Persamaan Diferensial Variabel Terpisah dan Jebakan Solusi y = 0

Persamaan diferensial variabel terpisah adalah PD yang bisa ditulis sebagai $\frac{d y}{d x} = g (x) h (y)$ , sehingga semua $y$ dipindah ke satu ruas bersama $d y$ dan semua $x$ ke ruas lain bersama $d x$ , lalu kedua ruas diintegralkan. Cara ini sederhana, tetapi ada satu langkah yang diam-diam membuang solusi: membagi kedua ruas dengan $h (y)$ . Artikel ini membahas cara mengenali bentuknya, tiga contoh dengan syarat awal sampai jawaban akhir, dan jebakan solusi $y = 0$ yang sering lolos di ujian.

#Bagaimana mengenali PD yang bisa dipisah?

Pertanyaannya cuma satu: apakah ruas kanan bisa difaktorkan menjadi (fungsi $x$ saja) dikali (fungsi $y$ saja)? Kadang bentuk itu tersamar, dan kamu perlu memakai sifat eksponen atau memfaktorkan dulu.

Persamaan	Bisa dipisah?	Alasan
$\frac{d y}{d x} = e^{x + y}$	Ya	$e^{x + y} = e^{x} \cdot e^{y}$
$\frac{d y}{d x} = x y + x$	Ya	$x (y + 1)$
$\frac{d y}{d x} = y \ln x + 2 \ln x$	Ya	$\ln x (y + 2)$
$\frac{d y}{d x} = x + y$	Tidak	penjumlahan tidak bisa difaktorkan
$\frac{d y}{d x} = e^{x y}$	Tidak	$e^{x y} \neq e^{x} e^{y}$
$\frac{d y}{d x} = \sin (x y)$	Tidak	$x$ dan $y$ terkunci di dalam sinus

Baris keempat sering menipu. $\frac{d y}{d x} = x + y$ terlihat sederhana, tetapi bukan PD terpisah. Bentuk itu PD linear orde satu, yang diselesaikan dengan faktor integrasi seperti di artikel PD linear orde satu.

#Langkah menyelesaikan PD variabel terpisah

Tulis dalam bentuk $\frac{d y}{d x} = g (x) h (y)$ .
Catat nilai $y$ yang membuat $h (y) = 0$ . Setiap nilai itu adalah solusi konstan, dan akan hilang di langkah 3.
Pisahkan: $\frac{d y}{h (y)} = g (x) d x$ .
Integralkan kedua ruas, dan tulis satu konstanta $C$ saja di ruas $x$ .
Pakai syarat awal untuk mencari $C$ .
Jika bisa, nyatakan $y$ secara eksplisit. Pilih cabang atau tanda yang sesuai syarat awal.
Cek dengan menurunkan jawaban dan memasukkannya kembali ke PD.

Langkah 2 dan 7 paling sering dilewati, dan justru di dua langkah itu poin ujian paling sering hilang.

#Contoh 1: dy/dx = e^(x+y) dengan y(0) = 0

Ini bentuk tersamar dari tabel di atas. Tulis ulang ruas kanan:

\frac{d y}{d x} = e^{x} e^{y}

Karena $e^{y}$ tidak pernah nol, tidak ada solusi konstan yang hilang. Pisahkan dengan membagi $e^{y}$ , yang sama dengan mengalikan $e^{- y}$ :

e^{- y} d y = e^{x} d x \Rightarrow - e^{- y} = e^{x} + C

Masukkan $x = 0$ , $y = 0$ : $- 1 = 1 + C$ , jadi $C = - 2$ . Maka $- e^{- y} = e^{x} - 2$ , atau $e^{- y} = 2 - e^{x}$ . Ambil logaritma natural:

y = - \ln (2 - e^{x})

Solusi ini hanya berlaku saat $2 - e^{x} > 0$ , yaitu $x < \ln 2 \approx 0,693$ . Saat $x$ mendekati $\ln 2$ dari kiri, $y$ naik menuju tak hingga. Batas domain seperti ini sering diminta di soal, dan tidak akan terlihat kalau kamu berhenti di bentuk implisit.

Cek: turunan $y = - \ln (2 - e^{x})$ adalah $\frac{e^{x}}{2 - e^{x}}$ . Ruas kanan PD adalah $e^{x} \cdot e^{y} = e^{x} \cdot \frac{1}{2 - e^{x}}$ . Keduanya sama.

#Contoh 2 dan jebakan solusi y = 0

Selesaikan $\frac{d y}{d x} = 2 x y$ dengan $y (0) = 3$ .

