Uji Konvergensi Deret: Memilih Uji Rasio, Banding, atau Integral

Uji konvergensi deret yang tepat ditentukan oleh bentuk suku ke- $n$ , bukan oleh urutan bab di buku. Faktorial atau pangkat $c^{n}$ hampir selalu selesai dengan uji rasio, pecahan polinom dengan uji banding limit, dan suku yang memuat $\ln n$ dengan uji integral. Di artikel ini ada urutan keputusan yang bisa kamu pakai saat ujian, lalu delapan deret dikerjakan sampai kesimpulan.

#Urutan memilih uji konvergensi deret

Pakai urutan ini setiap kali bertemu $\sum a_{n}$ . Berhenti di langkah pertama yang memberi kesimpulan.

Uji suku ke-n. Hitung $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ . Kalau hasilnya bukan nol (atau tidak ada), deret pasti divergen. Kalau hasilnya nol, uji ini diam, lanjut ke langkah 2.
Kenali bentuk baku. Deret geometri $\sum a r^{n}$ konvergen jika $∣ r ∣ < 1$ . Deret-p $\sum 1 / n^{p}$ konvergen jika $p > 1$ . Dua bentuk ini langsung diputuskan tanpa uji lain.
Ada faktorial atau pangkat berpangkat n? ( $n!$ , $3^{n}$ , $n^{n}$ ). Pakai uji rasio.
Pecahan polinom atau akar polinom? Pakai uji banding limit dengan $1 / n^{p}$ , di mana $p$ adalah derajat penyebut dikurangi derajat pembilang.
Ada $\ln n$ dan fungsinya mudah diintegralkan? Pakai uji integral.
Tanda berganti-ganti karena $(- 1)^{n}$ ? Cek dulu kekonvergenan mutlak (buang tandanya, lalu ulangi langkah 1 sampai 5). Kalau gagal, pakai uji deret ganti tanda.

Tabel berikut merangkum ciri yang perlu kamu cari di soal.

Ciri suku $a_{n}$	Uji pertama yang dicoba	Contoh
Limit suku jelas bukan nol	Uji suku ke-n	$\frac{n}{2 n + 1}$
$a r^{n}$	Rumus deret geometri	$5 {(- \frac{2}{3})}^{n}$
$1 / n^{p}$	Aturan deret-p	$1 / \sqrt{n}$
Ada $n!$ atau $c^{n}$	Uji rasio	$\frac{3^{n}}{n!}$
Rasio polinom	Uji banding limit	$\frac{2 n + 3}{n^{3} - n + 4}$
Ada $\ln n$	Uji integral	$\frac{1}{n \ln n}$

#Kapan uji suku ke-n cukup, dan kapan tidak?

Deret 1: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2 n + 1}$ .

\lim n \to \infty \frac{n}{2 n + 1} = \lim n \to \infty \frac{1}{2 + 1 / n} = \frac{1}{2} \neq 0

Sukunya mendekati 0,5, jadi kamu menjumlahkan tak hingga banyak bilangan yang masing-masing sekitar setengah. Deret ini divergen, selesai di langkah pertama.

Arah sebaliknya yang sering menjebak. Kalau limitnya nol, kamu belum tahu apa-apa. Deret harmonik $\sum 1 / n$ punya suku yang menuju nol, tetapi jumlahnya terus naik tanpa batas. Grafik di bawah membandingkan jumlah parsialnya dengan $\sum 1 / n^{2}$ , yang sukunya juga menuju nol tetapi jumlahnya mendatar.

Grafik jumlah parsial deret 1/n yang terus naik dibandingkan deret 1/n kuadrat yang mendatar mendekati pi kuadrat per enam

Setelah 150 suku, $\sum 1 / n$ baru sekitar 5,59, dan kenaikannya melambat. Namun lambat bukan berarti berhenti. Kurva merah tetap akan menembus angka berapa pun kalau sukunya cukup banyak.

#Deret geometri dan deret-p: langsung diputuskan

Deret 2: $\sum_{n = 0}^{\infty} 5 {(- \frac{2}{3})}^{n}$ .

Ini deret geometri dengan suku pertama $a = 5$ dan rasio $r = - \frac{2}{3}$ . Karena $∣ r ∣ = \frac{2}{3} < 1$ , deret konvergen, dan jumlahnya bisa dihitung:

S = \frac{a}{1 - r} = \frac{5}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{5}{5 / 3} = 3

Perhatikan indeks awalnya. Kalau deret dimulai dari $n = 1$ , suku pertamanya menjadi $5 \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{10}{3}$ , dan jumlahnya berubah menjadi $- \frac{10}{3} \div \frac{5}{3} = - 2$ . Konvergensinya sama, nilainya berbeda.

