Kekontinuan Fungsi Sepotong-sepotong: Mencari Nilai a dan b

Fungsi sepotong-sepotong kontinu di titik sambung $x = c$ jika limit kiri, limit kanan, dan nilai $f (c)$ ketiganya sama. Soal kekontinuan fungsi di UTS Kalkulus 1 hampir selalu memakai syarat itu untuk mencari konstanta: satu titik sambung memberi satu persamaan, dua titik sambung memberi sistem persamaan linear dua variabel. Versi yang lebih sulit meminta fungsi juga terdiferensialkan, dan itu menambah satu persamaan lagi dari turunan kiri dan kanan.

#Apa syarat fungsi kontinu di satu titik?

Fungsi $f$ kontinu di $x = c$ jika tiga hal terpenuhi sekaligus:

$f (c)$ terdefinisi.
$\lim_{x \to c} f (x)$ ada, artinya $\lim_{x \to c^{-}} f (x) = \lim_{x \to c^{+}} f (x)$ .
$\lim_{x \to c} f (x) = f (c)$ .

Untuk fungsi sepotong, syarat 2 dan 3 dirangkum menjadi satu baris yang paling sering kamu tulis di lembar jawaban:

\lim x \to c^{-} f (x) = \lim x \to c^{+} f (x) = f (c) .

Polinom, $\sin x$ , $\cos x$ , dan $e^{x}$ kontinu di semua bilangan real. Fungsi rasional kontinu di semua titik kecuali tempat penyebutnya nol. Jadi untuk fungsi sepotong yang setiap potongnya polinom, kamu cukup mengecek titik sambung.

#Bagaimana membedakan tiga jenis diskontinuitas?

Tiga grafik berdampingan: garis dengan lubang di titik (2, 4), dua ruas garis yang loncat dari 2 ke 0 di x = 1, dan kurva 1/(x-3) yang naik dan turun tanpa batas di sekitar garis putus-putus x = 3

Jenis	Ciri pada limit	Contoh	Bisa diperbaiki?
Terhapuskan	limit ada, tetapi $f (c)$ tidak ada atau berbeda	$\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ di $x = 2$	Ya, definisikan $f (2) = 4$
Loncatan	limit kiri dan kanan berhingga tetapi berbeda	kiri $x + 1$ , kanan $x - 1$ , sambung di $x = 1$	Tidak dengan mengubah satu nilai
Tak hingga	salah satu limit sepihak $\pm \infty$	$\frac{1}{x - 3}$ di $x = 3$	Tidak

Contoh terhapuskan: $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = x + 2$ untuk $x \neq 2$ . Limitnya 4, tetapi fungsi tidak terdefinisi di $x = 2$ . Grafiknya garis lurus dengan satu lubang.

Contoh loncatan: limit kiri di $x = 1$ adalah $1 + 1 = 2$ , limit kanan $1 - 1 = 0$ . Tinggi loncatannya 2. Tidak ada satu nilai $f (1)$ yang bisa membuat kiri dan kanan bertemu.

Soal tipe "tentukan jenis diskontinuitasnya" cukup dijawab dengan menghitung dua limit sepihak lalu mencocokkan dengan tabel di atas.

#Contoh soal: mencari a di satu titik sambung

Soal 1. Tentukan $a$ agar fungsi berikut kontinu di $x = 2$ .

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + a, & x < 2 \\ 3 x - 1, & x \geq 2 \end{matrix}

Limit kiri memakai potongan atas: $\lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} + a) = 4 + a$ .

Limit kanan dan nilai fungsi memakai potongan bawah, karena tanda $\geq$ ada di sana: $\lim_{x \to 2^{+}} (3 x - 1) = 5$ dan $f (2) = 5$ .

Samakan: $4 + a = 5$ , jadi $a = 1$ .

Soal 2. Tentukan $a$ agar fungsi berikut kontinu di $x = 0$ .

f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sin (a x)}{x}, & x < 0 \\ 2 x + 3, & x \geq 0 \end{matrix}

Limit kiri: $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (a x)}{x} = a$ , dari limit standar $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ (atau dengan aturan L'Hôpital: $\frac{a \cos (a x)}{1} \to a$ ).

Limit kanan dan $f (0)$ : $2 (0) + 3 = 3$ . Jadi $a = 3$ .

