Turunan Implisit: Contoh Soal, Garis Singgung, dan Turunan Kedua

Turunan implisit dipakai saat $y$ tidak bisa atau sulit dipisahkan dari $x$, misalnya pada kurva $x^3+y^3=6xy$. Caranya: turunkan kedua ruas terhadap $x$, perlakukan $y$ sebagai fungsi dari $x$ sehingga setiap suku yang memuat $y$ ikut dikali $\frac{dy}{dx}$, lalu selesaikan untuk $\frac{dy}{dx}$. Soal ujian kuliah jarang berhenti di situ. Biasanya kamu diminta melanjutkan ke garis singgung, titik dengan garis singgung horizontal, atau turunan kedua, dan tiga hal itulah yang dikerjakan di bawah.

#Aturan dasar: setiap suku y dikali dy/dx

Kuncinya satu: $y$ adalah fungsi dari $x$, jadi menurunkan apa pun yang memuat $y$ memakai aturan rantai. Tabel ini merangkum suku-suku yang paling sering muncul. Tulis $y^{\prime }$ untuk $\frac{dy}{dx}$.

Konstanta di ruas kanan turunannya nol, berapa pun nilainya. Kalau kamu belum hafal turunan fungsi luarnya, cek tabel rumus turunan lengkap.

#Garis singgung kurva x³ + y³ = 6xy di titik (3, 3)

Pertama, pastikan titiknya memang di kurva: $27+27=54$ dan $6\cdot 3\cdot 3=54$. Cocok.

Turunkan kedua ruas. Suku $6xy$ adalah hasil kali, jadi turunannya $6(y+x{y}^{\prime })$:

$3x^2+3y^2{y}^{\prime }=6y+6x{y}^{\prime }$

Kumpulkan semua suku yang memuat $y^{\prime }$ di ruas kiri, sisanya di kanan:

$3y^2{y}^{\prime }-6x{y}^{\prime }=6y-3x^2\Rightarrow y^{\prime }(3y^2-6x)=6y-3x^2$

Bagi, lalu sederhanakan dengan membagi 3:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}$

Masukkan $x=3$ dan $y=3$: $\frac{6-9}{9-6}=\frac{-3}{3}=-1$. Garis singgungnya melalui $(3,3)$ dengan kemiringan $-1$:

$y-3=-1(x-3)\Rightarrow y=-x+6$

Garis normal tegak lurus garis singgung, jadi kemiringannya $-\frac{1}{-1}=1$, dan persamaannya $y=x$.

Perhatikan bahwa rumus $\frac{dy}{dx}$ memuat $x$ dan $y$ sekaligus. Itu wajar untuk turunan implisit, dan itulah sebabnya soal selalu memberi titik lengkap, bukan hanya nilai $x$.

#Di titik mana garis singgungnya horizontal?

Garis singgung horizontal berarti $\frac{dy}{dx}=0$, yaitu pembilang nol sementara penyebut tidak nol. Dari rumus tadi, pembilang nol saat $2y-x^2=0$, atau $y=\frac{x^2}{2}$.

Persamaan ini saja belum cukup, karena titiknya juga harus ada di kurva. Substitusikan $y=\frac{x^2}{2}$ ke $x^3+y^3=6xy$:

$x^3+\frac{x^6}{8}=6x\cdot \frac{x^2}{2}=3x^3\Rightarrow \frac{x^6}{8}=2x^3\Rightarrow x^3(x^3-16)=0$

Ada dua kandidat:

1. $x=0$, sehingga $y=0$. Di titik asal, pembilang dan penyebut sama-sama nol, jadi $\frac{dy}{dx}$ berbentuk $\frac{0}{0}$. Kurva memotong dirinya sendiri di sana dan tidak punya satu garis singgung. Titik ini dibuang.
2. $x^3=16$, sehingga $x=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\approx \mathrm{2,520}$ dan $y=\frac{x^2}{2}=2\sqrt[3]{4}\approx \mathrm{3,175}$. Penyebutnya $y^2-2x\approx \mathrm{10,079}-\mathrm{5,040}=\mathrm{5,040}$, tidak nol. Ini jawabannya.

Garis singgung vertikal terjadi saat penyebut nol dan pembilang tidak nol. Karena persamaan kurva simetris (menukar $x$ dan $y$ tidak mengubahnya), titiknya tinggal dibalik: $(2\sqrt[3]{4},2\sqrt[3]{2})\approx (\mathrm{3,175};\mathrm{2,520})$.

#Turunan kedua implisit dan substitusi balik ke persamaan kurva

Untuk turunan kedua, kurva yang lebih sederhana memperlihatkan triknya dengan jelas. Ambil elips miring $x^2-xy+y^2=3$ dan titik $(1,2)$. Cek titiknya: $1-2+4=3$.

Langkah 1, turunan pertama:

$2x-(y+x{y}^{\prime })+2y{y}^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }=\frac{y-2x}{2y-x}$

Di $(1,2)$: $y^{\prime }=\frac{2-2}{4-1}=0$. Garis singgungnya horizontal.

