Rumus Turunan Lengkap Kalkulus: arcsin, arctan, a^x, dan log_a x

Rumus turunan kalkulus yang dipakai di Kalkulus 1 ada sekitar dua puluh, dan cara paling aman menghafalnya adalah langsung dalam bentuk aturan rantai. Di soal UTS, argumen fungsi hampir tidak pernah $x$ polos. Yang muncul adalah $\sin \left(3x^2\right)$, $\arctan \left(e^{2x}\right)$, atau ${\log }_3(1+\sqrt{x})$. Karena itu tabel di bawah menulis setiap rumus dua kali: bentuk dasar dan bentuk dengan fungsi dalam $u$.

Aturannya cuma satu kalimat, dan namanya aturan rantai. Kalau $u$ adalah fungsi dari $x$, turunan $f\left(u\right)$ adalah $f^{\prime }\left(u\right)$ dikali $u^{\prime }$. Faktor $u^{\prime }$ itulah yang paling sering hilang dari lembar jawaban.

#Rumus turunan aljabar, eksponen, dan logaritma

Syaratnya: $a>0$ dan $a\ne 1$. Rumus $x^n$ berlaku untuk $n$ bilangan real apa pun, termasuk pecahan dan negatif, misalnya $\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}{x}^{1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Rumus $a^x$ dan ${\log }_{a}x$ tidak perlu dihafal terpisah kalau kamu tahu asalnya. Karena $a^x=e^{x\ln a}$, turunannya adalah $e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^x\ln a$. Logaritma basis lain bisa ditulis ulang sebagai ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$, dan $\ln a$ hanyalah konstanta, jadi turunannya $\frac{1}{x\ln a}$. Untuk $a=e$, faktor $\ln e=1$ hilang dan kamu kembali ke rumus $e^x$ dan $\ln x$.

#Rumus turunan trigonometri, termasuk sec dan csc

Ada pola yang membantu menghafal tanda. Semua fungsi yang namanya diawali "co" (cos, cot, csc) punya turunan bertanda negatif. Pasangan juga saling mencerminkan: tan berpasangan dengan ${\sec }^2$, cot dengan ${\csc }^2$.

Semua rumus ini hanya berlaku kalau sudut dalam radian. Kalau soal memberi derajat, ubah dulu ke radian sebelum menurunkan.

#Rumus turunan arcsin, arccos, dan arctan

Turunan arcsin bisa diturunkan ulang dalam tiga baris kalau kamu lupa. Misalkan $y=\arcsin x$, berarti $\sin y=x$ dengan $-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$. Turunkan kedua ruas terhadap $x$:

$\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Akar diambil positif karena pada selang tadi $\cos y\ge 0$. Turunan arccos tinggal negatifnya, karena $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ adalah konstanta.

Hati-hati dengan notasi ${\sin }^{-1}x$. Di buku kalkulus, itu berarti $\arcsin x$, bukan $\frac{1}{\sin x}$. Kebalikan dari sinus ditulis $\csc x$ atau $(\sin x{)}^{-1}$.

#Aturan hasil kali dan hasil bagi yang dipakai bersama tabel

Tabel di atas menangani satu fungsi. Begitu dua fungsi dikalikan atau dibagi, kamu butuh dua aturan tambahan:

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }{\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

Contoh hasil kali: $y=x^2\ln x$ memberi $y^{\prime }=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x$. Contoh hasil bagi: $y=\frac{\sin x}{x}$ memberi $y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Urutan pengurangan di pembilang hasil bagi tidak boleh terbalik, karena membaliknya mengubah tanda seluruh jawaban. Kalau penyebutnya konstanta, jangan pakai aturan hasil bagi. Tulis saja sebagai perkalian dengan konstanta, misalnya $\frac{x^3}{5}=\frac{1}{5}{x}^3$.

Semua rumus tabel mengandaikan basis atau pangkatnya konstan. Fungsi seperti $x^x$ atau $(\sin x{)}^x$ punya variabel di basis dan di pangkat sekaligus, jadi rumus $x^n$ dan rumus $a^x$ sama-sama salah. Untuk bentuk itu kamu butuh teknik ln kedua ruas, yang dibahas di turunan x pangkat x dengan diferensiasi logaritmik. Kalau $y$ tidak bisa dipisahkan dari $x$, misalnya $x^3+y^3=6xy$, kamu memakai rumus yang sama tetapi lewat turunan implisit.

