Laju Terkait (Related Rates): 5 Soal Cerita Tangki, Tangga, Balon

Soal laju terkait kalkulus (related rates) selalu bisa dikerjakan dengan empat langkah yang sama: gambar dan beri nama variabel, tulis persamaan yang berlaku setiap saat, turunkan terhadap waktu $t$, baru masukkan angka sesaat. Urutan langkah ketiga dan keempat adalah tempat paling banyak mahasiswa kehilangan nilai. Di bawah ada lima soal UTS klasik, yaitu balon, tangga, tangki kerucut, bayangan, dan dua mobil, semuanya dikerjakan dengan prosedur yang persis sama.

#Prosedur empat langkah untuk semua soal laju terkait

1. Gambar situasinya dan beri nama setiap besaran yang berubah ($x$, $y$, $r$, $h$). Tulis laju yang diketahui dan laju yang ditanya sebagai turunan terhadap $t$, lengkap dengan tanda. Besaran yang bertambah punya laju positif, yang berkurang negatif.
2. Tulis satu persamaan yang menghubungkan besaran-besaran itu dan berlaku di setiap saat, bukan hanya di saat yang ditanya. Biasanya rumus volume, Pythagoras, atau segitiga sebangun.
3. Turunkan kedua ruas terhadap $t$. Ini turunan implisit terhadap waktu: setiap variabel yang diturunkan menghasilkan faktor $\frac{d(\cdot )}{dt}$.
4. Masukkan nilai sesaat dan laju yang diketahui, lalu selesaikan untuk laju yang ditanya. Tulis satuannya.

Kalau kamu belum lancar menurunkan $y^2$ menjadi $2y{y}^{\prime }$, latih dulu turunan implisit. Laju terkait adalah persis teknik itu, hanya variabel bebasnya $t$.

#Soal 1: balon bola dipompa, seberapa cepat jari-jarinya bertambah?

Udara dipompa ke balon berbentuk bola dengan laju 100 cm³ per detik. Seberapa cepat jari-jari bertambah saat jari-jarinya 10 cm?

Langkah 1: $r$ jari-jari, $V$ volume. Diketahui $\frac{dV}{dt}=100$ cm³/s, ditanya $\frac{dr}{dt}$ saat $r=10$.

Langkah 2: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

Langkah 3:

$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$

Langkah 4: $100=4\pi (10{)}^2\frac{dr}{dt}$, sehingga $\frac{dr}{dt}=\frac{100}{400\pi }=\frac{1}{4\pi }\approx \mathrm{0,0796}$ cm/s.

Perhatikan hasilnya: semakin besar balon, semakin lambat jari-jarinya bertambah, karena udara yang sama harus menyebar ke permukaan yang lebih luas. Kalau soal lanjutan menanyakan laju luas permukaan, pakai $S=4\pi r^2$, sehingga $\frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}=8\pi \left(10\right)\cdot \frac{1}{4\pi }=20$ cm²/s.

#Soal 2: tangga meluncur di dinding

Tangga sepanjang 5 m bersandar di dinding tegak. Kaki tangga ditarik menjauhi dinding dengan laju 0,5 m/s. Seberapa cepat ujung atas tangga meluncur turun saat kaki tangga berjarak 3 m dari dinding?

Langkah 1: $x$ jarak kaki tangga ke dinding, $y$ tinggi ujung atas. Diketahui $\frac{dx}{dt}=\mathrm{0,5}$ m/s. Ditanya $\frac{dy}{dt}$ saat $x=3$.

Langkah 2: $x^2+y^2=25$. Panjang tangga konstan, jadi 25 tetap angka.

Langkah 3:

$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0\Rightarrow \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$

Langkah 4: saat $x=3$, nilai $y$ belum diberikan, jadi hitung dari persamaan langkah 2: $y=\sqrt{25-9}=4$. Maka $\frac{dy}{dt}=-\frac{3}{4}\left(\mathrm{0,5}\right)=-\mathrm{0,375}$ m/s.

Tanda negatif berarti $y$ berkurang. Jawaban kalimatnya: ujung atas tangga meluncur turun dengan laju 0,375 m/s. Menulis "turun $-\mathrm{0,375}$ m/s" adalah tanda dobel yang sering dicoret dosen.