Di sini $h (y) = y$ , jadi $y = 0$ membuat $h (y)$ nol. Cek langsung: kalau $y = 0$ untuk semua $x$ , ruas kiri $0$ dan ruas kanan $2 x \cdot 0 = 0$ . Jadi $y = 0$ memang solusi. Catat dulu, lalu pisahkan untuk $y \neq 0$ :

\frac{d y}{y} = 2 x d x \Rightarrow \ln ∣ y ∣ = x^{2} + C

Pangkatkan $e$ di kedua ruas:

∣ y ∣ = e^{x^{2} + C} = e^{C} \cdot e^{x^{2}} \Rightarrow y = A e^{x^{2}}, A = \pm e^{C}

Konstanta $A = \pm e^{C}$ tidak pernah nol, padahal $y = 0$ adalah solusi. Di sinilah solusi itu hilang. Untungnya, membolehkan $A = 0$ memulihkannya, sehingga solusi umum lengkapnya adalah $y = A e^{x^{2}}$ untuk sembarang konstanta $A$ .

Dengan $y (0) = 3$ : $3 = A \cdot e^{0}$ , jadi $A = 3$ dan $y = 3 e^{x^{2}}$ .

Keluarga kurva solusi y sama dengan A dikali e pangkat x kuadrat untuk beberapa nilai A, termasuk garis y sama dengan nol

Grafik di atas menunjukkan keluarga solusinya. Garis merah $y = 0$ adalah anggota keluarga yang sah. Kalau soal memberi syarat awal $y (0) = 0$ , jawabannya adalah garis itu, dan rumus $\ln ∣ y ∣$ tidak bisa dipakai karena $\ln 0$ tidak terdefinisi. Kalau langkah 2 dilewati, soal itu terlihat seperti tidak punya solusi.

Pola yang sama muncul pada $\frac{d y}{d x} = x y + x$ dengan $y (0) = 1$ . Faktorkan menjadi $x (y + 1)$ , catat solusi konstan $y = - 1$ , lalu pisahkan:

\frac{d y}{y + 1} = x d x \Rightarrow \ln ∣ y + 1 ∣ = \frac{x^{2}}{2} + C \Rightarrow y + 1 = A e^{x^{2} / 2}

Syarat awal memberi $2 = A$ , sehingga $y = 2 e^{x^{2} / 2} - 1$ . Cek: $y^{'} = 2 x e^{x^{2} / 2}$ , dan $x (y + 1) = x \cdot 2 e^{x^{2} / 2}$ . Sama. Solusi konstan $y = - 1$ kembali muncul saat $A = 0$ .

#Kapan solusi y = 0 tidak bisa dipulihkan dengan konstanta?

Contoh 2 beruntung, karena $A = 0$ mengembalikan solusi yang hilang. Tidak selalu begitu. Ambil $\frac{d y}{d x} = y^{2}$ . Untuk $y \neq 0$ :

\frac{d y}{y^{2}} = d x \Rightarrow - \frac{1}{y} = x + C \Rightarrow y = - \frac{1}{x + C}

Tidak ada nilai $C$ yang membuat $- \frac{1}{x + C}$ sama dengan nol untuk semua $x$ . Jadi $y = 0$ harus ditulis terpisah: solusinya adalah $y = - \frac{1}{x + C}$ atau $y = 0$ .

Dengan syarat awal $y (1) = \frac{1}{2}$ : $- 2 = 1 + C$ , jadi $C = - 3$ dan $y = \frac{1}{3 - x}$ . Cek: turunannya $\frac{1}{(3 - x)^{2}}$ , sama dengan $y^{2}$ . Dengan syarat awal $y (1) = 0$ , jawabannya $y = 0$ , dan rumus umum tidak akan pernah memberikannya.

Inilah alasan langkah 2 ada. Solusi konstan dari $h (y) = 0$ dicatat sebelum membagi, lalu dicek apakah sudah tercakup oleh rumus umum.

#Contoh 3: konstanta berganti nama dan tanda akar dari syarat awal

Selesaikan $\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$ dengan $y (0) = - 2$ .

y d y = x d x \Rightarrow \frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C \Rightarrow y^{2} = x^{2} + K

Konstanta $K = 2 C$ hanya nama baru. Masukkan syarat awal: $4 = 0 + K$ , jadi $K = 4$ dan $y^{2} = x^{2} + 4$ .

Sekarang $y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$ . Syarat awal $y (0) = - 2$ negatif, jadi ambil tanda minus:

y = - \sqrt{x^{2} + 4}

Menulis $\pm$ di jawaban akhir adalah kesalahan. Tanda plus memberi $y (0) = 2$ , yang melanggar syarat awal.

