Usaha Gas Ideal Isotermal, Adiabatik, Isobarik dalam Satu Tabel

Usaha gas ideal bergantung pada jalur prosesnya. Pada proses isobarik $W = P Δ V$ , pada isotermal $W = n R T \ln (V_{2} / V_{1})$ , pada adiabatik $W = \frac{P_{1} V_{1} - P_{2} V_{2}}{γ - 1}$ , dan pada isokhorik usahanya nol. Ketiganya disambungkan oleh hukum pertama termodinamika, $Δ U = Q - W$ , dengan $W$ usaha yang dilakukan oleh gas. Di bawah ada satu tabel ringkas untuk empat proses, lalu satu siklus gas diatomik yang dikerjakan sampai efisiensinya.

#Tabel Q, W, dan ΔU untuk empat proses gas ideal

Tabel ini memakai konvensi fisika: $W$ positif kalau gas memuai (gas melakukan usaha), $Q$ positif kalau gas menyerap kalor.

Proses	Yang tetap	Usaha W (oleh gas)	Kalor Q	Perubahan energi dalam ΔU
Isokhorik	volume	$0$	$n C_{V} Δ T$	$n C_{V} Δ T$
Isobarik	tekanan	$P Δ V = n R Δ T$	$n C_{P} Δ T$	$n C_{V} Δ T$
Isotermal	suhu	$n R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$	sama dengan W	$0$
Adiabatik	tidak ada kalor	$\frac{P_{1} V_{1} - P_{2} V_{2}}{γ - 1} = - n C_{V} Δ T$	$0$	$n C_{V} Δ T$

Perhatikan kolom terakhir. Untuk gas ideal, $Δ U = n C_{V} Δ T$ di semua proses, bukan hanya isokhorik. Energi dalam gas ideal hanya bergantung pada suhu. Itu sebabnya ΔU isotermal selalu nol, dan ΔU adiabatik bisa dihitung tanpa tahu tekanan.

#Dari mana rumus usaha isotermal dan adiabatik berasal?

Semuanya berangkat dari satu definisi:

W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V

Pada isotermal, $P = n R T / V$ dengan $T$ tetap, sehingga integralnya menjadi $n R T \int \frac{d V}{V} = n R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$ .

Pada adiabatik, berlaku $P V^{γ} = konstan$ . Integral $\int K V^{- γ} d V$ menghasilkan $\frac{P_{1} V_{1} - P_{2} V_{2}}{γ - 1}$ . Dua hubungan adiabatik lain yang sering dipakai:

T V^{γ - 1} = konstan, P_{1} V_{1}^{γ} = P_{2} V_{2}^{γ}

Secara grafis, usaha adalah luas di bawah kurva pada diagram P-V. Itu yang membuat usaha "bergantung jalur": dua proses dengan titik awal dan akhir sama bisa punya luas berbeda.

#Berapa Cv dan γ untuk gas monoatomik dan diatomik?

Nilai ini berlaku untuk gas ideal di sekitar suhu kamar. Pada suhu sangat tinggi, getaran molekul diatomik ikut aktif dan nilainya berubah, tapi soal Fisika Dasar hampir selalu memakai angka di bawah.

Jenis gas	Contoh	$C_{V}$	$C_{P} = C_{V} + R$	$γ = C_{P} / C_{V}$
Monoatomik	He, Ne, Ar	$\frac{3}{2} R = 12,47$ J/(mol·K)	$\frac{5}{2} R = 20,79$	$5 / 3 \approx 1,67$
Diatomik	N₂, O₂, udara	$\frac{5}{2} R = 20,79$ J/(mol·K)	$\frac{7}{2} R = 29,10$	$7 / 5 = 1,4$

Kalau soal menyebut "udara" atau "gas diatomik", itu kode untuk $γ = 1,4$ .

#Contoh soal isobarik: 2 mol gas diatomik dipanaskan

Dua mol gas diatomik pada tekanan tetap 150 kPa dipanaskan dari 300 K ke 400 K. Hitung W, ΔU, dan Q.

