Soal Cerita Maksimum Minimum: Cara Membuat Fungsi dari Kalimat

Bagian tersulit soal cerita maksimum minimum turunan bukan menurunkan, melainkan menerjemahkan kalimat menjadi fungsi satu variabel. Begitu fungsinya benar, sisanya rutin: turunkan, cari titik kritis, lalu bandingkan dengan ujung selang. Di bawah ada lima langkah penerjemahan dan empat soal (kotak dari karton, kaleng 1 liter, titik terdekat pada parabola, dan pagar di tepi sungai), dikerjakan sampai angka akhir.

#Lima langkah dari kalimat ke fungsi satu variabel

1. Tentukan besaran yang dioptimalkan dan tulis rumusnya. Ini fungsi tujuan: volume, luas bahan, jarak, atau luas lahan.
2. Beri nama semua ukuran yang muncul di rumus itu. Biasanya ada dua atau lebih, misalnya jari-jari dan tinggi.
3. Cari kalimat yang membatasi ukuran-ukuran tadi, yaitu kendala. Contohnya "volume 1 liter" atau "pagar 240 m". Tulis sebagai persamaan.
4. Pakai kendala untuk menghapus variabel sampai fungsi tujuan tinggal satu variabel.
5. Tulis domainnya, yaitu nilai yang masuk akal secara fisik. Panjang tidak boleh negatif, potongan tidak boleh lebih lebar dari kartonnya.

Setelah lima langkah ini, baru turunkan. Tabel berikut berisi frasa yang paling sering muncul dan terjemahannya.

#Contoh 1: kotak tanpa tutup dari karton 20 cm

Selembar karton persegi bersisi 20 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan memotong persegi bersisi $x$ di keempat sudutnya, lalu melipat sisi-sisinya ke atas. Berapa $x$ agar volume kotak maksimum?

Fungsi tujuan: volume $=\text{panjang}\times \text{lebar}\times \text{tinggi}$. Setelah dipotong dua kali di setiap sisi, alasnya bersisi $20-2x$, dan tingginya $x$:

$V\left(x\right)=x(20-2x{)}^2,0\le x\le 10$

Domain berhenti di 10 karena memotong lebih dari 10 cm di tiap sudut berarti memotong lebih dari setengah sisi karton.

Turunkan dengan aturan hasil kali, lalu faktorkan:

$V^{\prime }\left(x\right)=(20-2x{)}^2+x\cdot 2(20-2x\left)\right(-2)=(20-2x\left)\right(20-6x)$

$V^{\prime }\left(x\right)=0$ saat $x=10$ atau $x=\frac{10}{3}$. Sekarang bandingkan semua kandidat, termasuk ujung selang:

Volume maksimum $\approx \mathrm{592,6}$ cm³ dengan potongan $x=\frac{10}{3}\approx \mathrm{3,33}$ cm. Uji turunan kedua memberi konfirmasi yang sama: $V\left(x\right)=4x^3-80x^2+400x$, sehingga $V^{\prime \prime }\left(x\right)=24x-160$ dan , artinya maksimum.

#Kenapa ujung selang wajib dicek?

Titik kritis hanya calon. Nilai ekstrem pada selang tertutup bisa terjadi di titik kritis atau di ujung selang, dan satu-satunya cara memastikan adalah membandingkan nilainya.

Ubah sedikit soal di atas: karena lipatan karton, potongan minimal harus 4 cm. Domainnya menjadi $4\le x\le 10$. Titik kritis $x=\frac{10}{3}$ sekarang di luar domain, jadi tidak boleh dipakai. Di dalam domain, $V^{\prime }\left(x\right)=(20-2x)(20-6x)$ bernilai negatif (faktor pertama positif, faktor kedua negatif), sehingga volume terus turun. Maksimumnya ada di ujung kiri: $V\left(4\right)=4\cdot {12}^2=576$ cm³.

Kalau kamu langsung menjawab $x=\frac{10}{3}$ tanpa melihat domain, jawabanmu melanggar syarat soal. Inilah alasan langkah 5 di atas tidak boleh dilewati.

#Contoh 2: kaleng 1 liter dengan bahan minimum

Kaleng berbentuk tabung tertutup harus memuat 1 liter (1000 cm³). Berapa jari-jari dan tinggi agar bahan yang dipakai sesedikit mungkin?

Fungsi tujuan: luas permukaan tabung tertutup, dua tutup ditambah selimut:

$S=2\pi r^2+2\pi rh$

Kendala: $\pi r^{2}h=1000$, sehingga $h=\frac{1000}{\pi r^2}$. Substitusikan:

$S\left(r\right)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{1000}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2000}{r},r>0$

Turunkan dan samakan dengan nol:

$S^{\prime }\left(r\right)=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{500}{\pi }\Rightarrow r\approx \mathrm{5,42}\text{ cm}$

Tingginya $h=\frac{1000}{\pi r^2}$. Karena $\pi r^3=500$, bentuk ini sama dengan $h=\frac{1000r}{\pi r^3}=2r\approx \mathrm{10,84}$ cm. Jadi kaleng paling hemat bahan punya tinggi sama dengan diameternya. Luas bahannya $S\approx \mathrm{184,5}+\mathrm{369,1}\approx \mathrm{553,6}$ cm².

Domain $r>0$ adalah selang terbuka, jadi tidak ada ujung untuk dicek. Gantinya, pakai uji turunan kedua: $S^{\prime \prime }\left(r\right)=4\pi +\frac{4000}{r^3}$, selalu positif untuk $r>0$. Artinya titik kritis tunggal ini minimum mutlak.

#Contoh 3: titik pada parabola yang paling dekat ke suatu titik

Cari titik pada parabola $y=x^2$ yang paling dekat ke titik $(0,3)$.

