PD Linear Orde Satu: Faktor Integrasi dan Contoh Syarat Awal

Persamaan diferensial linear orde satu diselesaikan dengan faktor integrasi $\mu \left(x\right)=e^{\int P\left(x\right)dx}$, setelah persamaannya ditulis dalam bentuk baku $\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)$. Mengalikan kedua ruas dengan $\mu$ membuat ruas kiri menjadi turunan dari $\mu y$, sehingga tinggal satu kali integral. Hampir semua kesalahan terjadi sebelum integral itu, yaitu saat menentukan $P\left(x\right)$ beserta tandanya.

#Prosedur empat langkah faktor integrasi

1. Bentuk baku. Susun menjadi $\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)$. Koefisien $\frac{dy}{dx}$ harus 1, dan suku $y$ harus di ruas kiri dengan tanda tambah.
2. Faktor integrasi. Hitung $\mu =e^{\int P\left(x\right)dx}$ tanpa konstanta integrasi.
3. Kalikan. Kalikan seluruh persamaan dengan $\mu$. Ruas kiri otomatis menjadi $\frac{d}{dx}\left(\mu y\right)$.
4. Integralkan. $\mu y=\int \mu Q\left(x\right)dx+C$, lalu bagi dengan $\mu$.

Kenapa langkah 3 selalu berhasil? Turunan $\mu$ adalah $\mu P$, karena $\mu$ dibangun dari eksponen integral $P$. Dengan aturan perkalian:

$\frac{d}{dx}\left(\mu y\right)=\mu y^{\prime }+\mu Py=\mu (y^{\prime }+Py)$

Itu persis ruas kiri bentuk baku yang sudah dikali $\mu$. Inilah alasan bentuk baku tidak boleh ditawar.

Kalau langkah 4 ditulis sebagai satu rumus, hasilnya

$y=\frac{1}{\mu }(\int \mu Qdx+C)=\frac{1}{\mu }\int \mu Qdx+\frac{C}{\mu }$

Bagian kedua, $\frac{C}{\mu }$, adalah solusi persamaan homogen $y^{\prime }+Py=0$. Bagian pertama adalah satu solusi khusus yang memenuhi ruas kanan $Q$. Pola "homogen ditambah khusus" ini akan muncul lagi di PD orde dua, jadi ada gunanya mengenalinya sejak sekarang.

#Faktor integrasi untuk P(x) yang sering muncul

Tabel ini menghemat waktu di ujian. Perhatikan baris yang memuat logaritma: $e^{\ln (\dots )}$ selalu disederhanakan dulu.

Untuk baris yang memuat $\ln x$ dan $\cos x$, tabel menganggap $x>0$ atau $\cos x>0$, sehingga nilai mutlak bisa dilepas. Itu wajar selama syarat awal berada di selang tersebut.

#Contoh 1: dy/dx + 2y = 4x dengan y(0) = 1

Persamaan ini sudah baku, dengan $P\left(x\right)=2$ dan $Q\left(x\right)=4x$.

Faktor integrasi: $\mu =e^{\int 2dx}=e^{2x}$. Kalikan:

$\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=4x{e}^{2x}$

Integral ruas kanan butuh integral parsial dengan $u=4x$ dan $dv=e^{2x}dx$ (polanya ada di integral parsial LIATE):

$\int 4x{e}^{2x}dx=2x{e}^{2x}-\int 2e^{2x}dx=2x{e}^{2x}-e^{2x}+C$

Bagi dengan $e^{2x}$, dan perhatikan bahwa konstanta ikut dibagi:

$y=2x-1+C{e}^{-2x}$

Syarat awal: $1=0-1+C$, jadi $C=2$. Solusinya $y=2x-1+2e^{-2x}$.

Cek dengan substitusi balik. $y^{\prime }=2-4e^{-2x}$, sehingga

$y^{\prime }+2y=2-4e^{-2x}+4x-2+4e^{-2x}=4x$

Sama dengan ruas kanan. Grafik di bawah menunjukkan arti dua bagian solusinya. Suku $C{e}^{-2x}$ meluruh, jadi semua kurva, berapa pun $C$-nya, akhirnya menempel pada garis $y=2x-1$.

