Integral Tak Wajar: Kapan Konvergen dan Jebakan Titik Diskontinu

Integral tak wajar adalah integral tentu yang batasnya tak hingga atau yang integrannya meledak (tak terdefinisi) di suatu titik pada selang integrasi. Integral seperti ini tidak boleh dihitung langsung dengan Teorema Dasar Kalkulus. Kamu harus menggantinya dengan limit, lalu melihat apakah limit itu bernilai hingga (konvergen) atau tidak (divergen).

Bagian paling berbahaya bukan integral dengan batas $\infty$, karena itu terlihat jelas. Yang sering menjebak adalah titik diskontinu yang tersembunyi di tengah selang, seperti di ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$.

#Apa saja jenis integral tak wajar?

Ada dua jenis, dan masing-masing punya definisi limit yang harus ditulis eksplisit.

Jenis 1, batas tak hingga. Untuk $f$ kontinu pada $[a,\infty )$:

${\int }_a^{\infty }f\left(x\right)dx=\lim t\to \infty {\int }_a^{t}f\left(x\right)dx$

Kalau kedua batas tak hingga, pecah di titik mana saja, misalnya 0, dan kedua bagian harus konvergen sendiri-sendiri.

Jenis 2, integran tak terdefinisi. Kalau $f$ meledak di batas bawah $a$:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\lim s\to a^{+}{\int }_s^{b}f\left(x\right)dx$

Kalau titik bermasalahnya $c$ ada di dalam selang $(a,b)$, pecah menjadi ${\int }_a^c+{\int }_c^b$, dan keduanya harus konvergen.

Kalau limitnya ada dan hingga, integral disebut konvergen dan nilainya adalah limit tersebut. Kalau limitnya tak hingga atau tidak ada, integral divergen.

Urutan kerja yang aman untuk setiap soal:

1. Cari semua titik bermasalah: batas $\pm \infty$, nol penyebut, logaritma dari nol, akar dari bilangan negatif.
2. Pecah integral supaya setiap bagian punya tepat satu titik bermasalah, di salah satu ujungnya.
3. Ganti titik bermasalah dengan variabel ($t$ atau $s$) dan tulis limitnya.
4. Hitung integral biasa, lalu hitung limitnya.
5. Kalau ada satu bagian yang divergen, seluruh integral divergen. Kalau semua konvergen, jumlahkan.

#Contoh jenis 1: batas sampai tak hingga

Soal: hitung ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx$.

${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx=\lim t\to \infty {[-\frac{1}{x}]}_1^t=\lim t\to \infty (1-\frac{1}{t})=1$

Konvergen, nilainya 1. Daerah yang panjangnya tak hingga ternyata punya luas hingga.

Bandingkan dengan ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx={\lim }_{t\to \infty }\ln t=\infty$. Divergen, padahal $\frac{1}{x}$ juga menuju 0. Jadi integran yang menuju nol belum menjamin konvergen. Yang menentukan adalah seberapa cepat ia menuju nol.

Contoh lain yang sering keluar:

• ${\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx={\lim }_{t\to \infty }(\frac{1}{2}-\frac{e^{-2t}}{2})=\frac{1}{2}$.
• ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx$. Dengan integral parsial, antiturunannya $-x{e}^{-x}-e^{-x}$, sehingga hasilnya ${\lim }_{t\to \infty }(1-t{e}^{-t}-e^{-t})=1$. Limit $t{e}^{-t}\to 0$ didapat dari aturan L'Hôpital. Langkah parsialnya ada di integral parsial dengan LIATE.
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{1+x^2}dx$. Pecah di 0. Masing-masing bagian bernilai ${\lim }_{t\to \infty }\arctan t=\frac{\pi }{2}$, jadi totalnya $\pi$.

#Jebakan titik diskontinu di tengah selang

Soal: hitung ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$.

Kalau dikerjakan langsung, hasilnya ${[-\frac{1}{x}]}_{-1}^1=-1-1=-2$. Jawaban ini salah, dan ada tanda bahaya yang jelas: integran $\frac{1}{x^2}$ selalu positif, jadi luasnya mustahil negatif.