Deret 3: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ .

Tulis ulang sebagai $\sum 1 / n^{1 / 2}$ . Ini deret-p dengan $p = \frac{1}{2} \leq 1$ , jadi divergen. Tidak perlu uji lain.

#Kenapa uji rasio gagal untuk deret-p?

Uji rasio menghitung

L = \lim n \to \infty ∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣

dengan aturan: $L < 1$ konvergen, $L > 1$ divergen, $L = 1$ tidak ada kesimpulan. Coba pada deret-p:

\frac{1 / (n + 1)^{p}}{1 / n^{p}} = {(\frac{n}{n + 1})}^{p} \to 1 untuk semua p

Artinya $\sum 1 / n$ (divergen) dan $\sum 1 / n^{2}$ (konvergen) sama-sama memberi $L = 1$ . Uji rasio tidak bisa membedakan keduanya. Hal yang sama terjadi pada semua pecahan polinom, karena rasio dua polinom berderajat sama selalu menuju 1. Jadi kalau kamu mendapat $L = 1$ dari pecahan polinom, itu bukan kesalahan hitung. Kamu memilih uji yang salah, dan perlu pindah ke banding limit.

Deret 4: $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}$ .

Di sini uji rasio memang tempatnya:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{3^{n}} = \frac{3}{n + 1} \to 0

$L = 0 < 1$ , deret konvergen. Faktorial menghapus hampir semua faktor saat dibagi, dan itulah alasan uji rasio cocok untuk $n!$ . Sebagai bonus, deret ini sama dengan $e^{3} \approx 20,09$ , yang bisa kamu lihat dari ekspansi $e^{x}$ di artikel deret Taylor dan Maclaurin.

#Uji banding limit untuk pecahan polinom

Aturan uji banding limit: pilih $b_{n} = 1 / n^{p}$ dengan $p$ = derajat penyebut dikurangi derajat pembilang. Hitung $c = \lim a_{n} / b_{n}$ . Kalau $0 < c < \infty$ , kedua deret bernasib sama.

Deret 5: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n + 3}{n^{3} - n + 4}$ .

Derajat penyebut 3, pembilang 1, jadi $p = 2$ dan $b_{n} = 1 / n^{2}$ .

c = \lim n \to \infty \frac{2 n + 3}{n^{3} - n + 4} \cdot n^{2} = \lim n \to \infty \frac{2 n^{3} + 3 n^{2}}{n^{3} - n + 4} = 2

Nilai $c = 2$ positif dan berhingga, sedangkan $\sum 1 / n^{2}$ konvergen ( $p = 2 > 1$ ). Maka deret 5 konvergen. Penyebutnya positif untuk semua $n \geq 1$ (di $n = 1$ nilainya 4), jadi semua suku positif dan uji ini sah dipakai.

Deret 6: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n^{2} + 5}$ .

Selisih derajat $2 - 1 = 1$ , jadi bandingkan dengan $1 / n$ .

c = \lim n \to \infty \frac{n + 1}{n^{2} + 5} \cdot n = \lim n \to \infty \frac{n^{2} + n}{n^{2} + 5} = 1

$c = 1$ , dan $\sum 1 / n$ divergen. Deret 6 divergen, walaupun sukunya menuju nol.

#Uji integral untuk suku yang memuat ln n

Syarat uji integral: $f (x)$ positif, kontinu, dan turun untuk $x$ yang cukup besar, dengan $f (n) = a_{n}$ . Deret dan integral tak wajar $\int^{\infty} f (x) d x$ lalu konvergen atau divergen bersama. Cara menghitung integral tak wajarnya dibahas lebih rinci di integral tak wajar konvergen dan divergen.

Deret 7: $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ .

Fungsi $f (x) = \frac{1}{x \ln x}$ positif dan turun untuk $x \geq 2$ . Dengan substitusi $u = \ln x$ , $d u = d x / x$ :

\int_{2}^{b} \frac{d x}{x \ln x} = \ln (\ln b) - \ln (\ln 2) \to \infty saat b \to \infty

Integralnya divergen, jadi deretnya divergen. Uji banding biasa sulit di sini karena $\frac{1}{n \ln n}$ lebih kecil dari $\frac{1}{n}$ , dan "lebih kecil dari deret divergen" tidak memberi kesimpulan apa pun.

