Turunan x Pangkat x dengan Diferensiasi Logaritmik

Turunan $x^x$ adalah $x^x(\ln x+1)$, dan hasil ini hanya berlaku untuk $x>0$. Cara mendapatkannya disebut diferensiasi logaritmik: ambil ln kedua ruas, turunkan secara implisit, lalu kalikan balik dengan $y$. Teknik yang sama juga menyelesaikan $(\sin x{)}^x$, $x^{\ln x}$, dan fungsi hasil kali-bagi panjang yang kalau dikerjakan biasa butuh satu halaman.

#Kenapa aturan pangkat dan aturan eksponen sama-sama salah untuk x^x?

Dua refleks pertama mahasiswa saat melihat $x^x$ biasanya begini:

1. Aturan pangkat, $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$, menghasilkan $x\cdot x^{x-1}=x^x$.
2. Aturan eksponen, $\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$, menghasilkan $x^x\ln x$.

Keduanya salah karena masing-masing mengandaikan sesuatu konstan. Aturan pangkat butuh pangkat yang konstan. Aturan eksponen butuh basis yang konstan. Pada $x^x$, basis dan pangkat sama-sama berubah.

Yang menarik, jawaban benar adalah jumlah kedua jawaban salah tadi: $x^x+x^x\ln x=x^x(\ln x+1)$. Ini bukan kebetulan. Setiap kali basis dan pangkat sama-sama memuat $x$, turunannya terdiri dari dua sumbangan, satu karena basis berubah dan satu karena pangkat berubah. Cek di $x=2$: aturan pangkat memberi 4, aturan eksponen memberi $4\ln 2\approx \mathrm{2,773}$, dan turunan sebenarnya $4(\ln 2+1)\approx \mathrm{6,773}$.

#Langkah diferensiasi logaritmik untuk y = x^x

Syarat awal: $x>0$. Untuk $x$ negatif, $x^x$ sering tidak terdefinisi sebagai bilangan real. Contohnya $(-\frac{1}{2}{)}^{-1/2}$ berarti $\frac{1}{\sqrt{-1/2}}$, yang tidak real. Karena itu soal di buku hampir selalu menulis "untuk $x>0$", dan kamu sebaiknya menuliskannya juga di lembar jawaban.

Langkahnya:

1. Tulis $y=x^x$.
2. Ambil ln kedua ruas: $\ln y=\ln \left(x^x\right)=x\ln x$. Sifat $\ln \left(a^b\right)=b\ln a$ inilah yang menurunkan pangkat menjadi pengali.
3. Turunkan kedua ruas terhadap $x$. Ruas kiri memakai aturan rantai karena $y$ fungsi dari $x$, ruas kanan memakai aturan hasil kali:

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$

4. Kalikan kedua ruas dengan $y$, lalu ganti $y$ dengan fungsi aslinya:

$\frac{dy}{dx}=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$

Langkah 4 adalah yang paling sering dilupakan. Banyak jawaban berhenti di $\ln x+1$, padahal itu baru $\frac{y^{\prime }}{y}$, bukan $y^{\prime }$.

Cara lain yang setara: tulis $x^x=e^{x\ln x}$, lalu turunkan dengan aturan rantai. Hasilnya $e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$. Pilih yang lebih nyaman. Bentuk $e^{x\ln x}$ lebih cepat untuk satu fungsi, sedangkan ln kedua ruas lebih rapi untuk fungsi hasil kali-bagi panjang.

Grafik di atas memperlihatkan dua hal yang bisa kamu cek dari rumus turunannya. Turunan nol saat $\ln x+1=0$, yaitu di $x=\frac{1}{e}\approx \mathrm{0,368}$, dan di situ $x^x$ mencapai nilai terkecilnya, $e^{-1/e}\approx \mathrm{0,692}$. Di $x=1$, turunannya $1\cdot (0+1)=1$, sehingga garis singgungnya $y=x$.

#Contoh 2: turunan (sin x)^x

Ambil $y=(\sin x{)}^x$ pada selang , tempat $\sin x>0$.

$\ln y=x\ln (\sin x)$

Turunkan. Ruas kanan adalah hasil kali $x$ dan $\ln (\sin x)$, dan turunan $\ln (\sin x)$ adalah $\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$.

$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln (\sin x)+x\cot x\Rightarrow y^{\prime }=(\sin x{)}^x[\ln (\sin x)+x\cot x]$

Cek angka di $x=\frac{\pi }{6}$. Di sana $\sin x=\frac{1}{2}$, sehingga $y=(\frac{1}{2}{)}^{\pi /6}\approx \mathrm{0,6956}$. Isi kurung siku: $\ln \frac{1}{2}\approx -\mathrm{0,6931}$ dan $\frac{\pi }{6}\cot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}\sqrt{3}\approx \mathrm{0,9069}$, jumlahnya $\mathrm{0,2138}$. Jadi $y^{\prime }\approx \mathrm{0,6956}\times \mathrm{0,2138}\approx \mathrm{0,149}$. Di $x=\frac{\pi }{2}$, $\ln 1=0$ dan $\cot \frac{\pi }{2}=0$, jadi turunannya tepat 0.