Langkah 2, turunkan $y^{\prime }$ dengan aturan hasil bagi. Ingat bahwa $y$ di pembilang dan penyebut juga fungsi dari $x$, jadi turunannya $y^{\prime }$, bukan 1:

$y^{\prime \prime }=\frac{(y^{\prime }-2)(2y-x)-(y-2x)(2y^{\prime }-1)}{(2y-x{)}^2}$

Jabarkan pembilangnya. Suku $2y{y}^{\prime }$ muncul dua kali dengan tanda berlawanan, begitu juga $2x$, sehingga yang tersisa hanya $3x{y}^{\prime }-3y$:

$y^{\prime \prime }=\frac{3(x{y}^{\prime }-y)}{(2y-x{)}^2}$

Langkah 3, substitusi $y^{\prime }$ ke dalam $x{y}^{\prime }-y$:

$x{y}^{\prime }-y=\frac{x(y-2x)-y(2y-x)}{2y-x}=\frac{-2(x^2-xy+y^2)}{2y-x}$

Di sinilah substitusi balik bekerja. Bentuk $x^2-xy+y^2$ persis ruas kiri persamaan kurva, yang nilainya 3. Jadi $x{y}^{\prime }-y=\frac{-6}{2y-x}$, dan

$y^{\prime \prime }=\frac{3\cdot \frac{-6}{2y-x}}{(2y-x{)}^2}=\frac{-18}{(2y-x{)}^3}$

Di $(1,2)$: $2y-x=3$, sehingga $y^{\prime \prime }=\frac{-18}{27}=-\frac{2}{3}$. Karena $y^{\prime }=0$ dan , titik $(1,2)$ adalah titik tertinggi elips. Hasil ini bisa dicek: kalau kamu memasukkan $(1,2)$ ke bentuk sebelum substitusi, $x{y}^{\prime }-y=0-2=-2$, lalu $\frac{3(-2)}{9}=-\frac{2}{3}$. Sama.

#Contoh dengan eksponen: e^y + xy = e

Turunan implisit tidak terbatas pada polinomial. Kurva $e^y+xy=e$ melalui $(0,1)$, karena $e^1+0=e$.

$e^y{y}^{\prime }+y+x{y}^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }=\frac{-y}{e^y+x}$

Di $(0,1)$: $y^{\prime }=\frac{-1}{e}\approx -\mathrm{0,368}$. Garis singgungnya $y=1-\frac{x}{e}$. Turunan implisit juga menjadi langkah inti di turunan x pangkat x: ambil ln kedua ruas dulu, lalu turunkan secara implisit.

#Kesalahan yang sering terjadi

1. Menurunkan $y^2$ menjadi $2y$ tanpa $y^{\prime }$. Ini kesalahan paling umum dan membuat semua langkah sesudahnya salah.
2. Menurunkan $xy$ menjadi $y^{\prime }$ atau $1\cdot y^{\prime }$ saja. Suku $xy$ adalah hasil kali, turunannya $y+x{y}^{\prime }$. Kalau suku $y$ hilang, pada soal di atas kamu akan mendapat kemiringan yang berbeda.
3. Memasukkan titik sebelum menurunkan. Kalau $y=3$ dimasukkan dulu, $y^3$ menjadi konstanta 27 dan turunannya nol. Turunkan dulu, baru substitusi.
4. Lupa bahwa $y$ di dalam rumus $y^{\prime }$ juga harus diturunkan saat mencari $y^{\prime \prime }$. Menganggap turunan $2y-x$ sama dengan $2-1$ adalah salah. Yang benar $2y^{\prime }-1$.
5. Tidak mengecek penyebut saat mencari garis singgung horizontal. Titik asal pada contoh di atas memenuhi pembilang nol, tetapi penyebutnya juga nol, jadi bukan titik dengan garis singgung horizontal.

Turunan implisit terhadap waktu adalah inti dari soal laju terkait. Bedanya, variabelnya diturunkan terhadap $t$, bukan terhadap $x$.

#FAQ

#Kapan harus pakai turunan implisit dan kapan cukup turunan biasa?

Kalau $y$ bisa diisolasi dengan mudah, misalnya $y=\sqrt{25-x^2}$, turunan biasa sudah cukup. Kalau persamaannya seperti $x^3+y^3=6xy$, mengisolasi $y$ butuh rumus kubik yang sangat panjang, jadi turunan implisit jauh lebih praktis. Soal yang menulis "tentukan $\frac{dy}{dx}$ secara implisit" mewajibkan cara implisit walaupun $y$ bisa diisolasi.

#Apakah jawaban dy/dx boleh memuat y?

Boleh, dan memang biasanya begitu. Jawaban $\frac{2y-x^2}{y^2-2x}$ sudah lengkap. Nilai angkanya baru bisa dihitung kalau titiknya diberikan lengkap, $x$ dan $y$.

#Bagaimana mencari persamaan garis normal?

Kemiringan garis normal adalah $-\frac{1}{m}$, dengan $m$ kemiringan garis singgung. Di $(3,3)$ pada contoh di atas, $m=-1$, jadi normalnya berkemiringan 1 dan persamaannya $y=x$. Kalau garis singgungnya horizontal, garis normalnya vertikal dengan persamaan $x=x_0$.

#Kenapa turunan kedua saya tidak sama dengan kunci jawaban?

Sering kali sama, hanya belum disederhanakan. Bentuk $\frac{3(x{y}^{\prime }-y)}{(2y-x{)}^2}$ dan $\frac{-18}{(2y-x{)}^3}$ bernilai sama di setiap titik kurva. Cara mengeceknya: masukkan satu titik ke kedua bentuk dan bandingkan angkanya, seperti dilakukan di atas.

#Apakah turunan kedua dipakai untuk menentukan maksimum atau minimum?

Ya. Di titik dengan $y^{\prime }=0$, tanda $y^{\prime \prime }$ menentukan jenisnya. Negatif berarti maksimum lokal, positif berarti minimum lokal. Uji yang sama dipakai di soal cerita maksimum minimum.