Volume awal $V_{1} = n R T_{1} / P = (2) (8,314) (300) / 150000 = 0,03326$ m³, volume akhir $V_{2} = 0,04434$ m³.
Usaha: $W = P Δ V = 150000 \times 0,01109 = 1663$ J. Cara cepatnya $n R Δ T = 2 \times 8,314 \times 100 = 1662,8$ J. Hasilnya sama.
Energi dalam: $Δ U = n C_{V} Δ T = 2 \times 20,785 \times 100 = 4157$ J.
Kalor: $Q = n C_{P} Δ T = 2 \times 29,099 \times 100 = 5819,8$ J.
Cek hukum pertama: $Δ U + W = 4157 + 1662,8 = 5819,8$ J. Cocok dengan Q.

Dari 5.820 J kalor yang masuk, sekitar 29 persen keluar lagi sebagai usaha. Sisanya menaikkan suhu gas.

#Contoh siklus gas diatomik (γ = 1,4), dikerjakan langkah demi langkah

Satu mol gas diatomik mula-mula di keadaan A: $T_{A} = 300$ K, $P_{A} = 100$ kPa, sehingga $V_{A} = n R T_{A} / P_{A} = 24,94$ L. Gas menjalani tiga proses:

A→B: kompresi isotermal sampai volumenya setengah, $V_{B} = 12,47$ L.
B→C: pemanasan isokhorik sampai keadaan C berada pada kurva adiabatik yang melewati A.
C→A: ekspansi adiabatik kembali ke A.

Diagram P-V siklus gas diatomik: kompresi isotermal A ke B, pemanasan isokhorik B ke C, ekspansi adiabatik C ke A, luas di dalam siklus sekitar 263 joule

#Langkah 1: tentukan semua keadaan

Pada A→B suhu tetap, jadi $P_{B} = P_{A} (V_{A} / V_{B}) = 200$ kPa.

Keadaan C ada di adiabat yang sama dengan A, dan volumenya sama dengan B. Pakai $T V^{γ - 1}$ konstan:

T_{C} = T_{A} {(\frac{V_{A}}{V_{C}})}^{γ - 1} = 300 \times 2^{0,4} = 300 \times 1,3195 = 395,9 K

Tekanannya $P_{C} = P_{A} \times 2^{1,4} = 100 \times 2,639 = 263,9$ kPa.

#Langkah 2: proses A→B (isotermal)

$W_{A B} = n R T \ln \frac{V_{B}}{V_{A}} = (1) (8,314) (300) \ln 0,5 = 2494,2 \times (- 0,6931) = - 1728,8$ J.

Usahanya negatif karena gas dimampatkan. Suhu tetap, jadi $Δ U_{A B} = 0$ dan $Q_{A B} = W_{A B} = - 1728,8$ J. Gas melepas kalor ke lingkungan.

#Langkah 3: proses B→C (isokhorik)

Volume tetap, jadi $W_{B C} = 0$ . Kalor yang diserap:

$Q_{B C} = n C_{V} Δ T = (1) (20,785) (395,85 - 300) = 1992,3$ J, dan $Δ U_{B C} = 1992,3$ J.

#Langkah 4: proses C→A (adiabatik)

$Q_{C A} = 0$ . Energi dalam turun: $Δ U_{C A} = n C_{V} (T_{A} - T_{C}) = - 1992,3$ J. Dari hukum pertama, $W_{C A} = Q - Δ U = + 1992,3$ J.

Cek dengan rumus tekanan-volume (kPa dikali liter langsung menghasilkan joule):

W_{C A} = \frac{P_{C} V_{C} - P_{A} V_{A}}{γ - 1} = \frac{(263,9) (12,471) - (100) (24,942)}{0,4} = \frac{3291,1 - 2494,2}{0,4} = 1992,3 J

#Langkah 5: rangkum dan hitung efisiensi

Proses	Q (J)	W (J)	ΔU (J)
A→B isotermal	−1728,8	−1728,8	0
B→C isokhorik	+1992,3	0	+1992,3
C→A adiabatik	0	+1992,3	−1992,3
Satu siklus	+263,5	+263,5	0

Total ΔU satu siklus harus nol karena gas kembali ke keadaan awal. Kalau baris terakhirmu tidak nol, ada salah hitung di salah satu baris.