Kurva biru (solusi dengan $y\left(0\right)=1$) turun dulu sampai titik terendah di $x=\frac{\ln 2}{2}\approx \mathrm{0,35}$, tempat $y^{\prime }=0$, lalu naik mengikuti garis. Nilai $y$ di titik itu adalah $\ln 2\approx \mathrm{0,69}$.

#Contoh 2: x dy/dx − 3y = x⁴, harus dibagi dulu

Selesaikan $x\frac{dy}{dx}-3y=x^4$ untuk $x>0$ dengan $y\left(1\right)=2$.

Koefisien $\frac{dy}{dx}$ adalah $x$, bukan 1. Bagi seluruh persamaan dengan $x$:

$\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}y=x^3$

Sekarang baca $P$ dengan tandanya: $P\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, bukan $\frac{3}{x}$. Lalu $Q\left(x\right)=x^3$.

$\mu =e^{\int -3/xdx}=e^{-3\ln x}=x^{-3}$

Kalikan persamaan baku dengan $x^{-3}$:

$\frac{d}{dx}\left(x^{-3}y\right)=x^{-3}\cdot x^3=1$

Integralkan: $x^{-3}y=x+C$, sehingga $y=x^4+C{x}^3$. Syarat awal: $2=1+C$, jadi $C=1$ dan $y=x^4+x^3$.

Cek: $y^{\prime }=4x^3+3x^2$. Maka $x{y}^{\prime }-3y=4x^4+3x^3-3x^4-3x^3=x^4$. Benar.

Kalau tanda $P$ salah dibaca menjadi $+\frac{3}{x}$, faktor integrasinya $x^3$, ruas kanan menjadi $x^6$, dan jawabannya $y=\frac{x^4}{7}+\frac{C}{x^3}$. Hasil ini gagal di substitusi balik, dan itulah gunanya langkah cek.

#Contoh 3: suku y ada di ruas kanan dan koefisiennya trigonometri

Selesaikan $\cos x\frac{dy}{dx}=1-y\sin x$ dengan $y\left(0\right)=3$, pada selang .

Pindahkan suku $y$ ke kiri, lalu bagi dengan $\cos x$:

$\cos x\frac{dy}{dx}+y\sin x=1\Rightarrow \frac{dy}{dx}+\tan x\cdot y=\sec x$

Jadi $P\left(x\right)=\tan x$ dan $Q\left(x\right)=\sec x$. Dari tabel, $\mu =\sec x$. Kalikan:

$\frac{d}{dx}(\sec x\cdot y)={\sec }^{2}x\Rightarrow \sec x\cdot y=\tan x+C$

Kalikan dengan $\cos x$: $y=\sin x+C\cos x$. Syarat awal: $3=0+C$, sehingga $y=\sin x+3\cos x$.

Cek di persamaan asli. $y^{\prime }=\cos x-3\sin x$, jadi ruas kiri $\cos x(\cos x-3\sin x)={\cos }^{2}x-3\sin x\cos x$. Ruas kanan $1-(\sin x+3\cos x)\sin x=1-{\sin }^{2}x-3\sin x\cos x={\cos }^{2}x-3\sin x\cos x$. Sama.

#Kesalahan tanda P(x) dan kesalahan lain yang sering terjadi

• Salah tanda $P$. Dari $y^{\prime }-\frac{3}{x}y=x^3$, nilai $P$ adalah $-\frac{3}{x}$. Kalau persamaannya $y^{\prime }=2y+x$, pindahkan dulu menjadi $y^{\prime }-2y=x$, jadi $P=-2$.
• Lupa membagi koefisien $\frac{dy}{dx}$. Dari $x{y}^{\prime }-3y=x^4$, faktor integrasi dihitung dari $-\frac{3}{x}$, bukan dari $-3$.
• Menyederhanakan $e^{-3\ln x}$ menjadi $-x^3$. Yang benar $e^{-3\ln x}=e^{\ln x^{-3}}=x^{-3}$.
• Lupa mengalikan $Q$ dengan $\mu$. Ruas kanan setelah dikali harus $\mu Q$, bukan $Q$.
• Konstanta tidak ikut dibagi. Dari $e^{2x}y=2x{e}^{2x}-e^{2x}+C$, hasilnya $y=2x-1+C{e}^{-2x}$, bukan $y=2x-1+C$.
• Menambah konstanta di faktor integrasi. Konstanta itu akan saling menghapus, jadi cukup tulis satu $C$ di langkah 4.