Masalahnya, $\frac{1}{x^2}$ tidak terdefinisi di $x=0$, dan titik itu ada di dalam selang. Teorema Dasar Kalkulus hanya berlaku untuk fungsi yang kontinu di seluruh selang, jadi syaratnya dilanggar. Cara yang benar adalah memecah integral di 0:

${\int }_0^1\frac{1}{x^2}dx=\lim s\to 0^{+}{[-\frac{1}{x}]}_s^1=\lim s\to 0^{+}(-1+\frac{1}{s})=\infty$

Satu bagian sudah divergen, jadi seluruh ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$ divergen. Bagian ${\int }_{-1}^0$ tidak perlu dihitung lagi.

Titik diskontinu di tengah tidak selalu berarti divergen. Contoh: ${\int }_0^3\frac{1}{(x-1{)}^{2/3}}dx$, yang meledak di $x=1$. Antiturunannya $3(x-1{)}^{1/3}$.

• Bagian kiri: ${\lim }_{t\to 1^{-}}{\left[3\right(x-1{)}^{1/3}]}_0^t=0-3(-1{)}^{1/3}=3$.
• Bagian kanan: ${\lim }_{s\to 1^{+}}{\left[3\right(x-1{)}^{1/3}]}_s^3=3\sqrt[3]{2}-0\approx \mathrm{3,780}$.

Totalnya $3+3\sqrt[3]{2}\approx \mathrm{6,780}$. Konvergen.

#Contoh jenis 2 di batas selang

Soal: hitung ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$. Integran meledak di $x=0$.

${\int }_0^1{x}^{-1/2}dx=\lim s\to 0^{+}{\left[2\sqrt{x}\right]}_s^1=2-0=2$

Soal: hitung ${\int }_0^1\ln xdx$. Antiturunannya $x\ln x-x$.

$\lim s\to 0^{+}{[x\ln x-x]}_s^1=(0-1)-\lim s\to 0^{+}(s\ln s-s)=-1-0=-1$

Limit $s\ln s$ berbentuk $0\cdot (-\infty )$. Tulis sebagai $\frac{\ln s}{1/s}$, lalu pakai L'Hôpital: $\frac{1/s}{-1/s^2}=-s\to 0$. Kalau bentuk tak tentu masih membingungkan, lihat aturan L'Hôpital dan bentuk tak tentu.

#Integral 1/x^p: patokan yang wajib dihafal

Hampir semua soal uji banding berujung pada integral $\frac{1}{x^p}$. Hasilnya berbalik tergantung jenisnya.

Contohnya, ${\int }_1^{\infty }{x}^{-3}dx=\frac{1}{2}$ dan ${\int }_0^1{x}^{-1/2}dx=\frac{1}{1-1/2}=2$, sama dengan hasil di atas. Perhatikan bahwa $p=1$ divergen di kedua jenis. Itu sebabnya $\frac{1}{x}$ menjadi batas pemisah.

Cara mengingatnya: menuju tak hingga, fungsi harus turun cukup cepat ($p$ besar). Di dekat nol, fungsi tidak boleh naik terlalu cepat ($p$ kecil).

#Bagaimana kalau antiturunannya tidak bisa dicari?

Untuk integran seperti $e^{-x^2}$ atau $\frac{1}{\sqrt{x^3+5}}$, kamu tidak bisa menghitung nilainya dengan cara biasa. Soal biasanya hanya meminta konvergen atau divergen, dan alatnya adalah uji banding.

Uji banding langsung. Misalkan $0\le f\left(x\right)\le g\left(x\right)$ untuk $x\ge a$.

• Kalau ${\int }_a^{\infty }g$ konvergen, maka ${\int }_a^{\infty }f$ konvergen.
• Kalau ${\int }_a^{\infty }f$ divergen, maka ${\int }_a^{\infty }g$ divergen.

Contoh A: ${\int }_1^{\infty }{e}^{-x^2}dx$. Untuk $x\ge 1$ berlaku $x^2\ge x$, sehingga $e^{-x^2}\le e^{-x}$. Karena ${\int }_1^{\infty }{e}^{-x}dx=\frac{1}{e}$ konvergen, integral semula juga konvergen.

