan menjadi $x+2$ dan memberi $4$ di $x=2$.

L'Hôpital juga muncul lagi di Kalkulus 2, misalnya saat menghitung integral tak wajar dengan batas tak hingga. Setelah diintegralkan, sering muncul limit seperti ${\lim }_{b\to \infty }b{e}^{-b}$, yang ditulis ulang sebagai $\frac{b}{e^b}$ lalu diselesaikan dengan aturan ini.

#FAQ

#Berapa kali aturan L'Hôpital boleh dipakai dalam satu soal?

Sebanyak yang diperlukan, asal setiap kali bentuknya masih $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty }{\infty }$. Soal 1 dan Soal 5 butuh dua kali. Kalau sudah tiga atau empat kali dan bentuknya makin rumit, itu tanda kamu perlu menyederhanakan atau pindah ke cara lain.

#Apakah L'Hôpital berlaku untuk limit barisan?

Tidak secara langsung, karena barisan $a_n$ tidak punya turunan terhadap $n$. Ganti $n$ dengan variabel kontinu $x$, hitung ${\lim }_{x\to \infty }f\left(x\right)$ dengan L'Hôpital, lalu simpulkan bahwa limit barisannya sama.

#Kenapa $1^{\infty }$ tidak sama dengan 1?

Karena basisnya hanya mendekati 1, tidak tepat sama dengan 1, sementara pangkatnya membesar tanpa batas. Dua kecenderungan itu saling tarik. Soal 6 menunjukkan hasilnya $e\approx \mathrm{2,718}$, bukan 1.

#Bolehkah langsung menulis $0^0=1$ di jawaban limit?

Tidak. Sebagai limit, nilainya tergantung fungsinya. $x^x$ memang menuju 1, tetapi ada fungsi lain berbentuk $0^0$ yang limitnya berbeda. Tunjukkan langkah logaritmanya.

#Apa bedanya "limit $f^{\prime }/g^{\prime }$ ada" dengan "$f^{\prime }/g^{\prime }$ terdefinisi"?

$f^{\prime }/g^{\prime }$ bisa terdefinisi di setiap titik tetapi tidak punya limit, seperti $1+\cos x$ pada contoh $\frac{x+\sin x}{x}$. Yang dibutuhkan aturan ini adalah limitnya ada, berhingga atau tak hingga.