#Contoh 3: turunan x^(ln x)

Pangkatnya $\ln x$, basisnya $x$, dua-duanya berubah. Untuk $x>0$:

$\ln y=\ln x\cdot \ln x=(\ln x{)}^2$ $\frac{y^{\prime }}{y}=2\ln x\cdot \frac{1}{x}\Rightarrow y^{\prime }=x^{\ln x}\cdot \frac{2\ln x}{x}=2\ln x\cdot x^{\ln x-1}$

Di $x=e$: $y=e^1=e$, dan $y^{\prime }=e\cdot \frac{2\cdot 1}{e}=2$. Soal ini sering keluar karena bentuk $(\ln x{)}^2$ di langkah kedua mudah sekali salah tulis menjadi $\ln \left(x^2\right)=2\ln x$. Keduanya berbeda: di $x=e$, $(\ln x{)}^2=1$ sedangkan $\ln \left(x^2\right)=2$.

#Contoh 4: fungsi hasil kali-bagi panjang

Diferensiasi logaritmik juga dipakai untuk fungsi yang basisnya bukan masalah, tetapi bentuknya merepotkan. Contoh:

$y=\frac{(x^2+1{)}^3\sqrt{2x-1}}{(x+3{)}^4},x>\frac{1}{2}$

Dengan aturan hasil bagi biasa, kamu harus menurunkan pembilang memakai aturan hasil kali, lalu menyusun pecahan bertingkat. Dengan ln, perkalian jadi penjumlahan dan pembagian jadi pengurangan:

$\ln y=3\ln (x^2+1)+\frac{1}{2}\ln (2x-1)-4\ln (x+3)$

Turunkan suku demi suku:

$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{6x}{x^2+1}+\frac{1}{2x-1}-\frac{4}{x+3}$

Hitung di $x=1$. Nilai fungsinya $y=\frac{2^3\cdot 1}{4^4}=\frac{8}{256}=\frac{1}{32}$. Isi ruas kanan: $\frac{6}{2}+\frac{1}{1}-\frac{4}{4}=3+1-1=3$. Jadi $y^{\prime }\left(1\right)=3\cdot \frac{1}{32}=\frac{3}{32}=\mathrm{0,09375}$.

#Ringkasan empat contoh

Untuk bentuk umum $y=f(x{)}^{g\left(x\right)}$ dengan $f\left(x\right)>0$, hasilnya selalu:

$y^{\prime }=f^g(g^{\prime }\ln f+g\frac{f^{\prime }}{f})$

Suku pertama adalah sumbangan pangkat yang berubah, suku kedua sumbangan basis yang berubah. Rumus ini boleh dipakai langsung untuk cek, tetapi di ujian biasanya dosen tetap meminta langkah ln kedua ruas.

#Kesalahan yang sering terjadi

1. Berhenti di $\frac{y^{\prime }}{y}$. Jawaban $\ln x+1$ untuk turunan $x^x$ salah, karena belum dikali $y$.
2. Lupa bahwa ruas kiri juga diturunkan dengan aturan rantai. Turunan $\ln y$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{y}{y}^{\prime }$, bukan $\frac{1}{y}$.
3. Memecah logaritma penjumlahan. $\ln (x^2+1)$ tidak sama dengan $\ln x^2+\ln 1$. Yang boleh dipecah hanya hasil kali, hasil bagi, dan pangkat.
4. Tidak menulis domain. Di soal $(\sin x{)}^x$, menulis jawaban tanpa syarat $\sin x>0$ membuat jawaban kurang lengkap di mata banyak dosen.
5. Mengganti $y$ dengan bentuk yang salah saat mengalikan balik, misalnya menulis $y^{\prime }=x(\ln x+1)$. Yang dikalikan adalah fungsi aslinya, $x^x$.

Rumus dasar yang dipakai di semua langkah ini ada di tabel rumus turunan lengkap. Kalau kamu belum nyaman menurunkan $y$ di ruas kiri, latih dulu turunan implisit, karena langkah 3 di atas sebenarnya turunan implisit.

#FAQ

#Berapa limit x^x saat x mendekati 0 dari kanan?

Hasilnya 1. Tulis $\ln y=x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$, bentuk $\frac{-\infty }{\infty }$, lalu pakai aturan L'Hôpital: $\frac{1/x}{-1/x^2}=-x\to 0$. Karena $\ln y\to 0$, maka $y\to e^0=1$. Grafik di atas memperlihatkan kurvanya mendekati 1 di dekat sumbu $y$.

#Berapa turunan kedua x^x?

Turunkan $y^{\prime }=y(\ln x+1)$ dengan aturan hasil kali: $y^{\prime \prime }=y^{\prime }(\ln x+1)+y\cdot \frac{1}{x}=x^x\left[\right(\ln x+1{)}^2+\frac{1}{x}]$. Di $x=1$ nilainya $1\cdot (1+1)=2$.

#Apa bedanya turunan 2^x, x^2, dan x^x?

$x^2$ punya pangkat konstan, turunannya $2x$. $2^x$ punya basis konstan, turunannya $2^x\ln 2$. $x^x$ punya keduanya berubah, turunannya $x^x(\ln x+1)$. Di $x=2$, turunannya berturut-turut 4; sekitar 2,773; dan sekitar 6,773.

#Kapan wajib memakai diferensiasi logaritmik?

Wajib saat variabel muncul di basis dan di pangkat sekaligus, karena tidak ada rumus tabel yang berlaku. Untuk fungsi hasil kali-bagi panjang sifatnya pilihan, tetapi biasanya jauh lebih pendek dan lebih kecil peluang salah hitungnya.

#Apakah boleh menulis jawaban sebagai e^(x ln x)(ln x + 1)?

Boleh, nilainya sama persis. Banyak dosen lebih suka bentuk akhir ditulis kembali sebagai $x^x(\ln x+1)$ supaya terlihat jelas kamu tahu fungsi asalnya.