Contoh B: ${\int }_1^{\infty }\frac{2+\sin x}{x}dx$. Karena $2+\sin x\ge 1$, integrannya $\ge \frac{1}{x}$. Integral $\frac{1}{x}$ divergen, jadi integral ini divergen.

Uji banding limit lebih praktis untuk pecahan aljabar. Kalau ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L$ dengan , keduanya bernasib sama.

Contoh C: ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x^3+5}}dx$. Untuk $x$ besar, integran berperilaku seperti $\frac{1}{x^{3/2}}$. Rasionya $\frac{x^{3/2}}{\sqrt{x^3+5}}\to 1$. Karena $p=\frac{3}{2}>1$, integralnya konvergen.

Ide yang sama dipakai di uji integral untuk deret: $\sum \frac{1}{n^p}$ konvergen tepat ketika $p>1$. Penjelasannya ada di memilih uji konvergensi deret.

#Kesalahan yang sering terjadi

1. Tidak memeriksa titik di dalam selang. Kasus ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=-2$ adalah contoh klasiknya. Hal yang sama terjadi pada ${\int }_0^3\frac{1}{x-2}dx$ atau ${\int }_0^{\pi }\tan xdx$.
2. Memakai limit simetris untuk dua batas tak hingga. ${\lim }_{t\to \infty }{\int }_{-t}^{t}xdx=0$, tetapi ${\int }_{-\infty }^{\infty }xdx$ divergen karena ${\int }_0^{\infty }xdx$ sudah divergen. Nilai simetris itu punya nama sendiri (nilai utama Cauchy) dan bukan nilai integral tak wajar.
3. Menganggap $\infty -\infty =0$. Kalau satu bagian divergen, berhenti. Jangan menjumlahkan dua bagian yang sama-sama tak hingga.
4. Membalik arah uji banding. Mengetahui $f\le g$ dengan $\int g$ divergen tidak memberi kesimpulan apa pun tentang $f$.
5. Tidak menulis limit. Di ujian, nilai sering dipotong kalau kamu langsung menulis ${[-\frac{1}{x}]}_1^{\infty }$ dan "memasukkan" tak hingga. Tulis ${\lim }_{t\to \infty }$ secara eksplisit.

#FAQ

#Apakah integran yang menuju nol pasti konvergen?

Tidak. $\frac{1}{x}$ menuju nol tetapi ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx$ divergen. Integran menuju nol hanya syarat yang wajar, bukan jaminan.

#Apakah integral sin x dari 0 sampai tak hingga konvergen?

Tidak. ${\int }_0^t\sin xdx=1-\cos t$, dan nilainya terus berosilasi antara 0 dan 2 tanpa menuju satu angka. Limit yang tidak ada juga termasuk divergen.

#Bagaimana menulis jawaban kalau integralnya divergen?

Tulis limitnya, tunjukkan bahwa limit itu tak hingga atau tidak ada, lalu simpulkan "divergen". Untuk integran positif, menulis $=\infty$ juga lazim diterima.

#Kalau soal tidak menyebut "tak wajar", perlu dicek juga?

Perlu. Soal seperti ${\int }_0^2\frac{dx}{x-1}$ sering ditulis tanpa petunjuk. Cek nol penyebut, akar dari bilangan negatif, dan logaritma dari nol sebelum memasukkan batas.

#Di mana integral tak wajar dipakai selain di kalkulus?

Di statistika, total luas di bawah fungsi kepadatan peluang selalu 1, dan itu adalah integral tak wajar. Contohnya distribusi eksponensial ${\int }_0^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=1$ untuk setiap $\lambda >0$.

#Bagaimana kalau integralnya tak wajar di dua tempat sekaligus?

Pecah di titik mana pun di antaranya dan periksa tiap bagian. Contoh: ${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$ meledak di 0 dan batas atasnya tak hingga. Di dekat 0 integrannya mirip $x^{-1/2}$ (, aman), dan untuk $x$ besar mirip $x^{-3/2}$ ($p>1$, aman). Jadi konvergen. Nilainya bisa dihitung dengan $u=\sqrt{x}$: integral berubah menjadi ${\int }_0^{\infty }\frac{2du}{1+u^2}=\pi$.