#Contoh soal UTS: dua titik sambung, dua konstanta

Soal 3. Tentukan $a$ dan $b$ agar $f$ kontinu di semua bilangan real.

f (x) = {\begin{matrix} x^{2}, & x < 1 \\ a x + b, & 1 \leq x \leq 3 \\ 8 - x, & x > 3 \end{matrix}

Setiap potongan polinom, jadi yang perlu dicek hanya $x = 1$ dan $x = 3$ .

Di $x = 1$ : limit kiri $1^{2} = 1$ , limit kanan dan $f (1)$ sama-sama $a + b$ . Persamaan pertama:

a + b = 1.

Di $x = 3$ : limit kiri dan $f (3)$ sama-sama $3 a + b$ , limit kanan $8 - 3 = 5$ . Persamaan kedua:

3 a + b = 5.

Kurangkan persamaan pertama dari kedua: $2 a = 4$ , jadi $a = 2$ dan $b = 1 - 2 = - 1$ .

Cek balik selalu murah. Potongan tengah $2 x - 1$ bernilai $1$ di $x = 1$ (cocok dengan $x^{2} = 1$ ) dan $5$ di $x = 3$ (cocok dengan $8 - 3 = 5$ ). Untuk sistem tiga konstanta atau lebih, teknik penyelesaiannya sama dengan eliminasi Gauss-Jordan.

#Kontinu sekaligus terdiferensialkan: dari mana persamaan kedua?

Kalau soal meminta $f$ terdiferensialkan di titik sambung, kamu butuh dua syarat:

$f$ kontinu di titik itu (nilai kiri sama dengan nilai kanan).
Turunan kiri sama dengan turunan kanan.

Soal 4. Tentukan $a$ dan $b$ agar fungsi berikut terdiferensialkan di $x = 2$ .

f (x) = {\begin{matrix} a x^{2} + 1, & x < 2 \\ b x - 3, & x \geq 2 \end{matrix}

Syarat kontinu: $4 a + 1 = 2 b - 3$ , atau $4 a - 2 b = - 4$ .

Syarat turunan: turunan potongan kiri $2 a x$ , di $x = 2$ bernilai $4 a$ . Turunan potongan kanan $b$ . Jadi $b = 4 a$ .

Substitusikan ke persamaan pertama: $4 a - 8 a = - 4$ , sehingga $a = 1$ dan $b = 4$ .

Hasilnya $f (x) = x^{2} + 1$ untuk $x < 2$ dan $4 x - 3$ untuk $x \geq 2$ . Keduanya bernilai 5 di $x = 2$ dengan kemiringan 4. Garis $y = 4 x - 3$ ternyata adalah garis singgung parabola $y = x^{2} + 1$ di titik $(2, 5)$ , dan itu bukan kebetulan: syarat terdiferensialkan memaksa potongan kanan menempel mulus.

Dua grafik berdampingan. Kiri: parabola x kuadrat plus 1 tersambung mulus dengan garis 4x minus 3 di x = 2, kemiringan kiri dan kanan sama-sama 4. Kanan: parabola minus x kuadrat plus 1 tersambung dengan garis datar y = -3 di x = 2, membentuk sudut dengan kemiringan kiri -4 dan kanan 0

Kalau hanya syarat kontinu yang diminta, persamaan $4 a - 2 b = - 4$ atau $b = 2 a + 2$ punya tak hingga banyak solusi. Contohnya $a = - 1, b = 0$ : fungsinya kontinu (keduanya bernilai $- 3$ di $x = 2$ ), tetapi kemiringan kiri $- 4$ dan kanan $0$ , sehingga grafik bersudut seperti panel kanan di atas. Fungsi seperti itu kontinu tetapi tidak terdiferensialkan.

#Berapa persamaan yang dibutuhkan untuk berapa konstanta?

Diminta	Titik sambung	Persamaan per titik	Total persamaan
Kontinu	1	1 (nilai)	1
Kontinu	2	1 (nilai)	2
Terdiferensialkan	1	2 (nilai dan turunan)	2
Terdiferensialkan	2	2	4

Jumlah persamaan harus sama dengan jumlah konstanta yang dicari. Kalau soal memberi dua konstanta dan satu titik sambung tetapi hanya meminta kontinu, kemungkinan besar kamu salah baca soal, atau jawabannya memang berupa hubungan seperti $b = 2 a + 2$ .