Deret 8: $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}$ .

Turunan $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ adalah $f^{'} (x) = \frac{1 - 2 \ln x}{x^{3}}$ , yang negatif saat $\ln x > \frac{1}{2}$ , yaitu $x > \sqrt{e} \approx 1,65$ . Jadi $f$ turun untuk $x \geq 2$ . Dengan integral parsial ( $u = \ln x$ , $d v = x^{- 2} d x$ ):

\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{x^{2}} d x = {[- \frac{\ln x + 1}{x}]}_{2}^{\infty} = 0 + \frac{\ln 2 + 1}{2} \approx 0,847

Batas di tak hingga bernilai nol karena $\frac{\ln x}{x} \to 0$ (bisa dicek dengan aturan L'Hopital). Integralnya berhingga, jadi deret 8 konvergen. Jika kamu lupa pola integral ini, lihat integral parsial dengan LIATE.

Satu catatan penting: 0,847 adalah nilai integral, bukan jumlah deret. Uji integral hanya memutuskan konvergen atau tidak.

#Kesalahan yang sering terjadi saat menguji konvergensi

Menyimpulkan konvergen karena $a_{n} \to 0$ . Ini kesalahan paling mahal. Limit nol hanyalah syarat perlu. Deret 6 dan deret harmonik membuktikannya.
Memaksa uji rasio pada pecahan polinom. Hasilnya selalu $L = 1$ , dan banyak mahasiswa lalu menulis "konvergen" atau "divergen" tanpa dasar. $L = 1$ artinya tidak ada kesimpulan.
Uji banding biasa dengan arah ketimpangan yang salah. Lebih kecil dari deret konvergen membuktikan konvergen. Lebih kecil dari deret divergen tidak membuktikan apa pun. Kalau ragu arahnya, pakai banding limit yang tidak menuntut ketimpangan.
Lupa memeriksa syarat uji integral. Fungsinya harus turun. Untuk $\frac{\ln x}{x^{2}}$ syarat ini baru berlaku mulai sekitar $x = 1,65$ , jadi deret dimulai dari $n = 2$ atau kamu harus menyebut bahwa beberapa suku awal tidak memengaruhi konvergensi.
Menyamakan nilai integral dengan jumlah deret. $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} = 1$ , sementara $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} \approx 1,645$ .

#FAQ

#Apa beda konvergen mutlak dan konvergen bersyarat?

Deret konvergen mutlak jika $\sum ∣ a_{n} ∣$ konvergen. Deret $\sum \frac{(- 1)^{n + 1}}{n}$ konvergen menurut uji deret ganti tanda, tetapi $\sum \frac{1}{n}$ divergen. Jadi deret itu konvergen bersyarat. Konvergen mutlak selalu berarti konvergen, tidak sebaliknya.

#Kalau uji rasio memberi L = 1, apa yang harus dilakukan?

Ganti uji. Untuk pecahan polinom, pakai banding limit. Untuk suku yang memuat $\ln n$ , coba uji integral. Mengulang uji rasio dengan aljabar yang lebih rapi tidak akan mengubah hasil 1.

#Kapan memakai uji akar?

Saat seluruh suku dipangkatkan $n$ , misalnya $\sum {(\frac{n}{2 n + 1})}^{n}$ . Akar ke- $n$ memberi $\frac{n}{2 n + 1} \to \frac{1}{2} < 1$ , jadi deret konvergen. Aturan $L$ -nya sama dengan uji rasio.

#Bolehkah deret dimulai dari n = 2, bukan n = 1?

Boleh. Membuang atau menambah sejumlah berhingga suku di awal tidak mengubah konvergen atau divergennya deret. Yang berubah hanya nilai jumlahnya, seperti terlihat pada deret geometri di atas.

#Apakah uji integral bisa dipakai untuk deret ganti tanda?

Tidak. Uji integral mensyaratkan suku positif. Untuk deret ganti tanda, uji dulu nilai mutlaknya. Kalau nilai mutlaknya divergen, gunakan uji deret ganti tanda: suku mutlaknya harus turun dan menuju nol.

#Bagaimana tahu harus membandingkan dengan 1/n atau 1/n²?

Lihat derajat tertinggi. Ambil derajat penyebut dikurangi derajat pembilang, dan bandingkan dengan $1 / n^{p}$ untuk $p$ tersebut. Untuk akar, hitung derajatnya sebagai pecahan: $\sqrt{n^{3} + 1}$ berderajat $\frac{3}{2}$ .