#Soal 3: tangki kerucut terbalik dan segitiga sebangun

Tangki berbentuk kerucut terbalik punya tinggi 4 m dan jari-jari atas 2 m. Air dialirkan masuk dengan laju 2 m³ per menit. Seberapa cepat permukaan air naik saat kedalaman air 3 m?

Langkah 1: $h$ kedalaman air, $r$ jari-jari permukaan air, $V$ volume air. Diketahui $\frac{dV}{dt}=2$, ditanya $\frac{dh}{dt}$ saat $h=3$.

Langkah 2: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. Rumus ini punya dua variabel yang berubah, $r$ dan $h$, sedangkan soal tidak memberi $\frac{dr}{dt}$. Hilangkan $r$ dengan segitiga sebangun. Penampang air sebangun dengan penampang tangki, jadi $\frac{r}{h}=\frac{2}{4}$, atau $r=\frac{h}{2}$. Substitusi:

$V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{h}{2}\right)}^{2}h=\frac{\pi h^3}{12}$

Langkah 3:

$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi h^2}{4}\frac{dh}{dt}$

Langkah 4: $2=\frac{\pi (3{)}^2}{4}\frac{dh}{dt}$, sehingga $\frac{dh}{dt}=\frac{8}{9\pi }\approx \mathrm{0,283}$ m/menit.

Substitusi segitiga sebangun harus dilakukan di langkah 2, sebelum menurunkan. Kalau kamu menurunkan $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ langsung, muncul $\frac{dr}{dt}$ yang tidak diketahui dan soal terlihat mustahil.

#Soal 4: bayangan di bawah lampu jalan

Lampu jalan berada di puncak tiang setinggi 6 m. Seseorang setinggi 1,8 m berjalan menjauhi tiang dengan laju 1,5 m/s. Seberapa cepat panjang bayangannya bertambah, dan seberapa cepat ujung bayangannya bergerak?

Langkah 1: $x$ jarak orang ke tiang, $s$ panjang bayangan. Diketahui $\frac{dx}{dt}=\mathrm{1,5}$ m/s.

Langkah 2: segitiga besar (tiang, jarak $x+s$) sebangun dengan segitiga kecil (orang, bayangan $s$):

$\frac{6}{x+s}=\frac{\mathrm{1,8}}{s}\Rightarrow 6s=\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,8}s\Rightarrow \mathrm{4,2}s=\mathrm{1,8}x\Rightarrow s=\frac{3}{7}x$

Langkah 3: $\frac{ds}{dt}=\frac{3}{7}\frac{dx}{dt}$.

Langkah 4: $\frac{ds}{dt}=\frac{3}{7}\left(\mathrm{1,5}\right)=\frac{9}{14}\approx \mathrm{0,643}$ m/s. Ujung bayangan berada di jarak $x+s$ dari tiang, jadi lajunya $\mathrm{1,5}+\mathrm{0,643}\approx \mathrm{2,143}$ m/s, tepatnya $\frac{15}{7}$ m/s.

Soal ini sering memberi jarak orang saat itu, misalnya "saat orang berada 10 m dari tiang". Angka itu tidak dipakai sama sekali, karena hubungan $s=\frac{3}{7}x$ linear. Jangan panik kalau ada data yang tidak terpakai.

#Soal 5: dua mobil menjauh dari persimpangan

Mobil A bergerak ke utara dengan laju 60 km/jam, mobil B ke timur dengan laju 80 km/jam, keduanya dari persimpangan yang sama. Seberapa cepat jarak keduanya bertambah saat A berada 3 km dan B berada 4 km dari persimpangan?

Langkah 1: $y$ posisi A, $x$ posisi B, $z$ jarak antarmobil. Diketahui $\frac{dy}{dt}=60$, $\frac{dx}{dt}=80$.

Langkah 2: $z^2=x^2+y^2$.

Langkah 3: $2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}$, atau $z\frac{dz}{dt}=x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}$.