Siklusnya berputar searah jarum jam di diagram P-V, jadi ini mesin kalor. Efisiensinya $η = W_{n e t t o} / Q_{m a s u k} = 263,5 / 1992,3 = 13,2$ persen. Sebagai pembanding, mesin Carnot antara 395,9 K dan 300 K punya efisiensi $1 - 300 / 395,9 = 24,2$ persen. Angka siklus kita lebih kecil, sesuai yang diharapkan.

#Kesalahan yang paling sering memotong nilai

Tertukar konvensi tanda. Buku fisika seperti Halliday memakai $Δ U = Q - W$ dengan W usaha oleh gas. Buku kimia, dan sebagian buku fisika, memakai $Δ U = Q + W$ dengan W usaha pada gas. Dalam konvensi kimia, $W_{A B}$ di atas bernilai +1728,8 J. Dua-duanya benar asal konsisten, jadi tulis konvensinya di baris pertama jawabanmu.
Suhu dalam Celsius. Rumus isotermal dengan $T = 27$ menghasilkan $W_{A B} = - 155,6$ J, sebelas kali lebih kecil dari yang benar. Di proses adiabatik akibatnya lebih parah, karena $T V^{γ - 1}$ konstan hanya berlaku untuk suhu mutlak.
Memakai $C_{V}$ monoatomik untuk gas diatomik. Dengan $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , kalor B→C menjadi 1195,4 J, bukan 1992,3 J. Di contoh isobarik, ΔU menjadi 2494 J, bukan 4157 J. Cek jenis gas sebelum memilih $C_{V}$ dan $γ$ .
Membalik isi logaritma. $\ln (V_{A} / V_{B})$ dan $\ln (V_{B} / V_{A})$ beda tanda. Tulis selalu $\ln (V_{a k h i r} / V_{a w a l})$ , lalu cek: kompresi harus memberi usaha negatif.
Mengira kalor adiabatik nol berarti suhu tetap. Justru kebalikannya. Tanpa pertukaran kalor, seluruh usaha diambil dari energi dalam, sehingga suhu pasti berubah.

Kebiasaan menulis suhu dalam kelvin juga menyelamatkan nilai di kimia fisik, misalnya saat menghitung energi aktivasi dari dua suhu. Konsep usaha sebagai luas di bawah kurva juga muncul di teorema usaha-energi dengan pegas dan gesekan. Kalau soal ini berasal dari praktikum termodinamika, cara melaporkan ketidakpastiannya ada di ketidakpastian laporan praktikum fisika.

#FAQ

#Kenapa kurva adiabatik lebih curam daripada isotermal?

Karena pada adiabatik tekanan sebanding dengan $V^{- γ}$ , sedangkan pada isotermal sebanding dengan $V^{- 1}$ . Dengan $γ > 1$ , tekanan pada adiabatik turun lebih cepat ketika volume membesar.

#Apakah ΔU = nCvΔT juga berlaku untuk proses isobarik?

Ya. Untuk gas ideal, energi dalam hanya fungsi suhu, jadi rumus ΔU sama untuk semua proses. Yang memakai $C_{P}$ hanyalah kalor pada proses isobarik.

#Kapan memakai rumus adiabatik dengan suhu dan kapan dengan tekanan?

Pakai $W = - n C_{V} Δ T$ kalau suhu awal dan akhir diketahui. Pakai $\frac{P_{1} V_{1} - P_{2} V_{2}}{γ - 1}$ kalau yang diketahui tekanan dan volume. Hasilnya sama, seperti terlihat di langkah 4.

#Bagaimana menentukan siklus termasuk mesin kalor atau mesin pendingin?

Lihat arah putarannya di diagram P-V. Searah jarum jam berarti usaha netto positif, jadi mesin kalor. Berlawanan arah jarum jam berarti usaha netto negatif, jadi mesin pendingin atau pompa kalor.

#Apakah nilai R harus 8,314 atau boleh 0,082?

Pakai 8,314 J/(mol·K) untuk menghitung usaha dan kalor dalam joule. Nilai 0,082 L·atm/(mol·K) hanya cocok untuk persamaan keadaan dengan tekanan dalam atm dan volume dalam liter.