Rumus turunan juga jadi bahan utama bab berikutnya. Aturan L'Hôpital, misalnya, hanya berguna kalau kamu bisa menurunkan pembilang dan penyebut dengan cepat dan benar (contohnya di sini).

#Cara memakai notasi Leibniz untuk fungsi berlapis tiga

Untuk fungsi dengan tiga lapis, beri nama tiap lapis lalu kalikan turunannya. Contoh $y=\ln (\sin (3x^2\left)\right)$:

1. Lapis paling dalam: $u=3x^2$, sehingga $\frac{du}{dx}=6x$.
2. Lapis tengah: $v=\sin u$, sehingga $\frac{dv}{du}=\cos u$.
3. Lapis luar: $y=\ln v$, sehingga $\frac{dy}{dv}=\frac{1}{v}$.

Rantainya:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\frac{1}{\sin \left(3x^2\right)}\cdot \cos \left(3x^2\right)\cdot 6x=6x\cot \left(3x^2\right)$

Kalau sudah lancar, kamu tidak perlu menulis $u$ dan $v$. Cukup kerjakan dari luar ke dalam, dan setiap kali satu lapis diturunkan, argumen di dalamnya disalin apa adanya. Fungsi ini terdefinisi hanya saat $\sin \left(3x^2\right)>0$. Sebagai cek angka, di $x=\sqrt{\pi /12}\approx \mathrm{0,5117}$ berlaku $3x^2=\frac{\pi }{4}$ dan $\cot \frac{\pi }{4}=1$, jadi $\frac{dy}{dx}=6\times \mathrm{0,5117}\approx \mathrm{3,070}$.

#Lima soal komposisi lagi, dikerjakan sampai angka

Soal 2. Turunkan $y=\arctan \left(e^{2x}\right)$ lalu hitung nilainya di $x=0$.

Lapisnya: $2x$, lalu $e^{2x}$, lalu arctan.

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(e^{2x}{)}^2}\cdot e^{2x}\cdot 2=\frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}$

Di $x=0$: $\frac{2\cdot 1}{1+1}=1$. Perhatikan $(e^{2x}{)}^2=e^{4x}$, bukan $e^{4x^2}$.

Soal 3. Turunkan $y=(\arcsin 2x{)}^3$ lalu hitung di $x=\frac{1}{4}$.

Lapis luar pangkat tiga, tengah arcsin, dalam $2x$.

$\frac{dy}{dx}=3(\arcsin 2x{)}^2\cdot \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\cdot 2=\frac{6(\arcsin 2x{)}^2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Di $x=\frac{1}{4}$, $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$ dan $\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Hasilnya $\frac{6\cdot {\pi }^2/36}{\sqrt{3}/2}=\frac{{\pi }^2}{3\sqrt{3}}\approx \mathrm{1,899}$.

Soal 4. Turunkan $y=3^{\cos 2x}$ lalu hitung di $x=\frac{\pi }{4}$.

$\frac{dy}{dx}=3^{\cos 2x}\ln 3\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=-2\ln 3\sin \left(2x\right)3^{\cos 2x}$

Di $x=\frac{\pi }{4}$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$ sehingga $3^0=1$, dan $\sin \frac{\pi }{2}=1$. Hasilnya $-2\ln 3\approx -\mathrm{2,197}$.

Soal 5. Turunkan $y={\log }_3(1+\sqrt{x})$ lalu hitung di $x=4$.

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1+\sqrt{x})\ln 3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Di $x=4$: $\frac{1}{3\ln 3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12\ln 3}\approx \mathrm{0,0759}$.

Soal 6. Turunkan $y={\sec }^3\left(4x\right)$ lalu hitung di $x=\frac{\pi }{16}$.

Tulis dulu sebagai $(\sec 4x{)}^3$ supaya urutan lapisnya jelas.

