Laba Maksimum MR = MC dengan Turunan: Contoh Soal dan Jebakannya

Laba maksimum tercapai pada jumlah produksi saat penerimaan marjinal sama dengan biaya marjinal (MR = MC), dengan syarat turunan kedua laba bernilai negatif. Caranya: susun penerimaan total (TR) dari fungsi permintaan, turunkan TR menjadi MR dan TC menjadi MC, samakan keduanya, lalu cek turunan kedua. Di bawah ini ada contoh soal monopoli yang dibandingkan dengan persaingan sempurna, contoh dengan biaya kubik, dan dua jebakan yang sering muncul di UAS: Q pecahan dan laba negatif di titik optimum.

#Kenapa syaratnya MR = MC?

Laba adalah $π (Q) = T R (Q) - T C (Q)$ . Laba mencapai puncak ketika turunannya nol:

π^{'} (Q) = T R^{'} (Q) - T C^{'} (Q) = M R - M C = 0

Artinya, selama unit tambahan menambah penerimaan lebih banyak daripada biayanya (MR > MC), produksi masih layak ditambah. Begitu MR < MC, unit tambahan justru menggerus laba.

Syarat ini baru menjamin titik stasioner. Titik itu bisa puncak, bisa juga lembah. Karena itu ada syarat kedua:

π^{''} (Q) < 0 ⟺ M R^{'} < M C^{'}

Kalau kamu perlu mengulang aturan turunan dasarnya, lihat rumus turunan lengkap.

#Contoh soal monopoli: dari fungsi permintaan sampai laba

Sebuah perusahaan monopoli menghadapi permintaan $P = 200 - 2 Q$ dan biaya total $T C = 500 + 20 Q + Q^{2}$ (P dan TC dalam ribu rupiah). Tentukan Q, P, dan laba maksimum.

Susun TR. Harga di monopoli bergantung pada Q, jadi $T R = P \cdot Q = (200 - 2 Q) Q = 200 Q - 2 Q^{2}$ .
Turunkan. $M R = 200 - 4 Q$ dan $M C = 20 + 2 Q$ .
Samakan. $200 - 4 Q = 20 + 2 Q$ , sehingga $6 Q = 180$ dan $Q = 30$ .
Cari harga dari fungsi permintaan, bukan dari MR: $P = 200 - 2 (30) = 140$ .
Hitung laba: $T R = 140 \times 30 = 4.200$ dan $T C = 500 + 600 + 900 = 2.000$ , jadi laba Rp2.200 ribu.
Cek turunan kedua. $π = - 3 Q^{2} + 180 Q - 500$ , sehingga $π^{''} = - 6 < 0$ . Titik ini memang maksimum.

Perhatikan bahwa harga (140) jauh di atas biaya marjinal di titik itu (MC = 20 + 60 = 80). Selisih inilah kekuatan pasar monopolis.

#Bagaimana hasilnya kalau pasarnya persaingan sempurna?

Di persaingan sempurna, perusahaan tidak bisa memengaruhi harga. Harga P konstan, sehingga $T R = P Q$ dan $M R = P$ . Syaratnya menjadi P = MC.

Pakai angka yang sama. Kalau output ditentukan di titik P = MC sepanjang kurva permintaan (hasil pasar persaingan dengan biaya yang sama):

200 - 2 Q = 20 + 2 Q \Rightarrow Q = 45, P = 110

Grafik permintaan, MR, dan MC: monopoli memproduksi 30 unit pada harga 140, sedangkan titik persaingan ada di 45 unit pada harga 110

Ukuran	Monopoli (MR = MC)	Persaingan (P = MC)
Jumlah	30 unit	45 unit
Harga	140	110
TR	4.200	4.950
TC	2.000	3.425
Laba	2.200	1.525

Monopolis sengaja memproduksi lebih sedikit dan menjual lebih mahal, karena itu memberi laba lebih besar (2.200 lawan 1.525). Pasar kehilangan 15 unit transaksi yang sebenarnya bernilai lebih tinggi daripada biayanya.

Untuk perusahaan price taker biasa, soalnya lebih pendek. Misalkan harga pasar 100 dan biaya totalnya sama. Maka $100 = 20 + 2 Q$ , Q = 40, TR = 4.000, TC = 500 + 800 + 1.600 = 2.900, dan laba 1.100.

#Contoh dengan biaya kubik: kenapa turunan kedua wajib dicek?

Soal ujian sering memakai biaya kubik karena kurva MC-nya berbentuk U. Misalkan perusahaan price taker punya

T C = Q^{3} - 12 Q^{2} + 60 Q + 100

sehingga $M C = 3 Q^{2} - 24 Q + 60$ , TFC = 100, dan $A V C = Q^{2} - 12 Q + 60$ .

Dengan harga pasar P = 60, syarat P = MC memberi

3 Q^{2} - 24 Q + 60 = 60 \Rightarrow 3 Q (Q - 8) = 0

Ada dua jawaban, Q = 0 dan Q = 8. Turunan kedua laba adalah $π^{''} = - M C^{'} = - (6 Q - 24)$ .

Di Q = 0: $π^{''} = 24 > 0$ . Ini titik laba minimum, bukan maksimum.
Di Q = 8: $π^{''} = - 24 < 0$ . Ini titik laba maksimum.