#Kapan PD linear orde satu muncul di soal cerita?

Model tangki campuran termasuk soal cerita yang sering dipakai dosen. Sebuah tangki berisi 100 liter air murni. Larutan garam berkadar 2 gram per liter masuk dengan laju 5 liter per menit, dan campuran yang teraduk rata keluar dengan laju yang sama. Berapa gram garam di tangki setelah 20 menit?

Misalkan $Q\left(t\right)$ adalah massa garam dalam gram. Garam masuk $2\times 5=10$ gram per menit. Garam keluar sebanding dengan kadar saat itu, yaitu $\frac{Q}{100}\times 5=\frac{Q}{20}$ gram per menit. Maka

$\frac{dQ}{dt}=10-\frac{Q}{20}\Rightarrow \frac{dQ}{dt}+\frac{1}{20}Q=10,Q\left(0\right)=0$

Faktor integrasinya $e^{t/20}$. Integralkan $\frac{d}{dt}\left(e^{t/20}Q\right)=10e^{t/20}$ menjadi $e^{t/20}Q=200e^{t/20}+C$. Syarat awal memberi $C=-200$, sehingga

$Q\left(t\right)=200-200e^{-t/20}$

Di $t=20$, $Q=200(1-e^{-1})\approx \mathrm{126,4}$ gram. Untuk waktu yang sangat lama, $Q$ mendekati 200 gram, yaitu kadar 2 gram per liter dikali 100 liter. Angka batas itu masuk akal, karena isi tangki pada akhirnya sama dengan larutan yang masuk.

Bentuk yang sama muncul di fisika dasar sebagai rangkaian RC. Persamaan $R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V$ dibagi $R$ menjadi bentuk baku dengan $P=\frac{1}{RC}$, sehingga faktor integrasinya $e^{t/RC}$. Dari situ muncul konstanta waktu $RC$ yang dibahas di rangkaian RC pengisian dan pengosongan. Hukum pendinginan Newton juga berbentuk linear orde satu.

#FAQ

#Apa beda PD linear orde satu dan PD variabel terpisah?

PD terpisah berbentuk $y^{\prime }=g\left(x\right)h\left(y\right)$. PD linear berbentuk $y^{\prime }+Py=Q$. Sebagian persamaan masuk keduanya, misalnya $y^{\prime }+2y=0$. Persamaan $y^{\prime }=x+y$ hanya linear, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan cara di artikel PD variabel terpisah.

#Kenapa faktor integrasi tidak perlu konstanta?

Jika kamu memakai $\mu =K{e}^{\int Pdx}$, konstanta $K$ muncul di kedua ruas dan saling menghapus. Hasil akhirnya sama, jadi $K=1$ adalah pilihan paling ringkas.

#Bagaimana kalau Q(x) = 0?

Persamaannya homogen, dan solusinya langsung $y=C{e}^{-\int Pdx}$. Contoh $y^{\prime }+2y=0$ memberi $y=C{e}^{-2x}$.

#Apa itu PD Bernoulli dan hubungannya dengan faktor integrasi?

PD Bernoulli berbentuk $y^{\prime }+Py=Q{y}^n$. Substitusi $v=y^{1-n}$ mengubahnya menjadi PD linear dalam $v$, lalu diselesaikan dengan faktor integrasi seperti biasa. Untuk $n=0$ atau $n=1$, persamaannya sudah linear sejak awal.

#Bolehkah langsung memakai rumus jadi tanpa menulis langkahnya?

Boleh, rumus $y=\frac{1}{\mu }(\int \mu Qdx+C)$ memberi hasil yang sama. Namun banyak dosen memberi nilai untuk tiap langkah, terutama bentuk baku dan faktor integrasi. Menulis keempat langkah juga memudahkanmu menemukan salah tanda saat cek.

#Kenapa nilai mutlak di ln|x| boleh dibuang?

Karena soalnya membatasi $x>0$, atau syarat awalnya berada di $x>0$. Kalau syarat awal di , pakai $\mid x\mid =-x$. Untuk contoh 2, faktor integrasinya menjadi $(-x{)}^{-3}$, dan hasil akhirnya tetap $y=x^4+C{x}^3$ karena tanda minus ikut terserap ke konstanta.