$\frac{dy}{dx}=3{\sec }^2\left(4x\right)\cdot \sec \left(4x\right)\tan \left(4x\right)\cdot 4=12{\sec }^3\left(4x\right)\tan \left(4x\right)$

Di $x=\frac{\pi }{16}$, sudutnya $\frac{\pi }{4}$, dengan $\sec \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$ dan $\tan \frac{\pi }{4}=1$. Hasilnya $12\cdot 2\sqrt{2}=24\sqrt{2}\approx \mathrm{33,94}$.

#Kesalahan yang paling sering memotong nilai

1. Lupa faktor turunan fungsi dalam. Menulis $\frac{d}{dx}\sin \left(3x^2\right)=\cos \left(3x^2\right)$ tanpa $6x$. Ini kesalahan nomor satu, dan dosen biasanya memotong hampir seluruh poin karena hasilnya salah total.
2. Menurunkan argumen yang seharusnya disalin. Menulis $\cos \left(6x\right)$ untuk turunan $\sin \left(3x^2\right)$. Argumen fungsi luar tidak berubah. Yang ditambahkan adalah faktor pengali di luar.
3. Memperlakukan $a^x$ seperti $x^n$. Turunan $2^x$ bukan $x\cdot 2^{x-1}$. Aturan pangkat hanya berlaku kalau pangkatnya konstanta. Kalau basisnya yang konstan, pakai $a^x\ln a$.
4. Tanda negatif pada cos, cot, csc, dan arccos. Apalagi di soal berlapis, satu tanda yang hilang mengubah nilai akhir dari $-\mathrm{2,197}$ menjadi $\mathrm{2,197}$.
5. Mengira ${\sin }^{2}x$ dan $\sin \left(x^2\right)$ sama. Turunan ${\sin }^{2}x$ adalah $2\sin x\cos x$, sedangkan turunan $\sin \left(x^2\right)$ adalah $2x\cos \left(x^2\right)$.
6. Menurunkan dalam derajat. Turunan $\sin x$ adalah $\cos x$ hanya untuk radian. Dalam derajat muncul faktor $\frac{\pi }{180}$.

#FAQ

#Berapa turunan ln|x|?

Sama dengan $\frac{1}{x}$, berlaku untuk semua $x\ne 0$. Untuk , $\ln \mid x\mid =\ln (-x)$, dan turunannya $\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$. Bentuk ini sering muncul lagi saat belajar integral.

#Kenapa turunan arccos sama dengan turunan arcsin tetapi negatif?

Karena $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ untuk semua $x$ di $[-1,1]$. Turunan konstanta nol, jadi turunan keduanya harus saling meniadakan.

#Apakah turunan sec dan csc wajib dihafal?

Sebaiknya iya, karena keduanya muncul lagi di integral substitusi trigonometri. Kalau lupa, tulis $\sec x=(\cos x{)}^{-1}$ lalu turunkan dengan aturan rantai: $-(\cos x{)}^{-2}\cdot (-\sin x)=\sec x\tan x$.

#Lebih baik pakai notasi Leibniz atau notasi aksen?

Untuk soal berlapis tiga atau lebih, notasi Leibniz $\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ membuat setiap faktor terlihat, jadi lebih sulit ada yang tercecer. Untuk soal pendek, notasi aksen lebih cepat. Dosen umumnya menerima keduanya selama langkahnya terbaca.

#Turunan $e^{x^2}$ itu $e^{x^2}$ saja?

Bukan. Turunannya $2x{e}^{x^2}$. Turunan $e^u$ sama dengan dirinya sendiri hanya saat $u=x$. Begitu pangkatnya fungsi lain, faktor $u^{\prime }$ wajib muncul.

#Bagaimana menurunkan akar seperti $\sqrt{x^2+1}$?

Ubah akar menjadi pangkat pecahan, lalu pakai aturan rantai. $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1{)}^{1/2}$, sehingga turunannya $\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Di $x=0$ nilainya 0, dan di $x=1$ nilainya $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx \mathrm{0,707}$. Pola $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ ini layak dihafal karena muncul terus di soal laju terkait.