Laba di Q = 8: TR = 480, TC = 512 − 768 + 480 + 100 = 324, jadi laba 156.

Aturan praktisnya: titik optimum selalu berada di bagian MC yang sedang naik. Mahasiswa yang lupa mengecek sering menuliskan dua jawaban, atau malah memilih yang salah.

#Q hasil perhitungan pecahan, ditulis berapa?

Turunkan harga menjadi P = 30. Persamaan $3 Q^{2} - 24 Q + 60 = 30$ menjadi $Q^{2} - 8 Q + 10 = 0$ , dengan akar $Q = 4 \pm \sqrt{6}$ , yaitu sekitar 1,55 dan 6,45. Bagian MC naik ada di Q ≈ 6,45.

Kalau barangnya bisa dibagi (liter, kilogram, jam kerja), tulis saja Q ≈ 6,45. Kalau barangnya hanya bisa dalam unit utuh, jangan langsung membulatkan. Hitung laba di dua bilangan bulat terdekat:

Q	TR (30 × Q)	TC	Laba
6	180	244	−64
7	210	275	−65

Q = 6 sedikit lebih baik. Di soal ini pembulatan biasa kebetulan memberi jawaban yang sama, tetapi kurva laba tidak selalu simetris, jadi bandingkan keduanya.

#Laba negatif di titik optimum: tetap produksi atau tutup?

Di P = 30, laba terbaik ternyata negatif (sekitar −62,6). MR = MC hanya menemukan pilihan terbaik di antara jumlah produksi positif. Pilihan terbaik itu belum tentu lebih baik daripada berhenti produksi.

Kalau perusahaan tutup, ia tetap harus membayar biaya tetap 100 (sewa, cicilan mesin). Jadi pembandingnya adalah rugi 100.

Kurva MC, AVC, dan AC berbentuk U dengan tiga garis harga 60, 30, dan 20, serta titik AVC minimum 24

Harga	Q optimum	AVC di Q itu	Laba jika produksi	Keputusan
60	8	28	+156	produksi, untung
30	≈ 6,45	≈ 24,2	≈ −62,6	tetap produksi, rugi lebih kecil dari 100
20	≈ 5,63	≈ 24,1	≈ −123,3	tutup, rugi cukup 100

Aturannya ringkas: tetap produksi selama P ≥ AVC, karena penerimaan masih menutup biaya variabel dan sisanya membantu membayar biaya tetap. Tutup kalau P < AVC minimum. Di soal ini AVC minimum ada di Q = 6 dengan nilai 24, jadi titik tutup usahanya adalah harga 24. Kalau kamu perlu melihat dari mana AVC dan AC berasal, baca cara melengkapi tabel biaya produksi.

#Kesalahan yang sering terjadi

Mencari harga dari MR. Setelah dapat Q = 30, harga dicari dari fungsi permintaan (P = 140), bukan dari MR (yang bernilai 80).
Menulis MR = 200 − 2Q untuk monopoli. Itu fungsi permintaannya. Untuk permintaan linear $P = a - b Q$ , MR selalu $a - 2 b Q$ .
Memakai MR = P untuk monopoli, atau sebaliknya membuat MR menurun untuk perusahaan persaingan sempurna.
Tidak mengecek turunan kedua, lalu memilih titik di bagian MC yang turun.
Menganggap laba negatif berarti jawabannya salah. Laba negatif di titik optimum itu wajar kalau harga di bawah AC. Yang perlu dicek adalah perbandingannya dengan AVC.
Lupa memasukkan biaya tetap saat menghitung laba. MC tidak memuat TFC, tetapi laba tetap dikurangi TC penuh.

Kalau soalnya bukan soal perusahaan tetapi soal pasar (misalnya pengaruh pajak terhadap harga keseimbangan), pendekatannya beda. Lihat keseimbangan pasar setelah pajak.

#FAQ

#Apakah MR = MC berlaku untuk semua bentuk pasar?

Ya. Yang berbeda hanya bentuk MR. Di persaingan sempurna MR = P karena harga konstan. Di monopoli dan pasar lain dengan kurva permintaan miring, MR lebih kecil dari P.

#Bagaimana kalau soal memberi fungsi permintaan dalam bentuk Q = 100 − 0,5P?

Ubah dulu ke bentuk P = f(Q): P = 200 − 2Q. TR harus ditulis sebagai fungsi Q supaya bisa diturunkan terhadap Q.

#Kalau ada pajak per unit, rumusnya berubah?

Pajak t per unit menambah biaya, jadi TC baru = TC + tQ dan MC baru = MC + t. Setelah itu langkahnya sama. Di contoh monopoli, pajak 12 per unit membuat $200 - 4 Q = 32 + 2 Q$ , sehingga Q = 28.

#Soal meminta laba maksimum, tapi persamaan MR = MC tidak punya akar positif. Artinya apa?

Biasanya MR selalu di bawah MC untuk semua Q positif, jadi perusahaan paling baik tidak berproduksi. Cek juga apakah ada salah ketik di fungsi atau salah turunan.

#Apa hubungan topik ini dengan soal cerita maksimum di kalkulus?

Logikanya sama persis: buat fungsi tujuan, turunkan, samakan dengan nol, cek turunan kedua dan batas domain. Latihan serupa dengan konteks non-ekonomi ada di soal cerita maksimum minimum turunan.