Titik sembarang di parabola ditulis $(x,x^2)$. Jaraknya ke $(0,3)$ adalah $\sqrt{x^2+(x^2-3{)}^2}$. Karena akar fungsi naik, jarak minimum terjadi di tempat yang sama dengan kuadrat jarak minimum. Jadi kerjakan tanpa akar:

$D\left(x\right)=x^2+(x^2-3{)}^2=x^4-5x^2+9$ $D^{\prime }\left(x\right)=4x^3-10x=2x(2x^2-5)=0\Rightarrow x=0\text{ atau }x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Di sini ada jebakan. Titik kritis $x=0$ memberi $D=9$, jarak 3, dan itu justru maksimum lokal: $D^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2-10$, sehingga . Di $x=\pm \sqrt{5/2}\approx \pm \mathrm{1,581}$, $D=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+9=\mathrm{2,75}$ dan $D^{\prime \prime }=30-10=20>0$, jadi minimum.

Titik terdekat adalah $(\pm \mathrm{1,581};\mathrm{2,5})$, dengan jarak $\sqrt{\mathrm{2,75}}\approx \mathrm{1,658}$. Ada dua jawaban karena parabolanya simetris.

#Contoh 4: pagar di tepi sungai

Seorang petani punya pagar 240 m untuk memagari lahan persegi panjang di tepi sungai. Sisi yang berbatasan dengan sungai tidak perlu dipagari. Berapa ukuran lahan agar luasnya maksimum?

Misalkan $x$ panjang dua sisi yang tegak lurus sungai dan $y$ panjang sisi yang sejajar sungai. Kendala: $2x+y=240$, jadi $y=240-2x$. Fungsi tujuan:

$A\left(x\right)=x(240-2x)=240x-2x^2,0\le x\le 120$

$A^{\prime }\left(x\right)=240-4x=0$ memberi $x=60$, sehingga $y=120$ dan $A=7200$ m². Di kedua ujung, $A\left(0\right)=A\left(120\right)=0$. Dan . Jadi ukuran terbaik adalah 60 m × 120 m.

Bandingkan dengan lahan yang keempat sisinya dipagari: dengan 240 m pagar, persegi bersisi 60 m hanya memberi 3600 m². Memanfaatkan sungai sebagai satu sisi menggandakan luasnya.

#Kesalahan yang paling sering terjadi

1. Menurunkan fungsi dua variabel. Menulis $S=2\pi r^2+2\pi rh$ lalu menurunkan terhadap $r$ sambil menganggap $h$ konstanta. Padahal $h$ berubah saat $r$ berubah. Kendala harus dipakai dulu.
2. Tidak menulis domain. Tanpa domain, kamu tidak tahu ujung mana yang perlu dicek, dan tidak bisa membuang titik kritis yang di luar syarat soal, seperti pada kotak dengan potongan minimal 4 cm.
3. Menganggap setiap titik kritis adalah jawaban. Pada soal parabola, $x=0$ adalah titik kritis yang memberi jarak terjauh di sekitarnya, bukan terdekat.
4. Salah menerjemahkan "tanpa tutup" atau "sisi sungai tidak dipagari". Satu sisi ekstra di rumus luas atau keliling mengubah seluruh jawaban.
5. Berhenti di nilai $x$. Soal biasanya menanyakan ukuran lengkap atau nilai maksimumnya. Untuk kaleng, jawab jari-jari, tinggi, dan luas bahan, bukan hanya $r$.

Teknik menurunkan yang dipakai di atas bisa dicek di tabel rumus turunan lengkap. Soal yang menanyakan "seberapa cepat" dan bukan "berapa ukuran terbaik" masuk ke laju terkait. Di kelas ekonomi, prosedur yang sama dipakai untuk mencari laba maksimum dengan MR = MC.

#FAQ

#Kapan pakai uji ujung selang dan kapan pakai uji turunan kedua?

Kalau domainnya selang tertutup, seperti $0\le x\le 10$, bandingkan nilai fungsi di titik kritis dan di kedua ujung. Kalau domainnya terbuka, seperti $r>0$, tidak ada ujung yang bisa dihitung, jadi pakai uji turunan kedua atau periksa tanda turunan pertama di kiri dan kanan titik kritis.

#Kenapa jarak boleh diganti kuadrat jarak?

Karena fungsi akar selalu naik. Kalau $D$ minimum, $\sqrt{D}$ juga minimum di titik yang sama. Menurunkan $D$ tanpa akar jauh lebih pendek dan mengurangi peluang salah hitung.

#Bagaimana kalau kalengnya tanpa tutup?

Fungsi tujuannya berubah menjadi $S=\pi r^2+2\pi rh$, karena hanya ada satu alas. Dengan kendala yang sama, $S\left(r\right)=\pi r^2+\frac{2000}{r}$, titik kritisnya $r^3=\frac{1000}{\pi }$ atau $r\approx \mathrm{6,83}$ cm, dan tingginya sama dengan jari-jarinya.

#Apakah jawaban perlu dibulatkan?

Tulis bentuk eksak dulu, misalnya $x=\frac{10}{3}$ atau $r=\sqrt[3]{500/\pi }$, lalu beri desimalnya. Banyak dosen memberi poin penuh hanya untuk bentuk eksak yang benar, dan desimal saja bisa dianggap kurang teliti.

#Turunan kedua nol di titik kritis, lalu bagaimana?

Uji turunan kedua tidak memberi kesimpulan kalau hasilnya nol. Pakai uji turunan pertama: lihat tanda $f^{\prime }$ sedikit di kiri dan sedikit di kanan titik kritis. Dari positif ke negatif berarti maksimum, dari negatif ke positif berarti minimum.