Langkah 4: $z=\sqrt{16+9}=5$. Maka $5\frac{dz}{dt}=4\left(80\right)+3\left(60\right)=500$, sehingga $\frac{dz}{dt}=100$ km/jam.

Variasi yang menguji tanda: mobil A berada 0,6 km di utara persimpangan dan bergerak mendekati persimpangan dengan laju 60 km/jam, mobil B 0,8 km di timur dan menjauh dengan laju 80 km/jam. Sekarang $\frac{dy}{dt}=-60$ karena $y$ berkurang. Dengan $z=1$: $\frac{dz}{dt}=\mathrm{0,8}\left(80\right)+\mathrm{0,6}(-60)=64-36=28$ km/jam. Kalau tandanya terlupa, jawabanmu 100 km/jam, jauh dari benar.

Kelima soal di atas dirangkum di tabel ini:

#Kesalahan yang paling sering terjadi

1. Memasukkan nilai sesaat sebelum menurunkan. Kalau $r=10$ dimasukkan ke $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ sebelum diturunkan, $V$ menjadi konstanta $\frac{4000\pi }{3}$ dan turunannya nol, padahal balon jelas sedang membesar. Angka sesaat baru boleh masuk di langkah 4.
2. Lupa tanda negatif untuk besaran yang berkurang. Air yang bocor, tangga yang turun, mobil yang mendekat, semuanya punya laju negatif. Soal 5 variasi di atas memperlihatkan selisihnya: 28 km/jam lawan 100 km/jam.
3. Tidak menghilangkan variabel ekstra dengan segitiga sebangun. Pada tangki kerucut, menurunkan $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ langsung meninggalkan $\frac{dr}{dt}$ yang tidak diketahui.
4. Lupa menghitung variabel yang tidak diberikan. Pada soal tangga, $y=4$ harus dicari dari Pythagoras dulu.
5. Satuan campur aduk. Laju dalam liter per menit dengan ukuran dalam cm perlu dikonversi dulu, misalnya 1 liter sama dengan 1000 cm³.

Rumus turunan yang dipakai di langkah 3 bisa dicek di tabel rumus turunan lengkap. Kalau soal bergeser dari "seberapa cepat" ke "berapa ukuran terbaik", itu sudah masuk soal cerita maksimum minimum, yang memakai turunan dengan cara berbeda.

#FAQ

#Apa beda laju terkait dengan turunan biasa?

Pada turunan biasa kamu menurunkan terhadap $x$. Pada laju terkait, semua besaran dianggap fungsi dari waktu $t$, lalu diturunkan terhadap $t$. Hasilnya adalah persamaan yang menghubungkan beberapa laju sekaligus.

#Kenapa jawaban saya positif padahal tangganya turun?

Kemungkinan besar kamu menulis $\frac{dx}{dt}$ atau $\frac{dy}{dt}$ dengan tanda yang salah di langkah 1, atau kamu memindahkan suku tanpa mengubah tanda di langkah 3. Hasil yang benar untuk besaran yang turun selalu negatif.

#Apakah boleh langsung memakai rumus akhir tanpa empat langkah?

Untuk mengecek boleh, tetapi dosen biasanya memberi nilai per langkah. Persamaan hubungan dan hasil penurunannya terhadap $t$ adalah bagian yang paling banyak poinnya.

#Bagaimana kalau soal memakai sudut, misalnya sudut tangga dengan lantai?

Prosedurnya sama, hanya persamaannya trigonometri. Untuk tangga 5 m dengan sudut $\theta$ terhadap lantai, $x=5\cos \theta$, sehingga $\frac{dx}{dt}=-5\sin \theta \frac{d\theta }{dt}$. Saat $x=3$, $\sin \theta =\frac{4}{5}$, jadi $\mathrm{0,5}=-4\frac{d\theta }{dt}$ dan $\frac{d\theta }{dt}=-\mathrm{0,125}$ radian per detik.

#Kenapa jari-jari balon makin lambat bertambah padahal pompanya konstan?

Karena $\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dV}{dt}$. Penyebutnya membesar sebanding dengan kuadrat jari-jari. Di $r=20$ cm, lajunya tinggal seperempat dari laju di $r=10$ cm.