Konstanta integrasi boleh diganti nama selama ia tetap sembarang. $2 C$ , $e^{C}$ , $\pm e^{C}$ , dan $\ln C$ semuanya konstanta. Yang tidak boleh adalah memperlakukan konstanta seolah ia menjumlah padahal mengali. Dari $\ln ∣ y ∣ = x^{2} + C$ , hasilnya $y = A e^{x^{2}}$ , bukan $y = e^{x^{2}} + C$ .

#Kapan solusi eksplisit tidak mungkin?

Kadang solusi eksplisit memang tidak bisa didapat. Contoh: $\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y + e^{y}}$ dengan $y (0) = 0$ .

(y + e^{y}) d y = 2 x d x \Rightarrow \frac{y^{2}}{2} + e^{y} = x^{2} + C

Syarat awal memberi $0 + 1 = 0 + C$ , jadi $C = 1$ . Jawaban akhirnya:

\frac{y^{2}}{2} + e^{y} = x^{2} + 1

Tidak ada fungsi elementer yang bisa mengisolasi $y$ dari campuran $y^{2}$ dan $e^{y}$ . Bentuk implisit ini sudah merupakan jawaban lengkap, dan dosen tidak akan meminta lebih kecuali soal menyebut metode numerik.

Solusi implisit tetap bisa dicek. Turunkan kedua ruas terhadap $x$ dengan cara turunan implisit: $y y^{'} + e^{y} y^{'} = 2 x$ , sehingga $y^{'} = \frac{2 x}{y + e^{y}}$ . Hasilnya kembali ke PD semula, jadi jawabannya benar.

#Kesalahan yang sering terjadi

Menulis $e^{x^{2} + C} = e^{x^{2}} + e^{C}$ . Sifat eksponen adalah perkalian: $e^{x^{2} + C} = e^{C} \cdot e^{x^{2}}$ .
Membagi dengan $y$ , $y - 1$ , atau $y^{2} - 4$ tanpa mencatat solusi konstan yang hilang.
Memaksa memisah $\frac{d y}{d x} = x + y$ . Hasilnya selalu salah, karena ruas kanannya tidak bisa difaktorkan.
Menulis konstanta di kedua ruas lalu memakai syarat awal hanya untuk satu. Cukup satu $C$ , di ruas $x$ .
Lupa nilai mutlak di $\int \frac{d y}{y} = \ln ∣ y ∣$ . Tanpanya, solusi negatif seperti $A = - 2$ pada grafik tidak terwakili.
Membiarkan $\pm$ di jawaban akhir setelah syarat awal diketahui.

#FAQ

#Apa beda solusi umum dan solusi khusus?

Solusi umum masih memuat konstanta, misalnya $y = A e^{x^{2}}$ . Solusi khusus didapat setelah konstanta ditentukan dari syarat awal, misalnya $y = 3 e^{x^{2}}$ .

#Apakah solusi implisit dianggap jawaban yang benar?

Ya, kalau $y$ memang tidak bisa diisolasi dengan fungsi elementer, atau kalau soal tidak meminta bentuk eksplisit. Tetap masukkan syarat awal supaya konstantanya terisi.

#Bagaimana kalau integral di salah satu ruas butuh pecahan parsial?

Itu wajar. PD logistik $\frac{d y}{d x} = y (1 - y)$ , misalnya, menghasilkan $\int \frac{d y}{y (1 - y)}$ yang dipecah dulu menjadi $\frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y}$ . Tekniknya dibahas di integral pecahan parsial. Jangan lupa solusi konstan $y = 0$ dan $y = 1$ .

#Kenapa dy dan dx boleh dipisah seperti pecahan?

Secara formal, langkah itu adalah aturan substitusi pada integral: $\int \frac{1}{h (y)} \frac{d y}{d x} d x = \int \frac{d y}{h (y)}$ . Menulisnya sebagai pecahan hanyalah singkatan yang hasilnya selalu sama.

#Apakah solusinya selalu berlaku untuk semua x?

Tidak. Solusi $y = - \ln (2 - e^{x})$ di contoh 1 hanya hidup untuk $x < \ln 2$ , dan $y = \frac{1}{3 - x}$ meledak di $x = 3$ . Selang berlakunya adalah selang terbesar yang memuat titik syarat awal dan tidak melewati titik tak terdefinisi. Untuk $y = \frac{1}{3 - x}$ dengan syarat awal di $x = 1$ , selangnya $x < 3$ . Beberapa dosen meminta selang ini ditulis bersama jawaban, jadi biasakan menyebutkannya.

#Kalau syarat awal membuat h(y) = 0, apa jawabannya?

Jawabannya biasanya solusi konstan itu sendiri, seperti $y = 0$ untuk $\frac{d y}{d x} = 2 x y$ dengan $y (0) = 0$ . Untuk PD yang ruas kanannya halus, solusi dengan syarat awal tertentu hanya ada satu, jadi tidak perlu mencari yang lain.