#Urutan menulis jawaban di lembar ujian

Urutan yang aman dan mudah dinilai:

Sebut titik yang perlu dicek dan alasannya ("setiap potongan polinom, jadi cukup cek $x = 1$ dan $x = 3$ ").
Hitung limit kiri, limit kanan, dan $f (c)$ di setiap titik, masing-masing dengan notasi sepihak.
Tulis persamaannya, beri nomor.
Selesaikan sistemnya.
Cek balik dengan angka.

Soal kekontinuan juga menjadi pintu ke materi berikutnya, misalnya turunan implisit dan turunan kedua, yang mengandaikan fungsinya sudah mulus.

#Kesalahan yang paling sering terjadi

Mengambil $f (c)$ dari potongan yang salah. Tanda $\leq$ atau $\geq$ menentukan potongan mana yang memberi $f (c)$ . Pada Soal 1, $f (2)$ dihitung dari $3 x - 1$ . Kalau nilai di titik itu diberikan di baris tersendiri, misalnya $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ untuk $x \neq 3$ dan $f (3) = k$ , maka $f (3)$ adalah $k$ , bukan hasil substitusi ke pecahan. Limitnya $3 + 3 = 6$ , jadi $k = 6$ .
Menyamakan turunan tanpa mengecek kontinuitas. Ambil $f (x) = x^{2}$ untuk $x \leq 1$ dan $2 x$ untuk $x > 1$ . Turunan kiri dan kanan di $x = 1$ sama-sama 2, tetapi nilai kirinya 1 dan kanannya 2. Fungsi ini meloncat, jadi tidak terdiferensialkan. Menurunkan rumus tiap potong hanya sah sebagai turunan sepihak setelah fungsi terbukti kontinu di titik itu.
Lupa titik bermasalah di dalam potongan. Kalau potongan untuk $x > 3$ adalah $\frac{1}{x - 5}$ , fungsinya tetap diskontinu di $x = 5$ berapa pun nilai konstantanya. Soal "kontinu di semua bilangan real" lalu tidak punya jawaban, dan itu jawaban yang sah.
Menulis limit tanpa tanda sepihak. $\lim_{x \to 2} (x^{2} + a)$ tanpa tanda minus di pangkat menyiratkan potongan itu berlaku di kedua sisi. Di soal fungsi sepotong, notasi itu bisa dianggap keliru, jadi selalu tulis $x \to 2^{-}$ atau $x \to 2^{+}$ .
Salah turunan potongan kiri karena konstanta. Turunan $a x^{2} + 1$ adalah $2 a x$ , bukan $2 x + a$ . Konstanta $a$ adalah koefisien, jadi ikut dikalikan. Kalau masih ragu dengan aturan dasarnya, cek rumus turunan lengkap.

#FAQ

#Apakah fungsi yang terdiferensialkan pasti kontinu?

Ya. Jika $f^{'} (c)$ ada, $f$ pasti kontinu di $c$ . Kebalikannya tidak berlaku: $∣ x ∣$ kontinu di $x = 0$ tetapi tidak terdiferensialkan di sana karena turunan kirinya $- 1$ dan kanannya $1$ .

#Titik mana saja yang dicek kalau soal bilang "kontinu di semua bilangan real"?

Semua titik sambung, ditambah titik di dalam setiap potongan yang bisa bermasalah: penyebut nol, akar dari bilangan negatif, atau logaritma dari bilangan tidak positif, sejauh titik itu masuk wilayah potongan tersebut.

#Bagaimana kalau sistem persamaannya tidak punya solusi?

Tuliskan bahwa tidak ada nilai konstanta yang membuat fungsi kontinu. Ini jawaban yang sah, misalnya kalau ada titik diskontinuitas tak hingga di dalam salah satu potongan yang tidak bisa disentuh oleh konstanta mana pun.

#Apakah boleh pakai L'Hôpital untuk menghitung limit di titik sambung?

Boleh, asal bentuknya $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ , seperti $\frac{\sin (a x)}{x}$ di Soal 2. Untuk potongan polinom biasa, substitusi langsung sudah cukup.

#Apa bedanya kontinu di titik dan kontinu di interval tertutup?

Kontinu di $[a, b]$ berarti kontinu di setiap titik di dalam interval, ditambah kontinu dari kanan di $a$ dan dari kiri di $b$ . Di ujung interval, kamu hanya butuh satu limit sepihak.